Forme bilineari e quadratiche

Forme Bilineari

• generalizzano il prodotto scalare
• sono legate allo studio di coniche e quadriche
• completa una notevole serie lineare, alcune volte

Def:

Vettoriale una forma bilineare su V è una funzione

tale che:

1. (x₁+x₂, ẏ) = φ(x₁, ẏ) + φ(x₂, ẏ) (lineare)
2. (x̅, y₁+y₂) = φ(x̅, y₁) + φ(x̅, y₂) (lineare)
3. (λx̅, μẏ) = λμφ(x̅, ẏ) (scalare)

Esempio: il prodotto scalare su V è un esempio di forma bilineare.

Def:

Una forma bilineare φ: V × V → ℝ si dice simmetrica se φ(x̅, ẏ) = φ(ẏ, x̅) ∀ x̅, ẏ ∈ V

Osservazione:

1) + 3) ne dice che ∀ ẏ ∈ V fisso l'applicazione φ y̅ : V → ℝ φ y̅ (x̅) = φ(x̅, ẏ) lineare

Infatti ∀ λ, μ ∈ ℝ

∀ x̅₁, x̅₂ ∈ V

1. φ y̅ (λx̅₁ + μx̅₂) = φ (λx̅₁ + μx̅₂, ẏ) = φ (λx̅₁, ẏ) + φ (μx̅₂, ẏ)
2. = λφ(x̅₁, ẏ) + μφ(x̅₂, ẏ)

Da 2) e 3) deduco che ∀ x̅ ∈ V fisso μ x̅ : V → ℝ φ → φ(x̅, ẏ) = φ(ẏ, x̅) è lineare

Esempio:

ψ : ℝ² × ℝ² → ℝ

x₁u₁ + x₂u₂

È bilineare

Congeliamo un vettore e vediamo se l'app è lineare

x₁u₁ + x₂0 + 3 ≠ x₁ + 3

→ non è lineare per x₁, x₂ (È un eg non omogeneo)

ψ

x₁ - x₁²

non lineare

2x₁u₁ - 3x₁u₂ + x₂u₁ =

ψ

prima condizione verificata

2x₁(u₁ + u'₁) - 3x₁(u₂ + u'₂) + x₂(u₁ + u'₁) = 2x₁u₁ - 3x₁u₂ + x₂u₁

+ 2x₁u'₁ - 3x₁u'₂ + x₂u'₁ =

ψ

Come sono fatte le forme bilineare?

ESPRESSIONE DI UNA FORMA BILINEARE DATA UNA BASE

B base di V

tPAP =

Oss: se A e A' sono congruenti, A' = tPAP. det A' = det (tPAP) = det tP ⋅ det A ⋅ det P = det (tP) ⋅ det P ⋅ det A = det (det P)² ≠ 0 Le matrice di cambiamento di base sono invertibili, percio' detP ≠ 0!

firme banchi

La relazione detA ≠ 0 (ma non il valore di detA) è invariante per congruenza.

Oss: Ψ simmetrica ⟺ A simmetrica.

FORMA QUADRATICA

ψ: V×V → R bilineare simmetrica

Definiamo Q: V → R

Q(x) = φ (x̄, x̄) FORMA QUADRATICA ASSOCIATA A φ.

es: Ψ: V → R (prodot scalare) allora Q(x) = ||x||₂

Oss: Q non è un'applicazione lineare.

Oss: considerando Q come risultate Ψ(x̄,x̄) ∀x̄∈V

Q(x+y) = φ (x̄+ȳ, x̄+ȳ) = φ (x̄, x̄) + φ (ȳ, x̄) + φ (x̄, ȳ) + φ (ȳ, ȳ)

Q(x) Q(y)

3) V^⊥ = ker φ

I vettori di ker φ sono φ-ortogonali a tutti i vettori dello spazio V.

Se φ quad. scalare e prendo W ⊆ V allora:

1. (W^⊥)^⊥ = W
2. W⊆W^⊥⊥⊆V

In generale (1) e (2) non sono vere per le forme bilineari.

ex: φ bilineare su ℝ³

φ((x₁,x₂,x₃), (x₄,x₅,x₆)) = 2x₁y₁+ y₂(x₁y₁ + x₁y₂) + (x₂x₃ + x₃x₁y₂) - 4y₃x₁y₃

W sott di φ x₁ + x₂ - x₃ = 0 determinare (W^⊥)^⊥

Sol: φ: (

x₁ x₂ x₃)

(2 -1 1)

(4 0 1)

(1 -1 1)

(-4 -4 -4)

(u₁)

(u₄)

(u₂)

(u₃)

(u₃)

(u₄) = 0

W₀ = l{(

1 0 0)

(0 1 0)}

W^⊥ = {

(x₁ x₂ x₃):

( 2 -1 1)

(x₁, x₂, x₃) (0 0 1) (x₃)

( -4 0 1)(1 -1 4)

(-1 0 -1)

(0 1 1)

(

1 0 -4)(x₁) (0 1 0)

x₂)

x₃) = 0

(

3x₁ - x₃)

x₂ - x₃ = 0

W^⊥⊥ = {

(x₃) (x₃: ℝ

x₂) = 0

x₂ )

(1 -1 3 1)}

(3 1 -4 1)

(1 3 1) (3 1) = 0

(1 -1 3) (1 -3 1) (0 1)

(W^⊥⊥)^⊥⊥ = ℝ³

λ₁ = ψ (v̅₁, v₁)

Voglio normalizzare v₁ per avere λ₁ = 1

Definisco ṽ₁ = v̅₁ / √λ₁

Per j = 2, …, p definisco ṽ_j = v̅_j / √|λ_j|

Per j = p+1, …, n definisco ṽ_j = v̅_j

Se i ≠ j: ψ( ṽ_i, ṽ_j ) = 1 / √|λ_i λ_j| ψ ( v̅_i, v̅_j) = 0

B' = { ṽ₁, …, ṽ_n }

M^B' (φ) = Particolare tipo di forma canonica

Da cosa è determinata una forma normale? Dai numeri p e q.

La forma quadratica determina univocamente p e q? (La forma normale di ψ è unica?)

Teorema di Sylvester (Legge di Inerzia)

Data φ, i numeri p e q sono unicamente determinati, cioè se B e B' sono basi tali che M^B(φ) e M^B'(φ) sono in forma normale, e H^B(φ) ha p "1" e q "−1" nella diagonale e H^B'(φ) ha p' "1" e q' "−1" allora p = p' e q = q'.

Dim.

p + q = rk M^B(φ)

p' + q' = rk M^B'(φ)

Ha rk H^B(φ) = rk H^B'(φ) ⇒ p + q = p' + q'

Supponiamo p' > p

6x₁x₃ + 3x₂ = 0

V = { [ x₁ x₂ x₃ ]^T ∈ ℝ³ | 6x₁x₃ + 3x₂ = 0 }

[v₁] = [1 1/2 1]^T , [v₂] = [2 -1 0]^T

[v₁v₂] = [ 1 2 ] [ 1/2 -1 ] [ 1 0 ]

Ω([v₁v₂]) = 6, 4 (f.2), λ₃ , 0^-2 -12

v_i ∈

5)

Se x ⊂ sottosp., è vero che (x) è fatto da sottosp.? Sì, (x) è l'insieme dei multipli di x,

è un cono