Forme bilineari e quadratiche

Forme bilineari

Forme bilineari generalizzano il prodotto scalare e sono legate allo studio di coniche e quadriche. Conferiscono una naturale, sebbene non unica.

Definizione

Sia V un vettoriale. Una forma bilineare su V è una funzione tale che:

1. φ(λx̄₁, ȳ) = φ(x̄₁, ȳ) + φ(x̄₂, ȳ)
2. φ(λx̄, ȳ) = λ φ(x̄, ȳ)

Esempio: il prodotto scalare su V è un esempio di forma bilineare.

Forma bilineare simmetrica

Una forma bilineare φ: V x V → R si dice simmetrica se φ(x̄, ȳ) = φ(ȳ, x̄) ∀ x̄, ȳ ∈ V.

Osservazione

1) + 3) Da ciò che ∀ ȳ ∈ V fissato l'amplificazione Infatti ∀ λ, μ ∈ R ∀ x̄₁, x̄₂ ∈ V

1. ∀ x̄₁, x̄₂, ȳ ∈ V φ(λx̄ + μx̄₂, ȳ) = φ(λx̄, ȳ) + φ(μx̄₂, ȳ)
2. φ(x̄₁, ȳ) + μ φ(x̄₂, ȳ) = λφ(x̄₁, ȳ) + φ_ȳ(x̄₂)

Da 2) + 3) deduco che ∀ x̄ ∈ V fissato φ: V → R φ: ∀ x̄, ȳ ∈ V

Esempio

Forme bilineari generalizzano il prodotto scalare, sono legate allo studio di coniche e quadriche, e conferiscono una naturale, se lineare, metrica.

Definizione di forma bilineare

Sia V un vettoriale. Una forma bilineare su V è una funzione tale che:

1. ϕ(x̅₁ + x̅₂, y̅) = ϕ(x̅₁, y̅) + ϕ(x̅₂, y̅)
2. ϕ(x̅, y̅₁ + y̅₂) = ϕ(x̅, y̅₁) + ϕ(x̅, y̅₂)
3. ϕ(λx̅, y̅) = λϕ(x̅, y̅) = ϕ(x̅, λy̅)

Esempio: il prodotto scalare su V è un esempio di forma bilineare.

Forma bilineare simmetrica

Una forma bilineare ϕ: V x V → R è detta simmetrica se ϕ(x̅, y̅) = ϕ(y̅, x̅) ∀ x̅, y̅ ∈ V.

Osservazione

1) + 3) Dico che ∀ q̅ ∈ V fissato l'applicazione ϕ_q̅: V → R ϕ_q̅(x̅) = ϕ(x̅, q̅) lineare. Infatti ∀ λ₁, μ ∈ R ∀ x̅₁, x̅₂ ∈ V

1. ϕ_q̅(λ₁x̅₁ + μx̅₂) := ϕ(λ₁x̅₁ + μx̅₂, q̅)
2. = ϕ(λ₁x̅₁, q̅) + ϕ(μx̅₂, q̅)
3. = λ₁ϕ(x̅₁, q̅) + μϕ(x̅₂, q̅)

Da 2) + 3) deduco che ∀ x̅ ∈ V fissato ϕ_x̅: V → R ϕ̅_x̅(y̅) = ϕ(x̅, y̅) è lineare.

Esempio

ψ: ℝ² × ℝ² → ℝ

1. ψ_{((x1 x2) (u1 u2))} = x₁u₁ + x₂u₂ è bilineare
2. ψ_{((x1 x2) (u1 u2))} = x₁u₁ + x₂u₂ + x₃ (x₁, x₂) = x₁u₁ + x₂u₂ + u₃u₃ - non è lineare
3. ψ_{((x1 x2) (u1 u2))} = x₁u₁² - x₂u₁ - non lineare
4. ψ_{((x1 x2) (u1 u2))} = 2x₁u₁ - 3x₁u₂ + x₂u₁ è una forma bilineare
5. ψ_{((x1 x2) (u1 u2))} = 2(x₁u₁ + x'₁u'₁ - 3(x₁+x'₁) + x₂ + x₂u₁)

Come sono fatte le forme bilineari?

Espressione di una forma bilineare data una base

Sia B base di V, B = {v₁, ..., v_n}.

x̄, ȳ ∈ V

x̄ = x₁v̄₁ + ⋯ + xₙv̄ₙ = ∑_i=1ⁿ xᵢv̄ᵢ

ȳ = u₁v̄₁ + ⋯ + uₙv̄ₙ = ∑_j=1ⁿ uⱼv̄ⱼ

ψ ( x̄ , ȳ ) = ψ (∑_i=1ⁿ xᵢv̄ᵢ, ∑_i=1