Dinamica longitudinale e cambi di velocità 1

R

2. Equilibrio longitudinale (intero veicolo)



F + F = ma + X + mg sin α

1x 2x

​ ​

3. Equilibrio dei momenti rispetto al punto di applicazione di 

F 2 ​ a 

4J =

F p − (mg cos α − Z )(d − δ) + (mg sin α + ma + X )h + M + 0

1y o

​ ​ ​

R

a

+ 4J

M o

(mg cos α − Z )(d − δ) (mg sin α + ma + X )h ​ ​

R 

− −

F =

1y ​ ​ ​ ​

p p p

4. Equilibrio dei momenti rispetto al punto di applicazione di 

F 1 ​ a 

4J =

−F p + (mg cos α − Z )(e + δ) + (mg sin α + ma + X )h + M + 0

2y o

​ ​ ​

R

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 1 2

a

+ 4J

M o

(mg cos α − Z )(e + δ) (mg sin α + ma + X )h ​ ​

R 

− −

F =

2y ​ ​ ​ ​

p p p

5. si aggiunge una quinta equazione (non indipendente): Equilibrio alla traslazione in direzione 

y



F − F = mg cos α − Z

1y 2y

​ ​

Vincoli: Condizione di non distacco

F ≥ 0

1y 

​

{ = il suolo non può esercitare una forza normale traente sulle ruote

​

F ≥ 0

2y ​  : coefficiente di aderenza ruota-suolo nella direzione 

μ x

∣F ∣ ≤ μ F max ​

1x max 1y 

​ ​ ​

{ → se fosse solo attrito secco, sarebbe coeff. di attrito statico; ma dato che si

​

∣F ∣ ≤ μ F

2x max 2y

​ ​ ​ ha anche rotolamento è coeff. di attrito dinamico

[viene meno la condizione di puro rotolamento]

Calcolo Momento Motore

Considero l’equilibrio alla rotazione delle ruote posteriori (ruote motrici)

a 

M = F R + F δ + J

m 2x 2y o

​ ​ ​ ​ ​

R

Utilizzando 1. 2. e 5. si ottiene: δ a a

M = (mg sin α + ma + X + F F δ +

+ 2J )R + 2J =

m 1y o 2y o

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​

2

R R R

a

4J =

(mg sin α + ma + X )R + (F + F )δ + (mg sin α + ma +

1y 2y o

​ ​ ​ ​

R

a 

4J

X )R + (mg cos α − Z )δ + o ​ ​

R

δ 4J o 

​

⟹ M = (mg sin α + X )R + (mg cos α − Z R (m +

) + 4 )Ra

m ​ ​ ​

2

R R

v

La potenza motrice alle ruote: 

P = M m ​ ​

R

Considerazioni sull’attrito volvente δ

Il coefficiente di attrito volvente viene definito: 

f = ​

R

è anche detto coefficiente di rotolamento e vale circa

 per le ruote dotate di pneumatici in marcia su suolo asfaltato e varia significatamente in

f ≈ 0.01

funzione della velocità :  dove  assume solo valori positivi e bassi.

2 2 2

v f = f + kv k [s /m ]

0 ​

 cresce lentamente rispetto a , finché la curva presenta un ginocchio oltre il

f f 0 ​

quale non vale più la redazione quadratica (valori di velocità critiche dove si

instaurano fenomeni vibratori che ne compromettono l’utilizzo).

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 1 3

Relazione tra attrito volvente e attrito statico

si considera una singola ruota non motrice, con  costante al cui centro è applicata una forza 

ω F

δ

⎧ F F F f F f

= = = = mg 

x y y

​ ​ ​ ​

⎨ R

​ ​

⎩ F ≤ μ F

x max y

​ ​ ​

allora se  non si può avere rotolamento-

μ ≤ f

max ​

Si considerano le ruote dell’assale anteriore (non motrici) e si cerca di

calcolare 

F 1y ​ δ a  dove 

−F − 2J

F = φ ≤ α

1x 1y o

​ ​ ​ ​ ​

2

R R

Quindi per  (e anche entro un certo limite per ) è negativa e pertanto l’attrito volvente

α ≥ 0 α < 0 F 1x ​

impiega aderenza all’anteriore.

L’attrito volvente all’anteriore impiega aderenza anche al posteriore (ruote motrici);

mentre l’attrito volvente al posteriore non impiega aderenza.

L’attrito volvente nelle coppie rotoidali impiega aderenza sia alle ruote condotte che motrici.

Esempio di effetti di solo attrito volvente

( : velocità costante bassa e in piano)

a = 0, α = 0, X = Z = M = 0

δ

⎧ = −F

F 1x 1y

​ ​ ​ 

R ⟹

⎨ F = −F

1x 2x

​ ​ ​ ​

δ

⎩ F F

=

2x 1y

​ ​ ​

R

Ruote motrici: Ruote non motrici:

se il suolo fosse un piano lubrificato la ruote spinte



∗

M = F δ = M

y m

​ ​ dal telaio striscerebbero

le ruote sono in equilibrio senza reazioni

orizzontali, ossia non impegnano aderenza

Attraverso le equazioni ricavate si possono trovare (se le caratt. del motore non sono limitate):

 massima accelerazione (note la velocità e la pendenza)

a max ​

 massima velocità (note l’accelerazione, tipicamente nulla, e la pendenza)

v max ​  massima pendenza (note la velocità e la pendenza)

α max ​

I risultati si ottengono ponendo  (trazione posteriore).

F = μ F

2x max 2y

​ ​ ​

Dinamica longitudinale e Cambi di velocità 1 4