Energia e lavoro

Lezione: Lavoro ed Energia

2^a Legge di Newton: _A

dove avremo forza agente su un corpo e integrale rispetto al tempo. Consideriamo ora una F che agisce per spostare un corpo di un tratto infinitesimo. Definiamo il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza F come...

casi: ₁

quindi, considerando uno spostamento tra due punti A e B lungo una traiettoria γ (curvilinea):

∫ _γ F · ds

il lavoro è l'integrale di linea della forza lungo la traiettoria! Se ho più forze agenti: F_R = ∑ F_i

lavoro della forza risultante = somma dei lavori delle forze agenti

Nota: W = 0 se:

1. _FR = 0
2. _FR · ds = 0
3. F_R ⊥ ds

LEZIONE: LAVORO ED ENERGIA

2^a LEGGE DI NEWTON:

F dt = dp ⇒ ∫ F dt = ∫ dp = Δ p

dove avremo forza agente su un corpo e integrali rispetto al tempo.

Consideriamo ora una F che agisce per spostare un corpo di un tratto infinitesimo ds. Definiamo il lavoro infinitesimo compiuto dalla forza F come:

dW = F . ds = F ds cosα

Scalare!!!

∫ (F cosα) ds

Componente di F lungo la direzione del moto

F²_P⁄d³

Casi:

• 0 < θ < π⁄2 ⇒ Lavoro Positivo ⇒ Lavoro Motore
• θ > 7π⁄2 ⇒ Lavoro Negativo ⇒ Lavoro Resistente
• θ = π⁄2 ⇒ Lavoro Nullo

Quindi, considerando uno spostamento tra due punti A e B lungo una traiettoria γ (curvilinea):

W = ∫_A t_stop = v₀ / μ_dg

Energia Potenziale

Con E_cin abbiamo associato un'energia al moto di un corpo.

Nel caso di forze conservative possiamo associare un'energia anche alla q.

Pensiamo al lancio di una palla in aria!

Quando la lanciamo, gli diamo un'energia cinetica.

La palla comincia a scendere. Perché?

La forza grav. adesso fa un lavoro positivo (motore)

• La palla torna al punto di partenza (la mano)

Diagramma sbario

Moto reale

In A l'E_cin è massima ma man mano che la palla prende quota questa diminuisce. Dove va a finire?

Diciamo che la forza gravitazionale “sottrae” energia cinetica alla palla e la trasferisce all'energia potenziale del sistema palla-terra

Arrivata in B la palla non ha più energia cinetica: si ferma.

Ma adesso il sistema palla-terra ha una sorta di “credito energetico” che deve spendere; quindi la forza gravitazionale trasferisce energia potenziale che viene trasformata in energia cinetica della palla, che comincia a ricadere

In questa fase la forza grav. fa lavoro positivo sulla palla

• La palla arriva in C con l'energia cinetica che aveva al lancio (in assenza di forze dissipative tipo attrito)

Riassumendo:

Se indichiamo con U l'energia potenziale (o Ep) allora avremo

U = -W

Energia Meccanica

Definizione: E_mec = U_c + E_cm

Se sul sistema agiscono solo forze conservative cosa succede?

Assumiamo anche che il sistema sia isolato ovvero non vi sono forze esterne.

• ρξΔ E_cm = L → ρξΔ = ΔU *
• ΔU_cm = -L

Se il sistema si muove tra due stati A e B (o iniziale e finale):

• E_c^B_m - (U^B_c + V^B) = E_c^A_m + U^B_c + V^B
• cioè E_mec^B = E_mec^A → E_mec si conserva!

Quindi anche se energia cinetica e potenziale possono variare prese singolarmente, la loro somma è costante: ρξΔ emecφ

Principio di conservazione dell'energia meccanica

Questo teorema ci semplifica molto la vita, perché nei casi di sistemi isolati e forze conservative possiamo legare l'energia del sistema ad un istante con quella di un altro istante senza occuparci degli stati intermedi.

Esempio: Pendolo

Semplice con piccole oscillazioni.

g_n.o = g

lcosθ_Alcosθ_B

θ_o = ^q/_l

θ

n

l

ω² = g/l

Teorema energia cinetica

W_peso ΔE_cm

W_peso = -mg(y_g-y)

ΔE_cm = ¹/₂ mΔv_A² + ¹/₂ mΔv_o²

= -mg(^-gθ_o2/₂ + ^θ2/₂) = ¹/₂ m_Al²g²

Derivo rispetto al tempo ambi membri → (g è costante a.i.)

= ^d/_dt (-gθ² + g² + ¹/₂^θ_o)

= ^d/_dt (l (dθ²/))

→ -g (2gθ) = g(2gθ)

→ θ^.. = - ^g/_lθ

Esempio: Macchina di Atwood

m_A m_B

Partenza da fermo come in figura θ_A = θ_B h_o^A h_o^B h_o = h

Arnica a terra di B θ_A = θ_B h_B h_B = h_o

Legge di conservazione dell'energia meccanica:

ΔE_mech ^o ΔE_c0 ^o ΔE_c1 = ^ΔE_cin + ΔE_b = 0

= ¹/₂ m_nAv_A² + ^{1 F_pus/F_pus=F/9.8×1.33N ≈133 (tanti della botta)}

Il tempo richiesto per fermarsi lo otteniamo dal teorema dell'impulso:

F=Δp/Δt=>Δt=mΔv/F=m(v_f-v_o)/F

=m(v₀/F)=m×(mv₀/W_f)=m×mv₀/1/2mnv₀²/2d

=>2×50/130³m/3.6²s =>47.7 ms

Esercizio

Una persona in bicicletta si trova in cima ad una serie di dossi e smette di pedalare...

1. Con quale velocità arriva in H considerando gli attriti.
2. Come cambierebbe il risultato se il ciclista pesasse il doppio?
3. Supponiamo di aumentare l'altezza del punto C: quale sarebbe il valore minimo h_c che non permetterebbe al ciclista di arrivare in H?

h_A=6.5m h_G=4.8m

h_F=3.5m h_B=0.5m

Non c'è attrito, e la massa del ciclista è M = m_c + m_bic.

L'energia meccanica si conserva lungo tutto il tragitto. Se x è il punto:

E_x = K_x + U_x = ¹/₂ Mv_x² + Mg h_x

Quindi, E_H = E_A => ¹/₂ Mv_A² + 0 = Mg h_A + ¹/₂ Mv_A²

=> v_H = √v_A² + 2gh_A = √9 + 2.98.6 = ^m/_s

Se cambiamo in h_c l'altezza di E per evitare che il ciclista proceda oltre

Richiediamo che v_E = 0.

E_C = _A => ¹/₂ Mv² + Mgh_c = ¹/₂ Mv_A² + Mgh_A

=> h_E = h_A + ^v_A2/_2g = 6.0 m + 4 / 2 ^{9.8 m/s2/_{9.81 m/s2} ≈ 6.46 m}

Quindi dobbiamo alzare C di 6.46 m - 4.8 m = 1.66 m.

Energia meccanica e forze non conservative

Abbiamo detto che per forze conservative ΔE_mec = 0

Ma nei problemi reali di solito abbiamo sia forze conservative (FC) che

non conservative (FNC) che entrano in gioco.

In questi casi, il lavoro totale è W_tot = W_FC + W_FNC

Il teorema dell'energia cinetica vale ancora, quindi:

W_tot^w = K_final - K_iniz

Ma W_FC = -ΔU => W_FC + W_FNC = -ΔU + W_FNC = ΔK

=> W_FNC = ΔU + ΔK = ΔE_mec

Quindi in questo caso più generale l'energia meccanica non si conserva

e c'è una variazione e pari al W_FNC se le forze non conservative

sono solo di attrito o dissipative, allora W_FNC < 0 => ΔE_mec < 0

Come si perde/consuma energia meccanica

Esempio: l'orologio fotonico

Un orologio fotonico ha un fotone che si trova tra 2 specchi paralleli.

Il moto da AB richiede un tempo t, quello da B ad A anche.

Poiché il fotone rimbalza sugli specchi, il tempo T = 2t può essere usato come il periodo di un'oscillazione.

Qui: t + d/c dove d è la distanza tra gli specchi, c è velocità luce.

Adesso mettiamo il nostro sistema su un treno che si muove di moto rett. uniforme con velocità v. Noi restiamo a terra ad osservare che (fermi).

Adesso vediamo che il fotone impiega un tempo t' per fare la tratta AB.

Poiché si muove (il treno) a velocità v, possiamo calcolare le distanze in gioco.

d/c = ct'

Quindi: (c² - v²)t² = c²t² => t' = ct/√{c² - v²} = t/√{1 - v²/c²}

Ma purché sta sul treno (fermo nel suo sistema di riferimento, con l'orologio fotonico)

Con γ: γ = 1/√{1 - v²/c²}

β = v/c (ricordare prima lezione)

γ ≥ 1 sempre => t' > t sempre

(con t' = t solo se v=c)

• 4/2 β 1.15
• 1/10 β 1.0055
• 4/10 β 1.021
• 9/10 β 2.29
• 99/100 β 7.08
• 999/1000 β 22.37

Quindi 2 osservatori in moto (rett. uniforme l'uno rispetto all'altro) non misurano lo stesso tempo (fermi).