Dimostrazione di Analisi matematica 2

LUNGHEZZA DI UNA CURVA REGOLARE

Sia r : [a,b] → ℝᵏ curva regolare allora

è rettificabile e la sua lunghezza è L_C = ∫_a^b |r'(t)| dt

dimostrazione:

r(t):

• x = x(t)
• y = y(t)

r ∈ C¹([a,b]) con r'(t) ≠ 0 per ogni t ∈ [a,b] — curva regolare

divido [a,b] in n intervalli uguali con i poi = {b₀,b₁,...,bₙ}a = t₀ < t₁ < ... < tₙ = b

considero pti r(tᵢ) = Pᵢ = (x(bᵢ), y(tᵢ)) , i = 0,1,...,nlunghezza spezzata congiungendo Pᵢ

L() = Σ_i=1ⁿ √ {(x(tᵢ) - x(tᵢ₋₁))² + (y(bᵢ) - y(tᵢ₋₁))²}

Applico th Lagrange per x(t) e y(t) in ogni [tᵢ₋₁,tᵢ]

∃ ξ_i ∈ (tᵢ₋₁, tᵢ)

t.c. y(tᵢ) - y(tᵢ₋₁) = y' (η_i)ossia y(tᵢ) - y(tᵢ₋₁) = y'(η_i) (tᵢ - tᵢ₋₁)

L() = Σ_i=1ⁿ √ {[ x'(ξ_i) (tᵢ - tᵢ₋₁) ]² + [ y'(η_i) (tᵢ - tᵢ₋₁) ]²}

L() = Σ_i=1ⁿ (tᵢ - tᵢ₋₁) √ { (x'(ξ_i))² + (y'(η_i))² }

Per \( n \to +\infty \quad b_i - b_{i-1} \to 0 \quad \) quindi

\( \xi_i = \eta_i \)

allora

\(\sum_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\eta_i)^2} \approx \sum_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} \)

\(\overline{\sum}_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} \)

somme Cauchy-Riemann

della \( f_2 \) \(\int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\)

integrabile in \([a,b]\) perché continua

\(\lim_{n \to +\infty} \mathcal{L}(D) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt \)

\(\mathcal{L} = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt \)

\(\mathcal{L} = \int_a^b \|r'(t)\| \, dt\)

Osserviamo che

^{O(\|t\| \sqrt{v₁2 + v₂2}) \|t\|}/_t → 0

quando t → 0

infatti

^{O(\|t\| \sqrt{v₁2 + v₂2}) \|t\|}/_t → 0

per definizione di ‘O’ piccolo e \|t\| è limitato.

Allora

^∂l/_∂v(x₀, y₀)

= lim_{t → 0} ^{f(x₀ + tv₁, y₀ + tv₂) - f(x₀, y₀)}/_t

= lim_{t → 0} ^∂l/_∂x(x₀, y₀)v₁ + ^∂l/_∂y(x₀, y₀)v₂ +

^{O(\|t\| v₁2 + v₂2) \|t\|}/_t =

^∂l/_∂x(x₀, y₀)v₁ + ^∂l/_∂y(x₀, y₀)v₂

= ∇l(x₀, y₀) · v

Sostituendo y(t) al posto di Y, abbiamo

y(t) / (1 - by(t)) = ce^at, c = ±c₀ ≠ 0

Ricordiamo che y(1,t) = 0 è ind. Essa si determina nella formula precedente con c = 0.

Allora

soluzioni:

y(t) / (1 - by(t)) = ce^at ⇒ y(t) = (cfe^at) / (1 + bce^at), c ∈ ℝ

y(t) = 1/b

[ il dominio della soluzione y(t) ed il suo comportamento dipendono dal segno di c ]

grafico della soluzione y(t) = 0,1 / 2e^t, t ∈ ℝ

c > 0; il dominio di y(t) è tutto ℝ

grafico della soluzione y(t) = (−e^-t) / (0,1 − 2e^-t); t → ln 20

c < 0; il dominio di y(t) è una semiretta

Eqz caratteristica con discriminante positivo

a z''(t) + b z'(t) + c z(t) = 0

a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

a² + b² + c ≠ 0

b² - 4ac > 0

eqz caratteristica ha due soluzioni reali distinte r₁ e r₂

soluzioni linearmente indipendenti

z₁(t) = e^r₁t, z₂(t) = e^r₂t

Integrale generale z(t) = c₁ e^r₁t + c₂ e^r₂t, c₁, c₂ ∈ ℝ

Δ = b² - 4ac = 0

eqz caratteristica ha una soluzione reale doppia r = -^b/_2a

z₁(t) = e^{-b/_2a t} è soluzione dell'equazione

Dimostriamo che z₂(t) = t e^{-b/_2a t} è soluzione dell'equ.

z₂(t) = t e^{-b/_2a t}

z₂'(t) = e^{-b/_2a t} - ^bt/_2a e^{-b/_2a t}

z₂''(t) = -^b/_2a e^{-b/_2a t} - ^b/_2a e^{-b/_2a t} + ^b2/_4a² t e^{-b/_2a t} =

= -^b/_a e^{-b/_2a t} + ^b2/_4a² t e^{-b/_2a t}

Sostituiamo nell'equazione

a(-^b/_a + ^b2/_4a² t) e^{-b/_2a t} + b(-¹ - ^bt/_2a t) e^{-b/_2a t} + c t e^{-b/_2a t} =

= (-b + b) e^{-b/_2a t} + (^b2/_4a - ^b/_2a + c) t e^{-b/_2a t} =

= (0 + ^{-b2 + 4ac}/_4a c t) e^{-b/_2a t} = 0

soluzioni lineari: indipendenti

z₁(t) = e^{-b/_2a t}, z₂(t) = t e^{-b/_2a t}

Integrale generale: z(t) = (c₁ + c₂ t) e^{-b/_2a t}, c₁, c₂ ∈ ℝ