Dinamica longitudinale e cambi di velocità 3

Calcolo delle forze scambiate tra ruote

b F + b F = 0

1 1 2 2 

​ ​ ​ ​

{ ​

M + a F + a F = 0

1 1 2 2

​ ​ ​ ​

posto

a z

i ai  si ottiene:

​ ​

=

τ =

i ​ ​ ​

b z

i bi

​ ​

M ​ M 1 M 1

b  e 

1 ​ =

F = F =

1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b τ − τ b τ − τ

a a 1 2 1 2 1 2

2 1 ​ ​ ​ ​ ​

​ ​

−

​ ​

b b

2 1

​ ​

posto che M 1

 allora 

τ > τ ∣F ∣ =

2 1 2

​ ​ ​ ​ ​

b τ − τ

2 2 1

​ ​ ​

A parità di ,  aumenta a diminuire di .

M F τ − τ

1,2 2 1

​ ​ ​

La situazione più pericolosa si ha inserendo rapporti vicini, con bassi valori di  e .

b b

1 2

​ ​

Lavoro di sincronizzazione nei cambi

I cambi non sincronizzati, molto rapidi (per mezzo ispontivi), hanno innesti a denti frontali.

I cambi con sincronizzatori sono più lenti, ma sono meno rapidi.

Vi sono anche soluzioni che impiegano innesti a denti circonferenziali. Per la sincronizzazione sono

previste piccole frizioni coniche.

Durante la fase di sincronizzazione:

- non c'è interesse a lubrificare le superfici troncoconiche dei sincronizzatori;

- viene dissipata energia sotto forma di calore → l’usura del materiale d'attrito è proporzionale all'energia

dissipata.

Stima del lavoro di sincronizzazione

Si considera un albero 1 robusto a una velocità imposta  costante,

Ω 1 ​

collegato tramite una frizione che trasmettere il momento  a un

M f ​

albero 2 con momento d'inerzia , rotante alla velocità angolare

J ω

2 2

​ ​

(variabile).

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 3 1

 può essere maggiore o minore di , quindi il momento trasmesso tra 1 e 2 tramite la frizione  vale:

ω Ω f

2 1

​ ​



M = M sign(Ω − ω )

12 f 1 2

​ ​ ​ ​

Lavoro su 2 (da  a 2) in  → 

f dt M dθ

12 2

​ ​

Lavoro da 1 a  → 

f M dθ

12 1

​ ​

Lavoro tot → 

dL = M dθ + (−M dθ )

d 12 1 12 2

​ ​ ​ ​ ​ 

dL = M [ sign(Ω − ω )](Ω − ω ) dt = M ∣ ω − ω ∣ dθ

d f 1 2 1 2 f 1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

Se si trascura l’attrito delle coppie rotoidali:

M = J ω̇ ⇒ dL = J ω̇ (Ω − ω ) dt = J (Ω − ω ) dω = −J (Ω − ω ) d(Ω − ω )

12 2 2 d 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​



1 2 1 2 Ω 1 2

1

⇒ dL = − J d[(Ω − ω ) ] ⇒ L = − J [(Ω − ω ) ] = J (Ω − ω )

​

d 2 1 2 d 2 1 2 2 1 20

ω

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2 2 2

20 ​

dove  è il valore iniziale di sincronizzazione.

ω 20 ​

NB: è buona cosa contenere il momento d’inerzia indotto .

J 2 ​

Esempio applicativo: cambio a due marce, con passaggio dalla prima alla seconda marcia.

 → momento ridotto all’albero  di tutte le inerzie

J a

0 ​

(masse su  + ruote al secondario)

a

 → momento ridotto alla ruota della seconda marcia

2

J / τ

0 2

​ ​

su  di tutte le inerzie

b 

J = J → J > J



a 0 0 a

​ ​ ​ ​

→ per ridurre tutto al secondario: definisco l’Energia cinematica (= posso tradurre le inerzie da un punto

ad un altro)

1 2 1 2 1 2 1 2

E = J ω + J ω + J ω = J ω

c,tot a B 1 B 2 0

a a

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

B 1 B 2

2 2 2 2

ω ω

B 1 B 2 

​ ​

2 2 2 2

⇒ J = J + J J J + J τ + J τ

( ) + ( ) =

0 a B 1 B 2 a B 1 B 2

1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ω ω

a a

​ ​

Lavoro di sincronizzazione

J τ J τ 1 1

0 2 0 2 

​ ​ ​ ​

1 2 1 2 2 1 2 2

L = ω ω L = J ω

) = ) ⇒ ( − )

(ω − (1 −

b b 0

d (1→2) d (1→2)

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b b

2 2 2 2 2

τ τ τ τ τ τ

1 1 2 1

​ ​ ​ ​ ​ ​

2 2

J τ 1 1

0 1  a parità di 

​ ​

1 1

2 2 2

) = ( − ) =

(ω −

L = ω J ω L ω

d (2→1) b b 0 d (1→2) b

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

b

2 2 2

τ τ τ τ

2 1 2

1 ​ ​ ​ ​

NB: occorre minimizzare , avere materiali d’attrito adatti e in quantità sufficiente per garantire un’elevata

J 0 ​

autonomia (per usura).

NB: La durata della manovra di sincronizzazione varia in funzione della forza applicata alla leva del

cambio. Per ridurre i tempi morti si può ricorrere a cambi a due frizioni.

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 3 2

Innesto Zeroshift

L’innesto Zeroshif appartiene alla categoria di cambi di marcia rapidi.

È molto veloce nella fase di cambiata, ma avvengo urti → è bene che la frizione slitti in fase di innesto (= si

fa diminuire di poco il momento massimo trasmissibile dalla frizione)

Esempio: cambio a due marce

Componenti:

- Albero con scanalature in senso assiale che ospitano due serie di 3 tasselli scorrevoli assialmente;

- Anello esterno connesso ai tasselli mediante elementi elastici (molle) ;

- Tasselli A e B che differiscono per l’orientazione del profilo dei denti frontali.

NB: spostando l’anello si spostano tutti i tasselli nella stessa direzione; sono invece liberi di scorrere

sull’albero

FOLLE → 1

A velocità basse, se si premono i tasselli A contro la dentatura  il secondario viene messo bruscamente

I

in moto.

Grazie alle molle dell’anello elastico, all’avanzamento di A vengono trascinati anche i tasselli B.

A causa della conformazione dei denti, solo i tasselli A vengono arpionati, mentre

tra la dentatura  e i tasselli B permane un gioco, importante in fase di rilascio.

I

1 → 2

Si sposta verso la ruota  l’anello:

II

i tasselli B sono liberi di scorrere e seguono l’anello e vengono arpionati dai denti di

;

II

i tasselli A non possono ancora scorrere perchè in presa con

;

I

data la velocità di

 maggiore della velocità di  → i tasselli A si sfilano da  e vengono attirati verso .

II I I II

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 3 3

2 → 1

Tenendo conto dell’effetto di rilascio dell’acceleratore → il momento cambia verso.

In fase di rilascio, spostando l’anello a sinistra è possibile far traslare i tasselli B, disimpegnandoli,

portandoli in battuta su , dove vengono arpionati in quanto quest’ultima è più lenta.

I

I tasselli A si sfilano da

 e vengono richiamati dalle molle verso .

II I

Premendo l’acceleratore il momento si inverte e su

 entrano in presa i tasselli A.

I

Richiami di teoria dei rotismi a 2 gradi di libertà

= schematizzati come una scatola + 3 alberi

Cinematica

È necessario scegliere la posizione angolare di

due alberi, il terzo ha posizione definita:



α d θ + α d θ + α d θ = 0

1 1 2 2 3 3

​ ​ ​ ​ ​ ​

(  dipendono dalle caratteristiche geometriche

α i ​

del rotismo)

nel caso di spostamenti angolari virtuali:



α δθ + α δθ + α δθ = 0

1 1 2 2 3 3

​ ​ ​ ​ ​

Ripartizione dei momenti

Nel caso assenza di attriti (= rendimento unitario), per il principio dei lavori virtuali:



M d θ + M d θ + M d θ = 0

1 1 2 2 3 3

​ ​ ​ ​ ​ α α

1 2

dall’eq. precedenti: 

​ ​

− dθ − dθ

dθ =

3 1 2

​ ​ ​ ​

α α

3 3

​ ​  (vera per ogni e  solo se )

α α

1 2

⇒ (M − M )dθ + M − M )dθ = 0 dθ dθ (… ) = 0

​ ​

1 3 1 2 3 2 1 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

α α

3 3

​ ​

M M

⎧ 1 3

​ ​

= M M M

​ ​ 1 2 3

α α 

​ ​ ​

1 3

⇒ ⎨ ​ ​ = =

⇒

​ ​ ​ ​ ​

M M α α α

2 3 1 2 3

​ ​ ​ ​ ​

⎩ =

​ ​

α α

2 3

​ ​

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 3 4

Differenza tra un rotismo ordinario e un rotismo epicicloidale

Rotismo ordinario: tutti gli assi delle ruote sono fissi

1 → ruota con dentatura esterna

2 → ruota oziosa

3 → ruota con dentatura esterna

Rotismo epicicloidale: alcuni degli assi delle ruote sono mobili

3 alberi: 1, 3, P

P → portasatelliti

1 → solare interno

2 → satellite o pianeta

3 → solare esterno

Deve avere GDL=2: 

l = 3 ∗ 4 − 2 ∗ 4 − 1 ∗ 2 = 2

con: 4 corpi mobili, 4 coppie rotoidali, 2 coppie superiori (=

contatto ruote 1→3 e 3→2)

Nel caso del cambio per autoveicoli → solo 1gdl = vincolo uno dei due gdl *

Osservazioni sul Portasatelliti

Uso la formula di Willis per determinare il rapporto di trasmissione

ω − ω ω z z z

2 P 2P 1 3 1 

​ ​ ​ ​ ​ ​

= = − ⋅ = − ⇒

τ = τ ω − ω + (1 − τ ) ω = 0

0 0 1 2 0 P

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ω − ω ω z z z

1 P 1P 3 2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​

(l’ultima equazione vale con rendimento unitario = in assenza di attrito)

* Freno la ruota 2 → 

ω = 0

2 ​  e 

ω τ − 1 ω τ

1 0 P 0

τ ω + (1 − τ ) ω = 0 → = =

​ ​ ​ ​

0 1 0 P

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

ω τ ω τ − 1

P 0 1 0

​ ​ ​ ​

Esempio di calcolo con rotis