Lavoro ed energia

LAVORO ED ENERGIA

DEFINIZIONI

• LAVORO: caratteristica di una forza di operare uno spostamento.
• ENERGIA: capacità di produrre lavoro.
• LAVORO: processo attraverso il quale una certa quantità di energia si trasferisce da un corpo a un altro.
• MACCHINA: dispositivo vincolato capace di spostare il punto di applicazione di una forza, chiamata "resistente", sfruttando un'altra forza, chiamata "motrice". La macchina può convertire una forza motrice di modulo più piccola rispetto alla forza resistente.

LAVORO INFINITESIMO E LAVORO

Lavoro infinitesimo compiuto da una forza:

dL = F · dl

dl = dx î + dy ĵ + dz k̂

Lavoro di una forza:

L_{(A, B)}(F) = ∫_{(A, B)} F · dl

[L] = [F][l] = [ma][l] = [MLT^-2][L] = [ML²T^-2] U.d.m SI: Joule → 1J = 1N · m

Il lavoro compiuto da una generica forza F, il cui punto di applicazione P si sposta da A e B lungo una linea l, è il valore totale del prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento infinitesimo dl.

Il lavoro di una forza dipende dagli estremi ma anche dalle traiettorie.

LAVORO DI UNA FORZA ELASTICA

Es: Espansione di una molla

_F = -kx_x̂

d_l = _F·d_e = -kx dx_x̂ = -k x dx

L_{12 ∫l}^p2_p1 d_e= -k _∫x2x1 x dx =

= -k [^x2₂]x1

= ^k₂ x²

= -k/2 (x₂-x₁)² + k/2 (

= -k/2 (x₂ - x₀)² + k/2 (l² - l₀)²

le masse non compaiono più

LAVORO DELLA FORZA PESO

_F = -mg_k̂

d_l = _F·d_e = -mg_k (d_x̂ + d_ẑ)

= -mg dz

L_{12 ∫l}^p2_{p1 F}·d_e = -mg (z₂ - z₁)

= mg k > 0

_F ha compiuto un lavoro perchè ha riportato _P ai punti di applicazione da _P1 a _P2

POTENZA DI UNA FORZA

Def: capacità delle macchine e dei sistemi di compiere lavoro in un certo tempo

P = d_l/dt

Per un punto materiale:

P = d_l/dt = _F·d_e/dt = _F·d_e/dt = _F·_v

[P] = [_Fd][_LT] = [M_LT^-2][T^-1] = [M₂ T^-3]

Udm SI = Watt

1 W = 1 Js/s

3) Enunciare e dimostrare il teorema delle forze vive.

Studente C: Il teorema delle forze vive esprime il lavoro compiuto da una qualsiasi forza su un qualsiasi sistema meccanico:

L_AB = T_B - T_A = ¹⁄₂mv_B² - ¹⁄₂mv_A² ed è uguale alla variazione di energia cinetica fra il punto finale e quello iniziale. Dimostrazione:

dL = R_ddl = ma_ddll   (perché la risultante delle forze soddisfa il secondo principio)

dL = R_ddl = ma_ddt = m ^dv⁄_dt dt = m d( vida) = d( ^m⁄₂v⁰) dt

Posto: T = ¹⁄₂mv² Energia cinetica → dL = dT dt da cui L = ∫ (dL = dT dt)=T_B - T_A.

Un campo vettoriale F è detto conservativo se ammette un potenziale, viceversa esiste una funzione tale che:

∇V = F (grad)

Ora prendo I e II e le derivo rispetto a y la I^a e rispetto a x la II^a

Dal Teorema di Schwarz le derivate non dipendono dall'ordine di derivazione.

Ossia:

Se le I^e comp del rotore = ∅

Procedendo in modo analogo con le altre due coppie:

→

(rotore è rispetto alla rotazione)

CALCOLI DI ENERGIA POTENZIALE

- Data una forza conservativa, trovare l'Energia potenziale.

V(P) = U(P) = Lop - ∫_op F · dl = ∫_oP F · dl

Lop Loe Lo2P LoABB

(0,0,0,0) A(x̄,0,0) B(x̄,ȳ,0)

P(X, ȳ, z̄)

V(P) = -∫_0P F · dl - (∫_OA F · dl + ∫_AB F · dl + ∫_BP F · dl)

OA: dl = dx î , F · dl = Fx dx → ∫_0A F(x, 0, 0) dx

AB: dl = dy ĵ , F · dl = Fy dy → ∫_AB F(x̄, y, 0) dy

BP: dl = dz k̂ , F · dl = Fz dz → ∫_0P F(x̄, ȳ, z) dz

V(x̄, ȳ, z) = -∫_0P F · dl - ∫₀^x Fx(x, 0, 0) dx + ∫₀^y Fy(x̄, y, 0) dy + ∫₀^z Fz(x̄, ȳ, z) dz

ESEMPI

1. FORZA COSTANTE: F = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂

V(P) = U(P) = Lop - ∫_op F · dl = ∫_0P F · dl

Energia potenziale: V(x, y, z) = Lop - (x Fx + y Fy + z Fz)

Verifica: Fx = ∂V/∂x = -(F

x) = -fx

CONSERVAZIONE dell'ENERGIA MECCANICA

• LAB T(AB) T(BA) T(A) V(A) V(B)
• LAB V(BA) V(AB)
• E T(AB) e LOG

CALCOLI di ENERGIA POTENZIALE

1. FORZA COSTANTE
   • F_c = F_xi + F_yj + F_zk
   • V(x,y,z) = -(x F_x + y F_y + z F_z)
2. FORZA PESO: F_p = -mgk
3. V(x,y,z) = mgz
4. FORZA ELASTICA
   • F_e = -k r = -k (x i + y j + z k)
   • V(x,y,z) = ^k/₂(x²+y²+z²)

CAMPI CENTRALI A SIMMETRIA SFERICA

• F(r) = F(r)a_c
• F = r a
• df = dr a_r + rda_c

dL = -F(r)dr = -dV(rd) → F(r) = -dv(r)/dr

LAB= ∫_A^B(F)dr = -∫_A^B dV(r) = V(ca) - V(cb)

Tutti CAMPI CENTRALI A SIMM SFERICA sono CONSERVATIVI