Dinamica longitudinale e cambi di velocità 2

N

M η J ω̇ η

eng t k k k

per N elementi: 

​ ​ ​ ​ ​

= ∑ M

+ m

′′

​ ​ ​ ​

τ τ τ

c p

​ ​ ​

k

k=1

(il termine inerziale tiene conto anche delle inerzie interne al motore)

′′

N v a

⎧

M η J η a 4J

eng t k o 

​ ​ ​ ​ ​

k = → =

ω ω̇

+

= )Ra

⇒ [ ∑ ] M + (m + r r

​ ​ ​ ​

m

′′

​ ​ ​ ​ ​ ​ R R

0

2 2

​

τ τ τ R R ⎨

c p

​ ​ ​

k ​ ω̇ 1

k=1 ′′ r ​

= → = =

ω τ ω ω̇

⎩ r k k ′′ ′′

​ ​ ​ ​ ​

k τ τ

k k



Bilancio di potenza: ′′

N

M η J η a 4J

eng t k o

k

​ ​ ​ ​ ​

= )Ra

ω [ ∑ ] ω M ω + (m + ω

+

r r m r r

′′

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

0

2 2

​

τ τ R R

τ

c p

​ ​ ​

k

k=1 ′′

N

M η J η a v 4J v

eng t k o

​ ​ ​ ​ ​

k ∗

∗ ( ) + )Ra ∗ ( )

(τ τ ω ) = [ ∑ ] M ω + (m +

c p eng m r

′′

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

0

2 2

​

τ τ R R R R

τ

c p

​ ​ ​

k

k=1 ′′

N J η 1 4J

k o

k 

​ ​ ​

(M ω ) η − M ω = [( ∑ ) (m + va P η − P = m va

+ )] ⇒

eng eng t m r eng t n at

′′

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

0 2 2 2

​ τ R R

​

k

k=1

dove  è la massa apparente traslante che ha le dimensioni di una massa

m at ​

e ogni contributo della  ha la forma di una massa (inerzia eng. + massa veicolo + inerzia ruote)

[… ]

Potenza esuberante : 

P P = P η − P

e e eng t n

​ ​ ​ ​ ​

potenza nel caso di pedale completamente premuto e rappresenta la potenza disponibile, ad una certa

velocità e con una certa marcia inserita, per raggiungere

 con quella marcia

v max ​

I termini di inerzia possono essere suddivisi in:

- quelli a monte del cambio

- quelli a valle (comprese le ruote)

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità2 5

′′ ′′

valle monte

1 J η 1 J η G

k k 

​ ​ ​ ​

k k =

+

m = m + ∑ ∑ F +

at ′′ ′′

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2 2 2 2 2

2

R τ R τ τ τ

c c

​ ​ ​ ​

k k

k=1 k=1

 sono indipendenti dalla marcia inserita

F , G ′′

Pe la sommatoria a monte  per la maggior parte dei veicoli (esclusi veicoli speciali)

2 2

τ τ

≈ p

​ ​

k

′′

In generale  tra monte e valle può assumere valori diversi per la presenza del differenziale.

2

τ k ​

→  aumenta al diminuire di  (quindi massima in prima)

m τ

at c

​ ​

Per esempio:

per le marce più alte si può approssimare m ≈ m

at ​

Bilancio di potenza lato motore:

P m

n at

​ ​

=

P − va

eng ​ ​ ​

η η

t t

​ ​

⇓ P m 1

n at

​ ​ 2 2 2 2 2 2 2

= = (F +

P − τ τ R ω ω̇ τ G) τ R ω ω̇

eng eng eng eng

c p eng c p

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

η η η

t t t

​ ​ ​

⇓ P 1 P

′ ′

n n 

​ ​

2

= (F + =

P − τ G ω ω̇ P − J ω ω̇

) ⇒

eng eng eng eng ar eng eng

c

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

η η η

t t t

​ ​ ​

2 2 2 2

τ R τ R

′ ′

p p

dove  e ;  e 

​ ​

= = G

v = Rτ τ ω a = Rτ τ ω̇ F F G

c p eng c p eng

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

η η

t t

​ ​

 è il momento di inerzia apparente rotante

J ar ​ P n

A pedale completamente premuto: 

​ =

P − P

eng e

​ ​ ​

η t ​

Esempio applicativo:

due veicoli affiancati in marcia in rettilineo che procedono a velocità costante;

i veicoli sono identici, ma procedono affiancati con inserite due marce diverse

+ ad un certo punto premono entrambi a fondo l’acceleratore:

su M → disponibile la coppia massima

su P → disponibile la potenza massima P

⎧ eP ​

=

a P ​ ​

P m v

e

dal bilancio potenze: 

​ at ​

P = m va → a = ⎨ P

= ​

e at

​ ​ ​ ​ ​

P

m v eM

at ​

​ ⎩ a =

M ​ ​

m v

at ​

M ​

a P m

P eP at 

​ ​ ​

M ​

⇒ =

​ ​ ​

a P m

M eM at

​ ​ ​

P ​

Per marce medio-altre il rapporto tra  è prossimo all’unità (minore, poichè  e )

m τ < τ ω > ω

at cP cM eng, P eng, M

​ ​ ​ ​

mentre il rapporto tra  è molto maggiore dell’unità (vedi differenza in grafico)

P e ​

→  e quindi P supera M.

a > a

P M

​ ​

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità2 6

Minimo tempo per accelerare da 

a 

v v (> v )

1 2 1

​ ​ ​

Solo casi con acceleratore premuto a fondo.

A) Accelerazione senza cambio marcia

G 

)va

P = P η − P = m v a = (F +

e eng t n at

​ ​ ​ ​ 2

τ c

Si sceglie 

τ c ​

 e  dipendono dalla velocità →  dipende solo da 

3

P P = Av + B v P v

eng n e

​ ​ ​

 rimane costante dato che non cambia la marcia

m at ​ v 2

dv m v m v

​

at t at 

​ ​

dv ⟶ dv

⟶

⇒ P = m v a = m v dt = t = ∫ ∫

dt =

e at at

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

0

dt P (v) P (v)

e e

v

​ ​

1 ​

B) Accelerazione con cambio marcia

(  probabilmente è maggiore della velocità a massima potenza della marcia precedente)

v 2 ​ (1) (2)

v v 2

m v m v

​

t at at 

​ ​

dt = dv + dv

t = ∫ ∫ Δt + ∫

CM

​ ​ ​ ​ ​ ​

0 (1) (2)

(v) (v)

P P

v v

e e

1 ​ ​ ​

dove  è la velocità di cambiata e  è il tempo per la cambiata

v Δt CM ​

Massimo spazio per accelerare v 2

2 m v

​

⎧ at

s ​

2 ​

Δs = ds = dv

∫ ∫

A ​ ​ ​

2 s 1

m v P ( v)

​

at e

v 

​ ​

1 ​

dv ⟹

ds = vdt = ⎨ (1) (2)

v 2 v 2

​ ​ ​

2

m v m v

​

P ( v)

e at at

​ ​

​ Δs = dv + Δt + dv

∫ v ∫

⎩ B CM

​ ​ ​ ​ ​ ​

(1) (2)

P P

(v) (v)

v v

e e

1 ​ ​ ​

Osservazioni:

- fin’ora  rimaneva costante durante la cambiata

v

-  non può essere scelta arbitrariamente se si vuole rendere minimo il tempo per accelerare

v

Scelta di  → si considera la caratteristica di potenza del motore, ridotta alle ruote, per le varie marce

v

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità2 7

A causa della crescita di ,  tende a calare al crescere

P P

n e

​ ​

P (v)

e

di  → 

​

v a = ​

m v

at ​

Grafici di  per le varie marce:

a(v) Si nota come convenga passare dalla  marcia alla  marcia in :

I II A

restando in , oltre il punto , si accelera meno

I A

1 v

Essendo , si cerca di rendere minimo  → area al di

1

2 ​ dv

dv

dt = t = ∫

​ ​ ​

a

v

a 1 ​

sotto delle curve

Tempo minimo = area più piccole → scegliendo opportunamente 

v

NB: Minimizzare il tempo di accelerazione può diventare un nuovo criterio per la scelta dei rapporti intermedi.

NB: nel caso di utilizzo di variatori di velocità, il motore viene fatto funzionare a punto fisso di massima

potenza a velocità costante, mentre il rapporto di trasmissione del variatore cambia continuamente per

ottenere sempre la massima accelerazione.

Ulteriori osservazioni sulla massima accelerazione

Veicolo schematizzato come un riduttore di velocità:

1 → motore (inerzia: ; momento motore )

J M

1 1

​ ​

2 → membro condotto (inerzia: ; momento resistente )

J M

2 2

​ ​

ω 2

Rapporto di trasmissione →  (si trascurano gli attriti)

​

τ = ​

ω 1 ​

 e  in generale sono contrari;

M M

1 2

​ ​

se consideriamo che attraverso la marcia  e  hanno versi opposti a causa del rotismo, allora  e 

dθ dθ M M

1 2 1 2

​ ​ ​ ​

sono concordi.

A) Marcia in piano a bassa velocità con marcia corta

 è molto piccolo in questo caso

M 2 ​

Momento complessivo all’albero 2 

1 2 1 2 1 2

= J ω + J ω = J ω

1 2 r2

1 2 2

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2 2 2

(mediante metodo dell’energia cinetica)

1

dove 

J = J + J

r2 2 1

​ ​ ​ ​

2

τ

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità2 8

M 1

Momento motore all’albero 2 → 

​

M θ = M θ ⇒ M =

1 1 r2 2 r2

​ ​ ​ ​ ​ ​

τ

(mediante il principio dei lavori virtuali) M 1

Equilibrio dinamico → 

​

J ω̇ = M → ω̇ =

2 2 r2 2

​ ​ ​ ​ ​

1

+

J τ J

2 1

​ ​ ​

τ

J 1

per  massima:  e 

​

ω̇ τ = τ = M = M

2 0 1 eng (max)

​ ​ ​ ​ ​ ​

J 2 ​

B) Marcia in piano a bassa velocità con marcia lunga

Si ipotizza di essere ad alta velocità, ovvero quindi l’accelerazione angolare dell’albero motore è bassa → 

J 1 ​

può essere trascurato, mentre