Diodo corto

Nel caso di un diodo infinito, abbiamo detto che e perché abbiamo visto

= 0 = 0,

# % *

)

che gli eccessi decadono esponenzialmente in funzione del reciproco della lunghezza di diffusione

dei portatori minoritari nelle regioni quasi neutre di tipo n e p. Dunque, nota la lunghezza di

diffusione dei portatori minoritari, gli eccessi sono nulli quando la dimensione delle regioni quasi

neutre è almeno 4-5 volte la lunghezza di diffusione dei portatori minoritari. Dunque, le condizioni

al contorno erano facilmente definibili.

Un diodo in cui queste condizioni non sono verificate tipicamente è definito diodo corto o a base

corta. Il problema di un diodo di questo tipo, è definire le condizioni al contorno e valutare ciò che

accade ai contatti ohmici. Se la regione quasi neutra non è infinita, ai contatti l’eccesso di portatori

minoritari, sarà sicuramente diverso da zero e in questo caso non potremmo applicare le

condizioni al contorno definite nel caso di un diodo lungo.

Che fine fa quindi l’eccesso di portatori minoritari? Possiamo pensare che questo eccesso di

portatori minoritari, ai contatti ohmici, possa scomparire con una certa velocità, definita velocità

di ricombinazione superficiale. Faremo pertanto l’ipotesi che questo eccesso, sia in ogni caso nullo

" "

ai contatti e quindi che siano ancora valide le espressioni e Ciò che

= 0 = 0.

# % *

)

accade è che, indipendentemente da quanti elettroni minoritari vengono iniettati nella regione

quasi neutra di tipo p e quante lacune vengono iniettate nella regione quasi neutra di tipo n, ai

contatti ohmici ci sarà un numero sufficiente di lacune (nella regione di tipo p) e di elettroni (nella

regione di tipo n) tale da ricombinare con qualsiasi eccesso arrivi, ovvero considereremo i contatti

ohmici come serbatoi infiniti di carica.

Si può considerare questa come una estensione del concetto di contatto ohmico. Abbiamo visto

che fino a questo momento, per contatto ohmico si intendeva un contatto metallico sul quale la

caduta era nulla. A questo aggiungiamo che al contatto ohmico è presente un serbatoio infinito di

carica tale che gli eccessi siano comunque nulli.

Sarà possibile in questo modo applicare le stesse condizioni al contorno viste nel caso di un diodo

lungo. La soluzione sarà la stessa? No, perché la soluzione generale era costituita da due

esponenziali, uno crescente e uno decrescente, e abbiamo visto che quello crescente era nullo

perché per la funzione diverge. In questo caso, non si ha più ma

′ → ∞ ′ → ∞ ′ →

e quindi la soluzione non diverge più.

Per semplificare i conti, senza perdere di generalità, supponiamo che il diodo sia infinito solo a

sinistra nella regione quasi neutra di tipo p, cioè diremo che tale regione ha una lunghezza che è

almeno 4-5 volte la lunghezza di diffusione degli elettroni (portatori minoritari), mentre

considereremo corto il lato n. Introduciamo un nuovo sistema di riferimento in cui lo zero di

′, ′

coincida con e andiamo a risolvere l’equazione di continuità delle lacune nella regione quasi

9

neutra di tipo n, nelle ipotesi di bassa iniezione, quasi neutralità, livello di trappola coincidente con

il livello di Fermi intrinseco, approssimazione di tempo di vita medio ecc.

Dobbiamo risolvere l’equazione

* )" " )" " )"

( ) ( )

= = 0 ≤ ′ ≤ ′ A

* *

′

# # #

dove ′ = (ℎ )

A )

′ = − ( ℎ )

A * 9

CONDIZIONI AL CONTORNO

1. Per (ai limiti della regione quasi neutra di tipo n e al confine con la regione di

′ =

"

svuotamento), . Quest’ultima

′ = = − = −

condizione si chiama LEGGE DELLA GIUNZIONE.

" ®

2. CONTATTO OHMICO

′ = ′ =

La soluzione generale è Z" "

" "

= +

Adesso è possibile applicare le condizioni al contorno

"

per ′ = = +

è * Z^" ^"

_ _

` `

"

per si ha che

′ = ′ = 0 = +

è a a

% *

Adesso, si devono solo fare alcuni passaggi algebrici

• Ricaviamo dalla prima

)"

= ′ = 0 −

% *

• Sostituiamo nella seconda Z^" ^"

_ _

` `

)"

0 = [ ′ = 0 − ] +

a a

* *

Z^" ^" Z^"

_ _ _

` ` `

)"

0 = ′ = 0 + ( − )

a a a

*

• Ricaviamo * Z^" _ `

a

)"

= − ′ = 0

^" Z^"

_ _

` `

−

a a

• Questo lo sostituiamo nella prima

* Z^" _ `

a

)" )"

= ′ = 0 + ′ = 0

^" Z^"

_ _

` `

−

a a

• Facciamo il minimo comune denominatore e semplifichiamo i termini uguali e contrari

^" Z^" Z^"

_ _ _

` ` `

− +

a a a

)"

= ′ = 0 ^" Z^"

_ _

` `

−

a a

^" _ `

a

)"

= ′ = 0 ^" Z^"

_ _

` `

−

a a

• A questo punto, avendo e , li andiamo a sostituire

% *

^" Z^"

_ _

` `

Z^" ^"

a a

` `

)" " )" )"

= ′ = 0 + − ′ = 0

a a

^" Z^" ^" Z^"

_ _ _ _

` ` ` `

− −

a a a a

d d

(^" Z^ ) Z(^" Z^ )

_ _

` `

−

a a

)" " )"

= ′ = 0 ^" Z^"

_ _

` `

−

a a

Sia al numeratore che al denominatore, ci sono delle espressioni che ci riconducono alla

definizione di seno iperbolico ^ Z^

−

ℎ = 2

dunque "

′ −

A

ℎ

#

)" " )"

= ′ = 0 0 ≤ ′ ≤ ′ A

′ A

ℎ

#

• A questo punto possiamo calcolare la corrente dei minoritari ai limiti della regione quasi

"

neutra di tipo n, per e quindi per

= 0 =

9 ′ A

ℎ

" "

1 #

) " "

= ′ = 0 = − = + = 0

ghii. # # # ′

)

′ A

# ℎ

d

^ lm

#

[Al denominatore non va fatta la derivata perché è un numero e non una funzione]

• Possiamo ordinarla in questo modo ′ A

ℎ

h*

q r

# #

= −1

q s

′

A

# p ℎ

#

" "

Abbiamo esplicitato per definire la dipendenza dalla tensione. La corrente di

= 0

)

diffusione sostanzialmente non è cambiata di molto, perché dal punto di vista della dipendenza

dalla tensione, la caratteristica corrente – tensione di un diodo di dimensione qualsiasi rispetto a

un diodo lungo è sempre di tipo esponenziale, perché tale esponenziale deriva dalla condizione al

contorno della legge di Boltzmann, la dipendenza è la stessa.

Ciò che è cambiato è quella che abbiamo definito corrente di saturazione inversa o (fattore

t m

pre - esponenziale) q r

m"

= −1

q s

ghii. −

* 9

ℎ

*

# #

h

m"

= −

* 9

ℎ

# p

#

Se vogliamo calcolare la corrente totale di questo diodo a base corta (che ha una sola regione non

infinita) si ottiene, aggiungendo anche il contributo degli elettroni che

q r

m""

= −1

q s

e quindi la dipendenza dalla tensione è sempre la stessa, con

h*

)

"" "

= +

m m

) 8

vw

)

p ®

u contributo dovuto alla diffusione degli elettroni nella regione quasi neutra di tipo p

` x

u y (infinita)

È chiaro che potremmo considerare un diodo corto da entrambi i lati, al posto di si avrà ,

′ ′

A g

ovvero la lunghezza della regione quasi neutra di tipo p, ma le considerazioni sono le stesse, fatto

salvo per il cambiamento di alcune variabili.

CONSIDERAZIONI SU e

ℎ() ℎ()

Consideriamo il e valutiamolo per e per

ℎ() → 0 → ∞

→ 0

ℎ = {

→ ∞

2

Per possiamo valutare l’andamento della funzione utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor.

→ 0

Sapendo che { Z{

−

ℎ = 2

^ Z^

Si considera lo sviluppo in serie di Taylor di e

*

{

= 1 + + 2 *

Z{

= 1 − + 2

Dunque, per → 0, ℎ = . *

1+ → 0

2

ℎ = {

→ ∞

2 ®

A questo punto, vediamo la soluzione che abbiamo ottenuto. Se consideriamo ′ ∞,

A

dovremmo ritrovare la soluzione che abbiamo definito nel caso di un diodo infinito.

^&