Forme quadratiche

3

In R data la forma quadratica

12 22 32

( )

, , = + + + + +

1 2 3 11 22 33 12 1 2 13 1 3 23 2 3

Può essere rappresentata in forma simmetrica

1/2 1/2 1

11 12 13

( ) ( ) 1/2

, , = ∙ (1/2 ) ∙ ( )

2

12 22 23

1 2 3 1 2 3

1/2 1/2 3

13 23 33

n

Questo ci consente di enunciare il seguente teorema in R

A questo punto se A è una matrice simmetrica, allora è

( )

= ∙ ∙

• Definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono > 0

• Definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A sono < 0

• Semidefinita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono >= 0

• Semidefinita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A sono <= 0

• Indefinita se possiede contemporaneamente almeno un autovalore positivo ed uno

negativo

Queste definizioni si trasportano direttamente alla matrice simmetrica A. La matrice

simmetrica A si dice

• n

Definita positiva se per ogni x ≠ 0 di R

∙ ∙ > 0

• n

Definita negativa se per ogni x ≠ 0 di R

∙ ∙ < 0

• n

Semidefinita positiva se per ogni x ≠ 0 di R

∙ ∙ ≥ 0

• n

Semidefinita negativa se per ogni x ≠ 0 di R

∙ ∙ ≤ 0

• n n

Indefinita se per alcuni x ≠ 0 di R e per altri x ≠ 0 di R

∙ ∙ > 0 ∙ ∙ < 0

Esempio 1 12 22 12 22

La forma quadratica è definita positiva poiché per

( ) ( )

= + = + > 0

ogni ( ) (0,0)

, ≠

1 2 1 0

La matrice che corrisponde a Q, cioè è definita positiva

= ( )

0 1

Esempio 2 12 22 12 22

La forma quadratica è definita negativa poiché

( ) ( )

= − − = − − < 0

per ogni ( ) (0,0)

, ≠

1 2 −1 0

La matrice che corrisponde a Q, cioè è definita negativa

= ( )

0 −1

Esempio 3 12 22 2

La forma quadratica per ogni

( ) ( ) ( )

= + 2 + = + ≥ 0 , ≠

1 2 1 2 1 2

2

ma Questa forma quadratica non è mai negativa ma può

(0,0) (1, −1) (1 1)

= − = 0.

essere uguale a zero nei punti oppure . Perciò Q è semidefinita positiva

(1, −1) (−1, +1)

Esempio 4 2

La forma quadratica per ogni ma

( ) −( ) ( ) (0,0) (1, −1)

= + ≤ 0 , ≠ =

1 2 1 2

2 Questa forma quadratica non è mai positiva ma può essere uguale a zero

(1 1)

− = 0.

nei punti oppure . Perciò Q è semidefinita negativa

(1, −1) (−1, +1)

Esempio 5 12 22

La forma quadratica assume sia valori positivi che negativi. Ad esempio

( ) = −

e Quindi è indefinita.

(0,1) (1,0)

= −1 = +1. 1 0

Anche la matrice che corrisponde a Q, cioè è indefinita.

= ( )

0 −1

(0̅)

Se si nota che e cioè che la forma quadratica è sempre 0 se calcolata con il

= 0

vettore nullo, per stabilire la positività possiamo operare in questo modo 0̅

ossia possiamo studiare il segno di Q al fine di capire se è un

( ) (0)

> 0 = ̅ =

minimo o un massimo. ∗

Ricordiamo che data una e una

: ⊆ → ∈

∗ ∗

1. è un punto di massimo se ( ) ( )

≥ ∀ ∈

∗ ∗

2. è un punto di massimo stretto se ( ) ( )

> ∀ ∈

∗ ∗

3. è un punto di massimo locale se esiste una bolla o intorno circolare tale

( )

=

∗ ∗

che ( ) ( ) ( )

≥ ∀ ∈ ∩ =

∗ ∗

4. è un punto di massimo locale stretto se esiste una bolla o intorno circolare ( )

=

∗ ∗

tale che ( ) ( ) ( )

> ∀ ∈ ∩ =

Vogliamo ora presentare un semplice criterio per stabilire il segno di una forma quadratica.

Abbiamo già introdotto il criterio degli autovalori ma, talvolta, sono di difficile

identificazione. Pertanto, presentiamo un metodo alternativo per il quale però occorrono

alcune definizioni.

Esercizi