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Tema Esame 28 Maggio 2015

Yi = β0 + β1 Xi + μi, i = 1, 2, ..., m

a) OLS β0, β1

Dato il modello di regressione lineare semplice

Yi = β0 + β1 Xi + μi, i = 1, 2, ..., m

utilizzo il metodo OLS che consente di minimizzare la diff. quadratica tra i valori reali ed i valori stimati:

minβ0, β1 ∑i=1m (Yi - β0 - β1 Xi)2

S(β0, β1) = funzione obiettivo

Comando β0, ∂S/∂β0 → F.O.C

-2 ∑i=1m [Yi - β0 - β1 Xi] = 0

Spezz la sommatoria, ∑i=1m Yi - m β0 - β1 ∑i=1m Xi = 0

Remiedo β1, ∂S/∂β1 = 0 → F.O.C

-2 ∑i=1m [Yi - (β0 + β1 Xi)] Xi = 0

Sostituire β̂1 → ∑i=1m [Yi - Ȳ + β1 X̄ + β1 (Xi - X̄ )] Xi = 0

∑i=1m (Yi - Ȳ ) Xi - β1 ∑i=1m (Xi - X̄ ) Xi = 0

Sottraggò ed aggiungo due termini tali che

  • ∑i=1m (Yi - Ȳ ) X̄ = 0
  • β2 ∑i=1m (Xi - X̄) X̄ = 0

β̂1 = ∑i=1m (Xi - X̄) (Yi - Ȳ)/∑i=1m (Xi - X̄)2

β̂0 = Ȳ − β̂1 X̄

funzioni lineari, β̂1 (in segno) dipende dalla covarianza, perché la varianza è sempre +

b) Form ricavate distr. appross β2 con n grande

β̂1 - β̂ = 1/zm ∑mi=1 (Xi - X)ui

/ / / /i=1 (Xi - X)2

condivido per m2 = Σm(Xi - X)2

divido al num e div per m e al denominatore

moltiplico /divido per (n - X)

β̂1 - β̂2 = 1/m ∑mi=1 (Xi - X)Vi

con Vi: (Xi - X)ui

variabili casuali

con n grande (lavano con grandi campioni) posso semplificare:

Σmi=1 (Xi - X)ui ∼

(Xi - h)iui ∼σ2

σ2

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doc.ale.b
A.A. 2017-2018
28 pagine
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SSD Scienze economiche e statistiche SECS-P/05 Econometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher doc.ale.b di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof Castagnetti Carolina.