Prova esame svolta Econometria

Y Y

limite centrale per trovare:

a. in un campione casuale di numerosità ;

P r( Ȳ < 73) n = 50

Secondo il teorema del limite centrale quando la numerosità del campione è elevata la media

, di conseguenza

dove

campionaria 2

2

2

∼ = σ /n

) σ

Ȳ N (µ , σ

Y Ȳ

Ȳ

- trovo prima 45

2

σ = = 0, 9

50

Ȳ

- calcolo la guardando alla funzione di ripartizione (Tavola 1 Appendice):

P r(

Ȳ < 73)

− −

Ȳ 75 73 75

√ √ − −

P r(

Ȳ < 73) = P r < = Φ(−2, 11) = 1 Φ(2, 11) = 1 0, 9826 = 0, 0174

0, 9 0, 9

b. in un campione di numerosità ;

P r(76 < Ȳ < 77) n = 90

Considerando , 45

2

n = 90 σ = = 0, 5

90

Ȳ

− − −

76 75 Ȳ 75 77 75

√ √ √

P r(76 < Ȳ < 77) = P r < < = Φ(2, 82)−Φ(1, 41) = 0, 9976−0, 9207 = 0, 0769

0, 5 0, 5 0, 5

c. in un campione casuale di numerosità .

P r( Ȳ > 74) n = 120

Considerando , 45

2

n = 120 σ = = 0, 375

120

Ȳ

− −

Ȳ 75 74 75

√ √

− −

P r(

Ȳ > 74) = 1 P r < = 1 Φ(−1, 63) = Φ(1, 63) = 0, 9484.

0, 375 0, 375

1

1.2 In un'indagine campionaria su 500 potenziali votanti, 270 hanno

risposto di aver intenzione di votare per il candidato del partito

democratico e 230 per il candidato del partito repubblicano. Si

indichi con la frazione dei votanti potenziali che preferiscono il

p̂

candidato democratico al tempo dell'indagine e con quella

−

1 p̂

degli intervistati che preferiscono il candidato repubblicano.

a. Si usino i risultati dell'indagine per stimare .

p̂

Dato un totale di votanti potenziali e dato un numero di votanti potenziali del partito

500 270

democratico 270

p̂ = = 0, 54

500

b. Si usi lo stimatore della varianza di , , per calcolare l'errore standard

−

p̂ p̂(1 p̂)/n

dello stimatore proposto.

0,54×(1−0,54)

p̂(1−p̂) 0,284 −4

×

= = = 0, 0004968 = 4, 968 10

V ar(p̂) = n 500 500

Ne deriva che l'errore standard sarà dato da:

p p

SE(p̂) = var(p̂) = 0, 0004968 = 0, 0223

c. Qual è il per contro ?

− 6

p value H : p = 0, 5 H : p = 0, 5

0 1

Innanzitutto calcoliamo la statistica act

t : −

− 0, 54 0, 5

p̂ µ p,0

act = = 1, 79

t = SE(p̂) 0, 0223

calcoliamo il nel caso di un test bilaterale:

−

p value act

− |) ×

p value = 2Φ(−|t = 2Φ(−1, 79) = 2 0, 0367 = 0, 0734

d. Qual è il per contro ?

−

p value H : p = 0, 5 H : p > 0, 5

0 1

Nel caso di un test unilaterale sulla coda destra della distribuzione avremo:

act

− − − −

p value = 1 Φ(t ) = 1 Φ(1, 79) = 1 0, 9633 = 0, 0367

e. Perchè i risultati della (c) e della (d) dieriscono?

2

Sono due test dierenti. Nel primo caso abbiamo un test bilaterale in cui il −

p value

rappresenta l'area nelle code della distribuzione normale standard che si trovano all'esterno

di . Nel secondo caso invece consideriamo un test unilaterale, nello specico il

act

±t −

p value

rappresenta l'area contenuta nella coda destra della distribuzione normale standard a destra

di .

act

t

f. L'indagine mostra chiara evidenza statistica del fatto che il candidato democratico

è in testa al tempo dell'indagine? Si dia una spiegazione.

Considerando un livello di signicatività del 5%, guardando il associato

−

p value = 0, 0367

al test unilaterale, riutiamo . Analogamente, guardando la statistica e il valore critico

H t

0

per un livello di signicatività del 5% pari ad nel caso di test unilaterale, dato che

1, 64

si trova a destra del valore critico), riutiamo l'ipotesi nulla del test e

( act

1, 79 > 1, 64 t

concludiamo che c'è evidenza statistica del fatto che il candidato democratico fosse in testa

al tempo dell'indagine.

1.3 Utilizzando i dati dell'esercizio precedente:

a. Si costruisca un intervallo di comdenza di livello 95% per ;

p

± ± × ±

p̂ 1, 96 SE(p̂) = 0, 54 1, 96 0, 0223 = 0, 54 0, 043708 = [0, 496292, 0, 583708]

b. Si costruisca un intervallo di condenza di livello 99% per ;

p

± ± × ±

p̂ 2, 58 SE(p̂) = 0, 54 2, 58 0, 0223 = 0, 54 0, 057534 = [0, 482466, 0, 597534]

c. Perchè l'intervallo nella (b) è più ampio di quello nella (a)?

Un intervallo di condenza del 99% include il vero valore di nel 99% di tutti i possibili

p

campioni estratti, mentre un intervallo del 95% lo contiene solo nel 95% dei campioni possibili.

L'ampiezza dell'intervallo dipende dal valore critico associato al livello di signicatività, più

alto per un intervallo di condenza del 99% (2,58>1,96).

d. Senza calcoli addizionali, si verichi l'ipotesi contro 6

H : p = 0, 50 H : p = 0, 50

0 1

con un livello di signicatività del 5%.

Dato che 0,50 ricade all'interno dell'intervallo , non è possibile riutare

[0, 496292, 0, 583708]

ad un livello di signicatività del 5%.

H

0 3