Esercitazione di Topografia sul teodolite

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale

Analisi di una rete geodetica

Professori:

Alberta Albertella Gruppo 1:

Arrighi Ilaria

Citarella Luigi

Costa Carlo

Latini Laura

Mandelli Carolina

Polito Sophie

Trosino Giulia

Anno Accademico 2024 – 2025

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Il terzo laboratorio proposto è articolato in due fasi distinte. La prima fase è di natura sperimentale e ha l'obiettivo

di effettuare diverse misurazioni in campo, realizzate presso l'ateneo del Politecnico di Milano, in particolare nel

cortile interno dell’Edificio 2. La seconda fase è dedicata all'analisi dei dati raccolti, con l'intento di eseguire

delle compensazioni ai minimi quadrati sulla rete plano-altimetrica, al fine di individuare e gestire eventuali

outlier.

Durante le misurazioni in campo è stato utilizzato un teodolite, strumento topografico usato per misurare angoli

azimutali (orizzontali), zenitali (verticali) e la distanza tra esso e il prisma. Prima di effettuare le misure, il

teodolite è stato messo in stazione, posizionandolo su un vertice della rete, reso verticale e allineato al punto di

stazione, identificato con un chiodo topografico. Su due altri vertici della rete sono stati posizionati dei prismi

riflettenti utili per la collimazione.

Le misurazioni avvengono collimando il prisma con il cannocchiale e misurando contemporaneamente l’angolo

azimutale e zenitale. Le letture vengono effettuate in due posizioni dell’alidada: prima a sinistra e poi a destra,

ruotando di 180° il cannocchiale. Gli angoli misurati vengono mediati seguendo la regola di Bessel:

Angoli azimutali Angoli zenitali

1 + (2 ± 200) 1+ (400 − 2)

Media: Media :

= =

2 2

Scarto: Scarto :

∆ = 1 − (2 ± 200) ∆ = 1 − (400 − 2)

Tolleranza: 0.0010 gon Tolleranza: 0.0010 gon

in modo da verificare immediatamente la presenza di un eventuale errore grossolano. In tal caso, è necessario

ripetere la misurazione. L’operazione viene eseguita per entrambi i prismi e la differenza tra le due direzioni

azimutali fornisce l’angolo azimutale centrato. Questi passaggi vengono ripetuti per ogni vertice della rete.

Per poter effettuare una prima verifica sui dati si è utilizzato un foglio Excel, Allegato Excel, dove sono state

inserite le osservazioni. È stata utilizzata la mappa presente nell’Allegato Mappa per la definizione di ciascun

angolo individuato da tre punti della rete. Dati tre punti si è calcolata l’ampiezza di ciascun angolo. Si rimanda

all’Allegato Excel per le relazioni specifiche.

Successivamente, sono stati considerati i singoli triangoli e il quadrilatero, verificando che la differenza tra la

somma degli angoli interni e i valori attesi, ossia 200 gon per i triangoli e 400 gon per il quadrilatero, fosse

inferiore, in valore assoluto, a tre volte la varianza di tale somma (3 ), calcolata utilizzando le formule presenti

nell’Allegato Excel. Si riportano in tabella gli errori riscontrati relativi alla somma degli angoli interni di triangoli e

quadrilatero. FIGURA ERRORE (gon)

Triangolo 123 0,005

Triangolo 234 -59,839

Triangolo 341 -0,043

Triangolo 412 0,020

Quadrilatero 1234 -0,038

Questo controllo ha permesso di valutare la coerenza dei risultati rispetto alle regole geometriche. In

corrispondenza dei lati in comune tra il quadrilatero e/o i triangoli interni è possibile ipotizzare la presenza di

outlier dove la somma degli angoli non coincide con quella attesa geometricamente. Nel nostro caso, risulta

accettabile solamente l’errore relativo al triangolo 123, mentre tutti i valori assoluti degli errori degli altri triangoli

risultano maggiori rispetto a 0,015 gon, ovvero . Anche il modulo dell’errore relativo al quadrilatero, 0,038

3

gon, non risulta inferiore al triplo della varianza della somma degli angoli interni del quadrilatero. A partire da

queste considerazioni, formulabili già in campo, si sarebbero dovute effettuare nuovamente le misure relative ai

lati 2_3 - 2_2; 2_3 - 2_1; 2_3 - 2_4. Essi sono i lati in comune tra quadrilatero e tutti i triangoli la cui somma degli

angoli interni non corrisponde con quella attesa. In corrispondenza delle osservazioni relative a questi lati si

sospetta possano essere presenti degli outlier. 1

In seguito, si è verificato che, percorrendo le varie figure geometriche in senso orario e in senso antiorario, il

modulo della somma dei dislivelli fosse minorato dal triplo della varianza di tale somma. Dopo le opportune

conversioni, da gon a radianti, si sono utilizzati i dati forniti per il calcolo dei dislivelli e della varianza, utilizzando

relazioni trigonometriche tra i vari dati disponibili. Per tutti e quattro i triangoli e per il quadrilatero, la somma dei

dislivelli attesa è pari a 0 m con una tolleranza dell’errore calcolata sulla base delle varianze delle quote. Si

rimanda all’Allegato Excel per la verifica di tali relazioni. Da questa seconda verifica risulta evidente la presenza

di dati caratterizzati da errori grossolani che vanno necessariamente sostituiti; si rieffettua lo stesso

procedimento con i nuovi dati forniti. Si riportano in tabella gli errori relativi alla somma delle misure degli angoli

per i triangoli e per il quadrilatero. Per il calcolo si sono utilizzati i dati forniti in seconda battuta.

FIGURA ERRORE (gon)

Triangolo 123 0,010

Triangolo 234 -0,012

Triangolo 341 -0,002

Triangolo 412 0,020

Quadrilatero 1234 0,008

Da questa seconda analisi effettuata, risultano accettabili sia l’errore relativo al quadrilatero, che gli errori

relativi ai triangoli 123, 234 e 341: essi sono compatibili con la precisione strumentale. Risulta invece non

accettabile l’errore relativo al triangolo 412, in quanto maggiore rispetto a 0,015 gon, il triplo della varianza della

somma degli angoli interni. Sarà quindi in corrispondenza di una delle misure di questo triangolo che si sospetta

la presenza di un outlier. Come spiegato in precedenza, si effettua la verifica anche sui dislivelli. Dall’analisi dei

dati, consultabili all’interno dell’Allegato Excel, è possibile sospettare la presenza di outlier in corrispondenza di

uno dei lati del triangolo 143, in quanto la somma dei dislivelli risulta essere -0,02449797 (maggiore in modulo

di 0,022417278, cioè il triplo della varianza di tale somma).

Terminato questo primo procedimento di controllo per la ricerca di possibili errori grossolani, i dati sono stati

importati all’interno del software Move3, attraverso il quale è stato possibile verificare la presenza di outlier per

quattro configurazioni diverse della rete. In particolare, sono stati utilizzati i test del Chi quadro e Fischer. Oltre

alla presenza di outlier, è stato possibile studiare la precisione di ciascun punto e l’affidabilità esterna della rete.

La precisione di un punto viene rappresentata graficamente mediante un’ellisse di errore, dove il suo centro

corrisponde alla posizione stimata in cui ci si aspetta di trovare il punto reale con una determinata probabilità.

Gli assi principali sono definiti dall’ampiezza e dalla direzione dell’errore massimo e minimo, in particolare sono

direttamente proporzionali all’incertezza delle misure. Una forma più allungata dell'ellisse indica una maggiore

incertezza in una specifica direzione, mentre una forma più circolare suggerisce un'incertezza più equilibrata in

tutte le direzioni.

Osservando ancora le diverse configurazioni della rete studiata, si noterà la presenza di rettangoli, detti

’rettangoli di errore’. Questi rappresentano l’affidabilità esterna, cioè l’impatto di un eventuale outlier non

identificato sulla stima delle coordinate di un punto. Un rettangolo più grande suggerisce una maggiore

vulnerabilità del punto agli errori non identificati, mentre rettangoli più piccoli indicano maggiore robustezza.

In seguito, sono state analizzate dettagliatamente quattro configurazioni della rete al fine di minimizzare gli

errori.

La prima conformazione studiata della rete è quella completa: presenta infatti tutti i punti con relativi angoli e

distanze misurate in entrambi i versi di percorrenza. Dopo aver riportato in maniera adeguata tutti i dati delle

osservazioni rilevate in campo, il software Move3 ha generato un report conclusivo nel quale è stata evidenziata

la presenza di tre outlier. In particolare, sono stati individuati degli outlier nelle seguenti osservazioni:

• Z0: 2_3 2_1;

→

• Z0: 2-2 2_3;

→

• Z0: 2_2 2_4.

→

Al fine di minimizzare l’errore e far passare i test del Chi Quadro e F di Fisher, sono state rimosse queste

osservazioni. 2

Una volta rimossi gli outlier, analizzando i dati del report, è possibile fare un confronto tra i valori di affidabilità

interni alla rete, ottenuti dall’inverso della ridondanza indicata come RED ed espressi in percentuale. Per questa

prima rete (Allegato 1B) sono state considerate 12 osservazioni per le distanze, 12 per gli angoli azimutali e 9 per

gli angoli zenitali. I valori di affidabilità delle distanze oscillano tra 87 e 89 assumendo valore massimo nella

quota 2_1-2_4 e minimo per la quota 2_4-2_2. Se invece si considerano le osservazioni degli angoli azimutali, la

loro affidabilità oscilla tra 34 e 42 con valore massimo nelle quote 2_1-2_2 e minimo in 2_4-2_3. Soffermandosi

poi sulle osservazioni degli angoli zenitali, si può notare come il loro valore varia nell’intervallo che ha come

massimo il valore 70, osservato per la quota 2_1-2_4, e il minimo 59, assunto nella quota 2_3-2_2.

I rettangoli di errore più grandi e le ellissi allungate suggeriscono che, sebbene ci siano molte osservazioni, la

rete è influenzata significativamente da alcune misurazioni imprecise, specialmente quelle legate alle diagonali.

Da questa configurazione, così come in tutte le successive, è possibile notare che in nessuna di esse è presente

un’ellisse di errore nel punto 2_4, in quanto è il punto che si è scelto di fissare per il sistema di riferimento. Allo

stesso modo, nel punto 2_1 l’ellisse di errore è condensato a una linea, in quanto uno dei due semi-assi è pari a

zero (quello relativo al punto 2_4).

Nella prima immagine si riporta la configurazione 1 della rete, mentre nella seconda sono evidenziati ellissi e rettangoli di errore.

Nella seconda configurazione sono state eliminate le osservazioni corrispondenti alle diagonali del quadrilatero,

ipotizzando che nel mezzo ci fosse un ostacolo che ha impedito l’intervisibilità. Dal report finale si evince che è

presente un solo outlier nell’osservazione:

• Z0: 2_2 2_3.

→

Questo dato evidenzia come due outlier della prima configurazione si trovino lungo le diagonali della rete. Di

conseguenza, le misurazioni senza le diagonali si sono dimostrate più precise e affidabili. Nonostante ciò, i valori

della ridondanza di questa conformazione sono più bassi, in quanto l’assenza delle diagonali fa perdere del

controllo tra le singole osservazioni. Anche in questo caso, sarebbe stato opportuno ripetere le misurazioni

relative alle osservazioni in cui è stato trovato l’outlier, al fine di ottenere una rete più affidabile.

La seconda configurazione (Allegato 2) presenta un minor numero di osservazioni rispetto alla prima, poiché

sono state rimosse quelle relative alle diagonali del quadrilatero. In questo caso, si avranno 8 osservazioni per

le distanze, 8 per gli angoli azimutali e 7 per quelli zenitali. Confrontando i valori di affidabilità delle distanze si

può notare come essi oscillino tra 71 e 72, intervallo che risulta essere molto uniforme. Se invece vengono presi

in esame i valori riguardanti gli angoli azimutali, l’affidabilità massima è quella della quota 2_1-2_2, con valore

19, e la minima è 13, della quota 2_4-2_3. L’intervallo delle affidabilità relative agli angoli zenitali è 60, con unica

eccezione per l’osservazione 2_3-2_4 pari a 40.

Dopo la rimozione delle diagonali, i rettangoli di errore diminuiscono di dimensioni, segnalando una maggiore

affidabilità nelle misurazioni rimaste, ma con una riduzione della ridondanza complessiva della rete. Per quanto

riguarda le ellissi invece, quella situata nel punto 2_2 è piuttosto tondeggiante, suggerendo un l’incertezza

distribuita in modo uniforme in tutte le direzioni, segno di una buona precisione complessiva.

3

Nella prima immagine si riporta la configurazione 2 della rete, mentre nella seconda sono evidenziati ellissi e rettangoli di errore.

Per quanto riguarda la terza configurazione della rete, sono state rimosse le osservazioni che si misurano dal

punto 2_2 e si congiungono agli altri vertici, come se in tale punto non fosse stato possibile posizionare un

teodolite. Dal risultato finale si evidenzia la presenza di un solo outlier lungo l’osservazione:

• Z0: 2_3 2_1.

→

Da quest’analisi si può dedurre che un outlier è sicuramente presente lungo la diagonale che prosegue dal punto

2_2 al punto 2_4, mentre l’altro si trova in una delle osservazioni rimosse sul lato del quadrilatero. Allo stesso

tempo, mediante questa configurazione, si ha una riduzione dell’affidabilità esterna della rete in un punto

specifico (quello rimosso). Consultando il report della configurazione 3 (Allegato 3) composta da 9 distanze, 9

angoli azimutali e 8 angoli zenitali, si evince che le osservazioni delle distanze hanno affidabilità compresa tra la

quota 2_3-2_1 e la quota 2_1-2_2 con valori che vanno da 81 a 91. I valori di affidabilità degli angoli azimutali

ricadono nell’intervallo 16-34 presi tra le quote 2_3-2_2 e 2_4-2_1 e per quanto riguarda gli angoli zenitali, essi

hanno affidabilità massima 68 nella quota 2_4-2_3 e minima 54 in 2_3-2_2.

Le ellissi di errore sono questa volta orientate lungo i lati che collegano i vertici corrispondenti con il punto di

riferimento, evidenziando in particolare l’incertezza della diagonale 2_4-2_2. In questa configurazione, la

dimensione dei rettangoli è maggiore, evidenziando una minor affidabilità tra le osservazioni.

Nella prima immagine si riporta la configurazione 3 della rete, mentre nella seconda sono evidenziati ellissi e rettangoli di errore.

Infine, nella quarta configurazione della rete sono state eliminate tutte le osservazioni relative al punto 2_2,

come se si trattasse di un punto non raggiungibile fisicamente ma che comunque è stato possibile collimare. Dal

report conclusivo, emerge la presenza di due outlier, collocati nelle seguenti osservazioni:

• S0: 2_3 2_1;

→

• Z0: 2_3 2_1;

→

Si dimostra dunque che rimuovendo l’outlier, l’errore si propaga in tutte le altre misurazioni, rendendo così meno

robusta la rete ma più accettabile. Per questa quarta configurazione (Allegato 4), rimuovendo tutte le

osservazioni relative al punto 2.2, sono state considerate 9 osservazioni per le distanze, 5 per gli angoli azimutali

e 8 per quelli zenitali. Le prime hanno affidabilità che oscilla tra 76 e 79, intervallo in questo caso molto uniforme,

4

le seconde tra 14 e 34 con minimo nella quota 2_3-2_2 e massimo in 2_4-2_1 per le terze si può notare una

affidabilità massima media pari a 68 con una eccezione per la quota 2_1-2_2 dove il valore di affidabilità è 54.

La quarta configurazione della rete determina delle ellissi di errore piuttosto allungate, evidenziando una

distribuzione delle incertezze non uniformi. I rettangoli sono più ampi, evidenziando una maggiore vulnerabilità

agli outlier. Nonostante la rete risulti più semplice, la sua affidabilità complessiva è ridotta, e sarà necessario

ripetere le misurazioni nei punti critici per migliorare la precisione e ridurre il rischio di errori grossolani.

Nella prima immagine si riporta la configurazione 3 della rete, mentre nella seconda sono evidenziati ellissi e rettangoli di errore.

Sempre grazie al Software Move3, è possibile realizzare degli istogrammi, successivamente riportarti

nell’Allegato Istogrammi, che evidenziano i dati statistici relativi alla ridondanza delle misurazioni. Sull'asse delle

ascisse si legge il valore della ridondanza che può variare da 0 a 100 % (con classi di ampiezza 10), mentre su

quello delle ordinate la percentuale di osservazioni. Per esempio, dalla prima figura (istogramma della

configurazione 1 senza outlier) si ricava l’informazione che il 27% delle osservazioni ha una ridondanza

compresa tra il 30% e il 40%, il 5% tra 40-50%, il 32% tra 70 –80% e così via.

Da ciascuno di questi grafici si evince quindi il 'controllo' che ogni rete ha sulle misurazioni relative ad essa:

maggiore è la ridondanza per una misurazione, migliore è la stima che ne verrà effettuata e quindi minore è la

probabilità che ci sia un outlier 'nascosto'. Di conseguenza, se in un istogramma le percentuali di osservazioni

sono concentrate a destra (valori alti di ridondanza) ci si aspetta che queste siano più affidabili e che quindi la

rete sia più robusta. Il software identifica tutte le misurazioni come accettabili, con una ridondanza maggiore

del 10%; i rettangoli rossi con ridondanza minore corrispondono alle misurazioni relative al sistema di

riferimento (sarebbe necessaria un’ulteriore incognita per gli angoli azimutali, per questo il controllo è più

debole). In generale, per una rete ben fatta, il livello ottimale di ridondanza per le osservazioni non dovrebbe

essere inferiore del 30-40%: la rete 1 rispetta questo criterio, mentre le altre reti, avendo rimosso

progressivamente delle misurazioni, arrivano anche a percentuali minori dell’intervallo previsto.

In conclusione, durante l'analisi de