Domande aperte idraulica

1- Illustrare il principio di funzionamento del Venturimetro e del tubo di Pitot.

S

1 2

Z B B’ ∆ℎ

Presa di pressione

Il venturimetro è uno strumento che seve a misurare la portata all’interno di una condotta: esso è di fatto un restringimento che viene applicato su

un tratto di quest’ultima nel quale gli effetti delle viscosità sono trascurabili. Posso quindi lavorare nell’ipotesi di fluido perfetto. In un venturimetro

si posiziona una presa di pressione immediatamente a monte e una presa di pressione in corrispondenza della sezione ristretta e si misura la

.

differenza di pressione. A tale scopo si usa ad esempio un piezometro e come fluido indicatore, per esempio, il mercurio di peso specifico Presi

due punti 1 e 2 lungo s, in corrispondenza delle prese di pressione, nell’ipotesi di fluido perfetto l’energia in 1 è uguale all’energia in 2:

2 2

1 1 2 2

1 = 2 → + ℎ1 + = + ℎ2 + ℎ1 = ℎ2.

,

2 2

Assumendo che il fluido sia omogeneo ed incomprimibile, l’equazione di continuità dice che la portata è costante in tutte le sezioni ortogonali ad s:

= 11 = 22. Si ottiene quindi:

2

1−2 1 1 1

2 2 ′

(2 )

= − 1 = − → 1 + = = = 2 + ( − ∆ℎ) + ∆ℎ → 1 − 2 = ∆ℎ( − )

( )

2 2

2 2 2 1

Note le pressioni p1 e p2 posso calcolare la portata Q dalla formula precedente.

Il tubo di Pitot è uno strumento che serve per misurare la velocità del campo di moto: esso consiste in un cilindro di piccolo diametro immerso in

0

una corrente in moto, con asse parallelo alla direzione di quest’ultima. Questo cilindro presenta due prese di pressione: una dinamica in

corrispondenza della testa ed una presa statica che è posta lateralmente alla stessa quota della precedente. Al termine del gambo vi è infatti un

∆ = −

piezometro che misura la differenza di pressione: .

Analizzando l’andamento delle linee di corrente si nota che quella coincidente con l’asse del tubo di Pitot in corrispondenza della presa dinamica si

divide in 2. Il punto in cui questa si biforca è detto punto di ristagno ed è il punto nel quale la velocità è nulla. La velocità in corrispondenza della

presa statica vale .

0 2 2 2

1 1 2 2 (1−2)

+ ℎ1 + = + ℎ2 + → =

Lungo s, in ipotesi di fluido perfetto posso applicare il teorema di Bernoulli: . Sono quindi riuscito a

√

2

2 2

calcolare la velocità , che è pari a , ovvero la velocità del fluido indisturbato.

2 0

2- Illustrare il principio di funzionamento di una turbina Pelton indicando le ipotesi di lavoro e le semplificazioni introdotte

indicando e stimando il massimo rendimento della stessa.

La turbina Pelton è una girante sulla cui periferia sono fissate delle pale a cucchiaio, le quali vengono investite da un getto ad alta velocità. Le pale

hanno una forma tale da provocare simmetricamente la divisione del getto in due parti e la sua deviazione di quasi 180°. In un brevissimo intervallo

= ,

di tempo la paletta colpita dal getto si sposta con la velocità periferica orizzontale ed uniforme.

Considero come volume di controllo la porzione di fluido compresa fra la sezione d’ingresso e la sezione d’uscita della generica pala investita. La

portata che entra nel volume di controllo è Q’, mentre quella che esce dalle parti finali di tale volume è Q’/2 (essendo il getto biforcato

simmetricamente). Prendo la linea di corrente che dalla sezione di ingresso prosegue superiormente: la pressione del getto entrante è uguale a

= =

quella del getto uscente ossia e dato che siamo su un piano orizzontale i carichi cinetici sono uguali: . Per simmetria ,

1 0 2 0

considerando la linea di corrente che prosegue inferiormente. ′ ′

′

= + + ,

Applicando il teorema della quantità di moto sul volume di controllo definito in precedenza ottengo: 0 1 2

2 2

ove R è la risultante degli sforzi di pressione lungo la parete che devia il getto.

′

= (1 + ), = − .

Si ha quindi che con

0 0 0

= × .

La potenza di ogni singola paletta è: La potenza complessiva è quindi paria a:

0′ 0′ 0′

(1

= ( + )) × = ( − )(1 + ),

con portata uscente dal getto.

0 0

0′ 0 0

= (1 + )( − 2) = 0 → = =

, quindi ho la potenza massima al variare di u quando .

0

2 2

2

0′ 0

= (1 + ).

La potenza massima risulta quindi essere pari a: 4

2 2

0′ 0′

0 0

= = =

La potenza totale è pari a: .

2 2 2

(1+)

0′ 0

1+cos

2 2

= = =

Il rendimento idraulico di questo dispositivo è: .

2

2

0

0′

2 ≈ 98%.

I rendimenti che si ottengono con questa turbina sono molto elevati, ossia

3- Si illustri il principio di funzionamento di un’elica e si discuta in particolare il caso di un mulino a vento o delle pale

eoliche, valutando l’espressione del rendimento.

S

1 2 Uv Vs

4 1

2 3 4

1

Nella seguente trattazione sono attuate le ipotesi di fluido perfetto e di moto stazionario. Immaginiamo inoltre di avere a che fare con un fluido non

pesante (aria).

Si consideri un’elica che spinge il fluido da sinistra verso destra e si consideri il tubo di flusso composto dalle linee di corrente che sono tangenti

all’ingombro dell’elica.

Adottiamo anche l’ipotesi di fluido omogeneo ed incomprimibile, quindi la portata è costante in ogni sezione del tubo di flusso. Con riferimento a

quest’ultimo individuiamo quattro sezioni: una abbastanza a monte, una abbastanza a valle e due sezioni immediatamente a monte ed a valle

= 11 = 22 = 33 = 44.

dell’elica. Dato che la portata è costante si ha che:

A2=A3=Ae (area ingombro dell’elica). (segue che v2=v3)

Applichiamo il teorema della quantità di moto ad un volume di fluido compreso tra le sezioni 1 e 4, indicando tutte le forze che agiscono in

1 + − 4 = 0, = (4 − 1)

direzione orizzontale: ove è la spinta che l’elica esercita sul fluido.

Considero il volume di flusso tra 2 e 3 e applico nuovamente il teorema della quantità di moto considerando anche in questo caso solo le forze in

22 + − 33 = 0 = (3 − 2).

direzione orizzontale: . Quindi la spinta S è pari a 2 2

1 1 2 2

+ ℎ1 + = + ℎ2 +

Considero ora il teorema di Bernoulli lungo una linea di corrente coincidente con l’asse nel tratto 1-2: , (h1=h2,

2 2

2 2

1 −2

2 =

p1= ). Si ha quindi che .

2 2 2

4 −3

3 =

Lo stesso bilancio lo posso fare tra le sezioni 3-4, e ciò mi permette di esprimere p3 come .

2

42 32 12 22

= ( − − + ). (4 − 1) = (4 −

Ottengo così che la spinta dell’elica sul fluido vale Confronto le due espressioni di S:

2

1)(4 + 1). In corrispondenza dell’elica si ha che v2=v3=ve, ove ve=Q/Ae.