Terza esercitazione

Ex 1: Carico distribuito e cerniera interna

Il carico distribuito q e la cerniera interna B sono costituiti da 2 elementi strutturali, quindi la struttura ha 5 gradi di libertà. Le due cerniere ne tolgono 2 ciascuna, ma in D involvono 3 reazioni vincolari. La cerniera interna B NON divide il corpo AC.

Dati geometrici

• AB = L
• BC = 2L
• CD = L

Si può vedere la reazione vincolari delle 2 cerniere (n = il numero di corpi che la cerniera interna collega, che sono 2) h = 2 × 2 cerniere + 2 × cerniera int. (n - 1) - 3 × n corpi totali, quindi h = 2 × 2 + 2 (2 - 1) - 3 × 2 = 0 (isostatica due gradi, H, V).

Ci sono 2 soluzioni:

1. Scrivere l'equazione per il corpo completo coincidere DB un'asta che riceve sforzi assiali:

Corpo completo

• ↔ H_A + H_D = 0 (a)
• ↑ V_A - V_D + q 3L = 0 (b)

Stacco un corpo e scrivo nuove equazioni. La prima scelta è arbitraria e vincola per la scelta dell'quantità. Utilizzo il costo più. Ex 1: q = carico distribuito, B = cerniera interna è costituita da 2 elementi strutturali quindi ha 6 gradi di libertà, le due cerniere ne tolgono 3 ciascuna, ma in D inoltrano i loro 2 assi incernierati. B cerniera interna NON divide il corpo AC.

Dati geometrici

• AB = L
• BC = 2L
• CD = L

Sopra si vede le reazioni vincolari delle cerniere, n è il numero di corpi che cerniera interna collega che sono 2. h = 2×2 cerniere + 2 cerniere int. (n-1) - 3 n_completo h = 2×2 + 2 (2-1) - 3×2 = 0 (isostatica, due gradi, H, V).

Ci sono 2 soluzioni:

1. Scrivere l'equazione per il corpo completo incerniere DB un'asta che riceve sforzi assiali.

Corpo completo

• ↔ H_A + H_D = 0 (a)
• ↑ V_A - V_D + q3L = 0 (b)

Stacco un corpo e scrivo nuove equazioni. La prima scelta è arbitraria e vincola poi la scelta di quanto auxilizia il costo più.

AB = L BC = 2L V_B e H_B non sono richieste dal problema.

- V_A L + 3₂ gL² V_A = 3₂ gL² trovo V_D = V_A + 3gL V_D = 9₂ gL BD) V_D L - H_D L = 0 V_D = H_D dalla (a) troviamo H_A = -9₂ gL

EX 2: Risultante di q applicato in G

Ho due corpi collegati:

• h = 2 · 2 + 2 × (2 - 1) - 3 · 2 h = 4 + 2 - 6 = 0 ok

Trovare V_A, H_A, H_E, V_E imposto le equazioni come in figura più/lenti alunni andiamo cambiati.

Corpo completo

1. V_A + V_E = q2L (a)
2. H_A + H_E = 0 (b)

(a) 2ql · (L) - H_E 1 2 L - V_E 2L = 0 (c) C è e c sarà in te rus quindi posso considerare una delle 2 parti.

Parte destra

1. H_C + H_E = 0 (d)
2. qL + V_C - V_E = 0 (e)
3. qL 1 2 - V_E L + H_E L = 0

H_E = V_E - 9 L 2 (g) (cf) -> (c) nicano V_E = 9 10 qL dalla (g) trovo H_E = 2 5 qL dalla (b) n'icano H_A = H_E => H_A = - 2 5 qL ololà (a) ricavo V_A = 2 q L - V_F V_A = ¹¹⁄₁₀ q L

Ex 3: Reazioni vincolari

Reticolo di 4 corpi, qui risolti 12 gradi di libertà h = 2 + 1 + 1 + 2 (2-1) + 2 (2-1) + 2 (3-1) - 3 4 = 0 il procedimento è come prima: scrivo reazioni vincolari corpo corpo e poi spargo nello scrivo le interne.

Corpo intero

1. H_A = 0 (a)
2. V_A + V_F + V_E = 0 (b)
3. Q ³⁄₂ L - V_F 2 L - V_E 4 L = 0 (c)

Corpo B C

1. V_B - V_C - Q (d)
2. H_B = H_C (e)
3. - Q ^L⁄₂ + H_B L - V_B L = 0 (f)

• → H_C = - H_D (g)
• ↙ V_C = V_D (h)
• (d) V_C L = H_C L (i) → V_C = H_C

Dalla (i) e da (d) e (e) sostituendo in (f) trovo:

• - Q / 2 L + H_C L + (H_C + Q) L = 0 ⇒ H_C = - Q / 4 = V_C
• Dalla (d) V_B = - 3 / 4 Q
• Dalle (e) H_B = 3 / 4 Q

Corpo DE

1. V_E = 0
2. d) il tratto DE è un tratto inutile scarico

Dalla (c) V_F = 3 / 4 Q dalla (b) V_A = Q / 4.

Di seguito ci sono i 2 file sulle esercitazioni sulle reazioni vincolari più esercizi aggiuntivi

Ejercicio 1

• h = 3 · i + 2 a + 1 g - 3 m= 3 · 1 - 3 · 1 = ϕ Σ F_z = ϕ Σ F_y = ϕ Σ M_ex = ϕ
• → - H_A = ϕ
• ↑ V_A - P = ϕ
• (_A) M_A + P · L = ϕ H_A = ϕ V_A = P M_A = -PL

Esercizio 1

1. H_A = 0
2. V_A + V_B = P (A)
3. P·a - V_B (a+b) = 0 V_B = P·a/(a+b) V_A = P - P·a/(a+b) = P·b/(a+b) h = 2.1 + 1.1 - 3.1 = 0

H_∞ = ϕ P_A a - V_B

(a+b) = ϕ V_B = P_a / (a+b) P_B b - V_A (a+b) = ϕ V_A = P_b / (a+b) R.V.? H_A = F P₁ + P₂ = V_A + V_B (A) P₁ a₁ + P₂ a₂ = V_B (a₁ + b₁) V_B = ^{P₁ a₁ + P₂ a₂} / _L V_A = ^{P₁ (a₁ + b₁) + P₂ (a₁ + b₁) - P₁ a₁ - P₂ a₂} / _{(a1 + b1)} = = ^{P₁ b₁} / _L + ^{P₂ b₂} / _L

H_A = H^′_A + H^″_A

V_A = V^′_A + V^″_A

V_B = V^′_B + V^″_B

V^′_A = (P₁ · b₁) / (a₁ + b₁)

V^″_A = (P₂ · b₂) / (a₂ + b₂)

V^′_B = (P₁ · a₁) / (a₁ + b₁)

V^″_B = (P₂ · a₂) / (a₂ + b₂)

Sovrapposizione degli effetti

Esercizio A

q [^N⁄_m] ; P [N] Forza risultante [N] Q = q . L

1. H_A = P
2. V_A = q . L
3. Q . ^L⁄₂ + M_A = 0 ⇒ M_A = - q ^L2⁄₂

Esercizio 5

R.V.?_q(z) = _q (1 - z/L) Forza equivalente _QQ = 1/2 _q L Alea triangolo _Q = ∫₀^L _q (1 - z/L) · dz = [ -qz - qz²/(2L) ]₀^L = 1/2 _q L

z_G = ∫_A z · dA / ∫_A dA = ∫₀^L z ( ∫_{0 q} (1 - z/L) dq ) dz / 1/2 _q L = ∫₀^L z [ _q (1 - z/L) ] · dz / 1/2 _q L z_G = 1/3 L

H_A = ϕ ; V_A = ± 1/2 _q L ; M_A = -1/6 _q L²

ESERCIZIO 6

R.V.? H_B = P₂

1. V_A + V_B = P₁
2. m - P₁ 4a + V_A 5a = φ

V_A = ^{P₁ 4a - m}/_5a V_B = ^{P₁ a + m}/_5a

ESERCIZIO 7

Corpo completo

1. H_A + H_D = 0 (a)
2. V_A - V_D + 3qL = 0 (b)

h = 2 · 2 + 2 (n - 1) - 3 x 2 = 0 (c) – (b)

V_D = V_A + 3qL = ⁹/₂ qL

3. - V_A · L + 3qL · ^L/₂ = 0 → V_A = ³/₂ qL (c)

B V_DL - H_DL = 0   ⟹   V_D = H₀ H_D = ⁹⁄₂ ql Dalla (a)  troviamo  H_A = - ⁹⁄₂ ql H_A = - ⁹⁄₂ ql      V_A = ³⁄₂ ql ⁹⁄₂ ql = H_D       V_D = ⁹⁄₂ ql

Esercizio 8

Corpo completo

1. V_A + V_E = q 2L   (α)
2. ← H_A + H_E = 0   (b)
3. (C_A) 2qL(L) - H_E (1/2 L) - V_E (2L) = 0   (c)

← H_C + H_E = 0   (d) ↓ qL + V_C - V_E = 0   (e) (C_C) qL L/2 - V_E L + H_E L = 0 H_E = V_E - q L/2   (f)(f) ↑↑ (c)

V_E = 9/10 qL Dalla (f) troviamo H_E H_E = 9/10 qL - q L/2 = 2/5 qL Dalla (b) troviamo H_A = - H_E = - 2/5 qL Dalla (a) troviamo V_A = 2qL - V_E = 11/10 qL

Esercizio 10

• _AD
• _BC
• _CD
• _DE
• 12 g.d.l. In D 2 (n - 1) = 2 (2) = 4

Corpo completo

1. _HA = _Φ (a)
2. _{VA + VF + VE = Q} (b)
3. _{Q . 3/2 L - VF 2L - VE 4L = Φ} (c)
4. _{VB = - VC - Q} (d)
5. _{HB = HC} (e)
6. _{- Q L/2 + HBL - VB . L = Φ} (f)

• H_C = -H_D (g)
• V_C = V_D (h)
• V_C · L = H_C · L (i) H_C = V_C

Dalla (i) e dalle (d) e (e), sostituendo nella (f) -ϕL / 2 + H_C · L + (H_C + ϕ)L = ϕ H_C = -ϕ / 4 Dalla (i) ottengo V_C = H_C = -ϕ / 4 Dalla (d) V_B = -3 / 4 ϕ Dalla (e) H_B = -ϕ / 41 V₀ H₀ D V_E(D) V_E = Φ Dalla (c) V_F = ³/₄ Φ Dalla (b) V_A = ^Q/₄

ESERCIZI AGGIUNTIVI

Soluzione H_A = F · cos α V_A = ^{F · sin α}/₂ V_C = ^{-F sin α + 3 a q_o}/₈ V_B = ^{5 F sin α}/₈ + ^{3 a q_o}/₈ Svolto correttamente.

Soluzione

H_B = -1.41 kN V_A = 7.11 kN V_B = 6.3 kN F₁ = 4 kN F₂ = 2 kN F₃ = 3 kN q_o = 5 kN/mm _o = 4 kN·ma = 1 m Svolto correttamente.

3H_A = Φ V_A = - ³/₂ q_ol M_A = - ⁷/₆ q_ol²

Soluzione 4

Soluzione H_A = ⁴/₃ (^9q₀a/₂ + ρ); V_A = ⁷/₂ q_o a M_A = - 6q_oa² H_D = - ⁴/₃ (^9q₀a/₂ + ρ) V_D = ^q_oa/₂ + ρ HA → Cerniera R = 2⋅1 + 2(2⋅1) + 1 + 1 - 3⋅2 = 6-6 = 0 [isostatica]

Q = avrei tre angoli applicati ben centrati contro che obsta a del vincolo Q = ½ ρ₀ 9 ⋅ 3 = 3/2 ρ₀ 9 HA = F_modd = 0 VA = F_mod - F_mod + VB - Q + VC = 0 VB - F_mod + Q - VC = 0 VC = F_mod - F_mod + VB - 3a + Q 6a VA = F_modd/2 HB = F_moda - VB 3a + Q 6a 9a VC = F_moda - F_modρ - VC UC = 3Q - F_mod/2 VC = 3/4 Q - F_mod/8 VC = 9/8 ρ₀a - F_mod/8 VB = 5F_mod - 11 ρ₀/8 h₁ = 4,2 + 1,1 - 3,1 = 0 VA - F₁ - F₂cos45 - γ₀a - F₃ - V_B = 0 F₂cos45 + H_B = 0 π_F3 = -F₂cos45 F₂cos45 • a + γ₀a • 3/2 a + F₃ 2a + mo - V_B 3a = 0 V_B 3a = F₂cos45 • a + γ₀a • 3/2 a² + F₃ 2a + mo V_B = (F₂cos45 • a + γ₀a • 3/2 a² + F₃ 2a + mo) -1,6 H_B = -1,414kN = -1,4kN V_A = F₁ + F₂cos45 + γ₀a + F₃ - V_B = ±414,2 N =