Dimostrazioni di Elettrotecnica

TRIANGOLO IMPEDENZE

TRIANGOLO POTENZA REATTIVA

MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA IN C.A. = + = +

Consideriamo le seguenti impedenze: e .

2

1 ̇

= ⁄ | |

La potenza sarà: . Scriviamo la legge alla maglia:

2 ̇

̇ 2

| |

1

̇ ̇ ̇

( )

− + + = 0 → = → =

2

| |

+ 2 +

̇ ̇

2 2

| | | |

1 1

→ = =

2 2

| | |(

2 + + + 2 + ) + ( + )|

̇

1

̇ 2

| | (2 )

− + 2

2

| |

1

2

→ = → = ⇔ 2 + 2 = 0

2 2 2 2 2

[( ]

( ) ( ) ) ( )

2 + + + + + +

→ =

Sostituendo nell’equazione della potenza otteniamo: ̇

1 1

̇ 2 2 2

| | | |

( ) (2 )

+ − + 2

2

| |

1

2 2

= → = →

2 4

( ) ( )

2 + +

1 1

2 2 2 2 2

2 2

| | [ ] | | ( )

+ 2 + − 2 − 2 −

2 2

→= = →

4 4

( ) ( )

+ +

1 2

| | ( )

−

2

→= = 0 ⇔ =

3

( )

+

Se sostituiamo le due condizioni di massimo trasferimento di potenza otteniamo:

̇ 2

| |

=

8

VALORI EFFICACI

consideriamo la potenza in continua e in alternata:

2

=

1 1

2 2

2

√

→ = ∫ → = ∫

{ 1

2

= ∫ 0 0

0

Quindi il valore efficace di una funzione periodica è la radice quadrata, della media del quadrato della

() = cos

funzione periodica. Consideriamo la funzione periodica e sostituiamolo nel valore efficace:

1 1 1

2

√ √ √

= ∫ cos cos = ∫ cos cos = ∫ cos(0) cos(2)

0 0 0

1 1

√

√

= ∫ + ∫ cos(2) = =

2 √2

0 0

RIFASAMENTO: METODO DELLE POTENZE

Il metodo delle potenze si basa sul triangolo delle potenze.

Consideriamo un carico RL e se aggiungiamo una capacità, il triangolo

delle potenze cambia.

= sin = sin = cos = cos

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

sin

1 1 1

= = → =

1 1 1

cos

1 1 )

→ = − = ( −

1 2 1 2

sin

2 2 2

= = → =

2 2 2

{ cos

2 2

2

)

( −

1 2

2 2 )

→ = = → = ( − → =

1 2

2

Dove è lo sfasamento prima del rifasamento e dopo il rifasamento. In caso di rifasamento totale:

1 2

1

=

2

RIFASAMENTO: METODO DELLE IMPEDENZE

In caso di rifasamento totale, la deve essere solo resistiva. Quindi bisognerà

compensare il carico dell'induttore. Calcoliamo la e poniamo la parte

immaginaria uguale a zero:

( + ) (− )

∙

= + ; = − → = = →

+

+ −

− −

+ + − +

= = →

1 1 − +

+ ( − ) + ( − )

2 2

− + − − + + 2 2 2 2 2

− − −

2 2 2

→ = − − + → =0

2 2

2

+ −

2 2 2 2 2 2 )

→ = + = ( + → = =

2 2 2 2

||

+

In caso di rifasamento parziale, non dobbiamo azzerare la parte immaginaria, quindi consideriamo:

2 2

− + − − + + 2 2 2

− − −

2 2 2

) )

= → ( = ; ( =

2 2 2

2

+ −

Facciamo il rapporto tra le due componenti:

2 3 2

− − −

2 2 2 2

||

( )

= → = → = − + = − →

2 2 2 1

2

|| ( )

→ = − → = −

1 2 1 2

2

||

RISONANZA SERIE

La condizione di risonanza si trova ponendo la parte immaginaria dell'impedenza uguale a zero:

1 1 1 1 1 1

2

= + ( − ) → − = 0 → = → = → = → =

0 0

2√

√

La campana di risonanza descrive, in una risonanza serie, l'andamento del valore efficace della corrente. Se

< >

domina la parte capacitiva e quindi la corrente è in anticipo e la tensione in ritardo; se

0 0

domina la parte induttiva e quindi la tensione è in anticipo e la corrente in ritardo. Esistono due frequenze,

dette frequenze di taglio, i cui valori sono tali per cui la corrente assume un valore più piccolo del valore

√2

0

=

alla risonanza: . Osserviamo che:

⁄

√2

• || = ;

Alla risonanza

• || =

Alle frequenze di taglio √2.

Il modulo delle pulsazioni di taglio:

2 2 2

1 1 1 1

√ 2 2 2

2 + ( − ) = → + ( − ) = 2 → ( − ) = → = ± ( − )

√2

Prendiamo la soluzione positiva: 2 2

1 1

√

2 2

= − → = − 1 → − − 1 = 0 → = ( ± + ) →

2 4

2

1

+√

→ = +

2 2

2 4

Adesso, prendiamo la soluzione negativa: 2 2

1 1

±√

2 2

= − + → = − + 1 → + − 1 = 0 → = (− + ) →

2 4

2

1

+√

→ = − +

1 2

2 4

RISONANZA PARALLELO

Consideriamo un circuito RLC parallelo e calcoliamo le ammettenze:

1 1 1 1

= = = → = + ( − )

Calcoliamo la pulsazione di risonanza ponendo la parentesi uguale a zero:

1 1 1 1 1

2

− = 0 → = → = → = → =

0 0

2√

√

La campana di risonanza, in una risonanza parallelo, descrive l'andamento della tensione efficace. Esistono

due frequenze, dette frequenze di taglio, i cui valori sono tali per cui la corrente assume un valore più

√2

0

=

piccolo del valore alla risonanza: . Osserviamo che:

⁄

√2

1

• = ⁄

Alla risonanza ;

√2

• ⁄

=

Alle frequenze di taglio .

2 2

1 1 1 1 2 1 1 1 1

√2

√

||

→ = + ( − ) = → + ( − ) = → − = → = ± ( − )

2 2 2 2

Prendo la soluzione positiva: 2 2

1 1 − + 1

√

2 2

= − → = 0 → − + = 0 → = ( ± + )

2 4

1 1 1

+√

→ = +

2 2 2

2 4

Adesso, prendiamo la soluzione negativa:

2 2

1 1 + − 1

√

2 2

= − + → = 0 → + − = 0 → = (− ± + )

2 4

1 1 1

+√

→ = − +

2 2 2

2 4 <