Dimostrazione di Analisi matematica 2

Lunghezza di una curva regolare

Sia r: [a,b] → ℝᵏ una curva regolare, allora è rettificabile e la sua lunghezza è L_C = ∫_a^b |r'(t)| dt.

Dimostrazione

Consideriamo r(t):

• x = x(t)
• y = y(t)
• t ∈ [a,b]

r ∈ C¹([a,b]) con r'(t) ≠ 0 per ogni t ∈ [a,b] — curva regolare.

Divido [a,b] in n intervalli uguali con i punti {b₀, b₁, ..., bₙ}, a = t₀. Considero i punti r(tᵢ) = Pᵢ = (x(bᵢ), y(tᵢ)), i = 0, 1, ..., n.

La lunghezza della spezzata congiungendo Pᵢ è data da:

• L() = Σ_i=1ⁿ √ {(x(tᵢ) - x(tᵢ₋₁))² + (y(bᵢ) - y(tᵢ₋₁))²}

Applico il teorema di Lagrange per x(t) e y(t) in ogni [tᵢ₋₁, tᵢ].

∃ ξ_i ∈ (tᵢ₋₁, tᵢ) t.c. y(tᵢ) - y(tᵢ₋₁) = y'(η_i).

Ossia, y(tᵢ) - y(tᵢ₋₁) = y'(η_i) (tᵢ - tᵢ₋₁).

L() = Σ_i=1ⁿ √ {[ x'(ξ_i) (tᵢ - tᵢ₋₁) ]² + [ y'(η_i) (tᵢ - tᵢ₋₁) ]²}

L() = Σ_i=1ⁿ (tᵢ - tᵢ₋₁) √ { (x'(ξ_i))² + (y'(η_i))² }

Per \( n \to +\infty \quad b_i - b_{i-1} \to 0 \quad \) quindi \( \xi_i = \eta_i \).

Allora:

• \(\sum_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\eta_i)^2} \approx \sum_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} \)

\(\overline{\sum}_{i=1}^{n} (b_i - b_{i-1}) \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} \)

Somme di Cauchy-Riemann della \( f_2 \).

\(\int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\) è integrabile in \([a,b]\) perché continua.

\(\lim_{n \to +\infty} \mathcal{L}(D) = \lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{x'(\xi_i)^2 + y'(\xi_i)^2} = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt \)

\(\mathcal{L} = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt\)

\(\mathcal{L} = \int_a^b \|r'(t)\| \, dt\)

Osservazioni

⊃^{O(\|t\| \sqrt{v₁2 + v₂2}) \|t\|} / _t → 0 quando t → 0.

Infatti, ⊃^{O(\|t\| \sqrt{v₁2 + v₂2}) \|t\|} / _t → 0 per definizione di 'O' piccolo e \|t\| è limitato.

Allora ⊃^∂l / _∂v(x₀, y₀) = lim_{t → 0} ⊃^{f(x₀ + tv₁, y₀ + tv₂) - f(x₀, y₀)} / _t = lim_{t → 0} ⊃^∂l / _∂x(x₀, y₀)v₁ + ⊃^∂l / _∂y(x₀, y₀)v₂ + ⊃^{O(\|t\| v₁2 + v₂2) \|t\|} / _t = ⊃^∂l / _∂x(x₀, y₀)v₁ + ⊃^∂l / _∂y(x₀, y₀)v₂ = ∇l(x₀, y₀) · v

Sostituendo y(t) al posto di Y, abbiamo:

y(t) / (1 - by(t)) = ce^at, c = ±c₀ ≠ 0

Ricordiamo che y(1,t) = 0 è ind. Essa si determina nella formula precedente con c = 0.

Soluzioni

y(t) / (1 - by(t)) = ce^at ⇒ y(t) = (cfe^at) / (1 + bce^at), c ∈ ℝ

y(t) = 1/b [ il dominio della soluzione y(t) ed il suo comportamento dipendono dal segno di c ]

Grafico della soluzione y(t) = 0,1 / 2e^t, t ∈ ℝ, c > 0; il dominio di y(t) è tutto ℝ

Grafico della soluzione y(t) = (−e^-t) / (0,1 − 2e^-t); t → ln 20, c < 0; il dominio di y(t) è una semiretta

Equazione caratteristica con discriminante positivo

a z''(t) + b z'(t) + c z(t) = 0

a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0

a² + b² + c ≠ 0

b² - 4ac > 0

L'equazione caratteristica ha due soluzioni reali distinte r₁ e r₂.

Soluzioni linearmente indipendenti:

• z₁(t) = e^r₁t
• z₂(t) = e^r₂t

Integrale generale: z(t) = c₁ e^r₁t + c₂ e^r₂t, c₁, c₂ ∈ ℝ

Discriminante zero

Δ = b² - 4ac = 0

L'equazione caratteristica ha una soluzione reale doppia r = -^b/_2a

z₁(t) = e^{-b/_2a t} è soluzione dell'equazione

Dimostriamo che z₂(t) = t e^{-b/_2a t} è soluzione dell'equazione.

z₂(t) = t e^{-b/_2a t}

z₂'(t) = e^{-b/_2a t} - ^bt/_2a e^{-b/_2a t}

z₂''(t) = -^b/_2a e^{-b/_2a t} - ^b/_2a e^{-b/_2a t} + ^b2/_4a² t e^{-b/_2a t} = -^b/_a e^{-b/_2a t} + ^b2/_4a² t e^{-b/_2a t}

Sostituiamo nell'equazione:

a(-^b/_a + ^b2/_4a² t) e^{-b/_2a t} + b(-¹ - ^bt/_2a t) e^{-b/_2a t} + c t e^{-b/_2a t} = (-b + b) e^{-b/_2a t} + (^b2/_4a - ^b/_2a + c) t e^{-b/_2a t} = (0 + ^{-b2 + 4ac}/_4a c t) e^{-b/_2a t} = 0

Soluzioni lineari indipendenti

z₁(t) = e^{-b/_2a t}, z₂(t) = t e^{-b/_2a t}

Integrale generale

z(t) = (c₁ + c₂ t) e^{-b/_2a t}, c₁, c₂ ∈ ℝ