Domande di teoria esame di Statica

Richianda:

Derivare la PFSR per i sistemi di corpi rigidi:

La cinematica si occupa di descrivere come varia la configurazione di un corpo rigido quando questo subisce uno spostamento.

Il corpo è rigido, per cui le varie distanze fra i punti che lo compongono restano invariate.

Lo spostamento è rigido ed isometrico, per cui la configurazione finale sarà identica a quella iniziale, lo spostamento rigido di un corpo è un insieme di rigidità di due tipi:

1. Traslazione rigida: considerato il corpo solidale ad un polo O, se O si sposta traslando di _p, allora anche il corpo e un punto di questo (P) traslano della stessa quantità. _p = _O
2. Rotazione rigida: essa avviene attorno ad un asse passante per il polo di riferimento O, tale che è caratterizzato dal verso e che ne fornisce la direzione. La rotazione è descritta da = _c ( = rotazione). Il punto P ruota esibendo una circonferenza il cui ^' è esibita la proiezione sull'asse _c, sposta il _i.

(|PP^'| = |CP| - |CP₁|) = |CP| - |CP| cos

(|PP^'| = |CP|(1 - cos )) (cambio di segno perchè il verso è opposto della direzione di CP.)

|P₀P_i^'| = |CP| sen

Ora devo dare le direzioni: _p = _O + CP (cos -1)

Per avere la direzione devo introdurre il prodotto vettoriale del vettore ℓ per CP. |CP| = ℓ x CP = |ℓ.| (CP) sen 90^o

_p = ₀ + (_b−1) + sen_z ×

adesso possiamo risolvere la F.G.S.R

_p = ₀ + (_b−1) + sen_z ×

_p = ₀ + _E ×

proietto la formula in un sistema cartesiano la cui origine coincida con polo .

_p = ₀ + _x ×

₀ = ₀ + _j + _k

_p = ₀ + _w

̇ = _x + _y + _z

= + +

̇ × =

det = (_yz − _zy) − (_xz − _zx) + (_yx − _xy)

matrice di rotazione libera.

DOMANDA:

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE:

• Si considera una trave AB e in immaginidi di suddividere la trave in due parti in corrispondente di S. in cui si voglia calcolare la sollecitazione. Si ottiene allora il sistema delle relazioni vincolari.
• I due tronchi si scambiano forze agenti sui contorni chiamati "azioni interne", queste sono identiche come le risultanti delle forze esterne che le due parti si scambiano tramite il taglio S.
• Le componenti delle azioni interne forze e momento risultanti sono detti "caratteristiche della sollecitazione":
  • Forza assiale: forza normale N
  • Forza trasversale: sforzo di taglio T
  • Momento sul piano: momento flettente M
• Le cos_x sono grandezze duali delle dislocazioni come le reazioni vincolari sono grandezze duali degli spostamenti.

LAVORO DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE:

f = q

l_A = f·q = qI + E = Σ_i(f_xiµ_i + f_yiv_i) + Σ_jM_yθ_j

γ; s̅ => l_R, s̅ = Σ_r(v_xiµ_i + v_yiv_i ) + Σ_drθ_C

- STATICA:

- CINEMATICA:

L_S = L_S1 + L_S2

= -N_u1 + T_v1 + M₉ - N_u2 - T_V2 - M_U2

= -N(µ - µ₁) - T(V₂ - V₁) - M(θ₂ - θ₁)

Sistema staticamente impossibile o ipostatico:

m < n

B • r + f = o → ∅ soluzioni

Non c'è il numero sufficiente di reazioni vincolari in grado di equilibrare una struttura sotto l'azione delle forze esterne attive.

Sistema staticamente indeterminato o iperstatico:

m ≥ n

B • r + f = o → ∅ o m^n-m soluzioni

Ci sono più reazioni rispetto alle forze esterne attive.

x_A + x_B = 0

y_A - p̄α = 0

− y_B α − p̄ α − α = 0

x_A = ⁴⁄₃ p̄α

y_A = p̄α

x_B = −⁴⁄₃ p̄α

l_A = −p̄α h

= −^{p̄α 4 . S}⁄₃

l_B = x_A . S = ⁴⁄₃ p̄α S

→ l_A = l_B → l_c = 0

equilibrio verticale

δy_A + δy_B = 0

δy_A = -1 → δy_B = -s

δy_A(-s) + δy_B A = 0

δy_B = δy_A · s

la prima parte del problema è isostatico, quindi da:

B₁r + f₁ = 0

r = -B₁^-1f₁

per essere la soluzione del problema deve soddisfare anche:

B₂r + f₂ = 0

(in generale questo è ban ovvio)

se è vero ho trovato una soluzione.

confrontando i risultati sia cinematici che statici, emergono delle analogie:

1. Caratterizzazione dei vincoli: i vincoli hanno stessa molteplicità in ambito cinematico e statico.
2. Analogie tra problema cinematico e problema statico.
3. Analogie tra classificazione cinematica e statica.

quindi:

B r + f = 0

mxm incognite n x m termine noto

m x u forze esterne reazioni esplicate dai vincoli forze esterne attive

(A - M) s = t

mxm vxu mxu

=> A = B^T

la matrice cinematica e quella d'equilibrio, luna é l'opposta dell'latra.

DUALITÀ

STAZIO + CINEMATICA

x_G = ⁴/_{9 a²} b/₂ + ^a2/(_{b + a}/₂) - ^{19 a}/₄₂ → x_G = ^{19 a}/₄₂ = y_G

I_x = I_x - y²_G⋅A_t

I_y = I_y - x²_G⋅A_t

I_xy = I_xy - I_t⋅^⋅x_G⋅y_G

In questo caso I_x = I_y:

I_x = ^{67 a4}/₂₄₃ - ^{19 a}/₄₂ = ^{67 a4}/₂₄₃ - ^{361 a4}/₂₂₀₈ = ^{793 a4}/₆₃₀₄

I_xy = ^{31 a4}/₃₂₄ + ^{4 a2}/₉(^{49 a}/₄₂) (^{19 a}/₄₂) = ^{-4 a4}/₆₃ ← modulo di inerzia rispetto agli assi baric.

3) DETERMINAZIONE ASSI CENTRALI PRINCIPALI DI INERZIA E DEI MOMENTI PRINCIPALI:

In particolare esistono due momenti di inerzia rispetto agli stessi assi baricentrici che godono della proprietà di essere uno il massimo, ed uno il minimo; tali momenti di inerzia sono detti principali; gli assi ad essi corrispondenti sono assi principali di inerzia, i quali hanno la caratteristica di essere ortogonali.

• I_I = ^{I_y + I_x}/₂ + ^{|I_y - I_x|}/₂ - ^{|I_xy| -}
• I_II = ^{I_y + I_x + |I_y - I_x|}/₂ + I_xy² -

Svolgendo i calcoli:

• I_I = ^{1785 a4}/₉₇₂ ; I_II = ^{361 a4}/₆₃₀₄

— L’orientamento degli assi principali è dato da:

• Ө_{iarctg (}²/_{|Iy - Ix|} → in questo caso particolare, dove I_x = I_y, si ha:
• I_I = ^u/₄ e I_II = ^u/₄