Conservazione della massa

Abbiamo visto che la superfice laterale della corrente è impermeabile, ma quella trasversale no.

Dunque, se fisso una sezione di corrente , avrò che in questa sezione entrerà un flusso pari a

dS δρ Q

ρ dQ ds

ρ dQ e uscirà una quantità di flusso pari a .

+ δs

Posso quindi dire che la differenza tra flusso in entrata e flusso in uscita è proprio la variazione di

flusso in un intervallo di tempo, dunque:

δρ Q −δρ

( )

ρ Q dt− ρdQ+ ds Q ds dt

=

δs δs

Posso fare un ragionamento analogo con la massa. Se è la massa iniziale e

ρ Σ ds

δρ Σ

( )

ρ Σ+ dt ds dt

è la massa finale, avrò che la variazione di massa nell’intervallo di tempo sarà:

δ t δρ Σ −δρ

( )

ρ Σ ds− ρ Σ+ dt Σ ds dt

=

δt δt

ρ

Se la densità è costante (come nel caso dei liquidi) possiamo parlare di massa e di volume in

modo analogo. Questo vuol dire che la differenza tra il flusso in entrata e quello in uscita è uguale

alla variazione di massa:

ρ Q δρ Σ

−δ ds dt= ds dt

δs δt

Con le semplificazioni:

Q δρ Σ

−δρ =

δs δt

Se il primo termine è negativo, il secondo deve essere positivo e viceversa (se c’è un incremento

di flusso c’è una diminuzione di massa e viceversa).

Questa è detta equazione di continuità delle correnti che esprime la variazione di flusso e la

eguaglia alla variazione di massa.

Questa equazione è espressa in forma generale. Se consideriamo la densità costante la possiamo

ρ=cost

portare fuori dalla derivata e semplificarla, quindi avremo :

δQ δΣ

+ =0

δs δt

δ δQ

ρ=cost Q=cost

Se il moto è permanente, quindi e avremo che , quindi , cioè il flusso

=0 =0

δt δs

è costante.

Se usiamo il concetto di velocità media per esprimere portata avremo:

Q

V =

m Σ

Se andiamo a calcolare la velocità media nella superficie entrante e nella superficie uscente del

volume di controllo, considerando il flusso costante, avremo:

Q

V =

m 1 Σ 1

Q

V =

m 2 Σ 2

Visto che Q è costante, possiamo scrivere:

V Σ

m 1 2

=

V Σ

m 2 1

Questo accade nel caso particolare in cui il fluido è incomprimibile (densità costante) in moto

permanente.

PUNTO DI VISTA CARTESIANO

Σ

Prendiamo una superficie immersa in un campo di moto e tagliata da linee di corrente. Il flusso

esisterà solo sui punti in cui la componente normale della velocità è diversa da zero. Per il calcolo

del flusso complessivo devo integrare le componenti normali della velocità che agiscono sulla

superficie.

❑

Q= v ρ d Σ

∫ ⃗ n

Σ Σ Σ Σ

Posso dividere la superficie totale in (superficie d’ingresso), (superficie d’uscita) e

1 2 0

(superficie laterale). Dalla legge della variazione del flusso, so che il flusso in un volume varia

❑ ρd τ

∫ ,

seguendo la legge: posso quindi scrivere:

τ

❑ ❑

d ρ d τ= v ρ d Σ

∫ ∫ ⃗ n

dt τ Σ u , v , w

Ricordando che sono le direzioni della velocità normale, posso esprimere la velocità

( )

⃗ ⃗ ⃗

normale come:

v u cos n x+ v cos ny w cos nt

⃗ =⃗ ⃗ +⃗

n

Posso riscrivere l’integrale come:

❑ u cos n x v cos ny+ w cos nt ρ d Σ

∫ ( )

⃗ + ⃗ ⃗

Σ

Dal teorema di Gauss-Green sappiamo che l’integrale di superficie è uguale alla divergenza

attraverso il volume:

❑ ❑

d d d d

( )

ρ d τ=− ρu+ ρ v ρ w d τ

∫ ∫ +

dt d x d y d z

τ τ

Quindi:

❑ d d d d

( )

ρu+ ρv+ ρw+ ρ d τ=0

∫ dx dy dz dt

τ

Se l’integrale è uguale a zero, vuol dire che l’integrando è uguale a zero, quindi avremo: