Esercizi svolti sul calcolo dei limiti

Esercizi del capitolo 23

Calcolo dei limiti e continuità delle funzioni

Limiti di funzioni elementari

1.

_limx→2 5e³ = 5e³

La funzione non dipende da x, è una funzione costante: pertanto il suo limite per x → 2 è il valore f(x) = k

_limx→-∞ x⁵ = (-∞)⁵ = -∞

L’esponente è dispari; la potenza intera di un numero negativo restituisce ancora un numero negativo.

2.

_limx→3 e^x = e³; _limx→-∞ e^x = e^-∞ = 1/e^∞ = ±0

3.

_limx→1 ln x = ln 1 = 0; _limx→-π/6 sin x = sen (-π/6) = -sen π/6 = -1/2

4.

_limx→0 cos x = 1; _{limx→-3π/4} cos x = cos 3π/4 = -cos π/4 = -√2/2

5.

_limx→+∞ (1/3)^x = ±(1/3)^∞ = 0; _limx→-∞ 4^x = 1/4^∞ = 0

6.

_limx→+∞ ∛x = 1/∞^1/3

La funzione assume valori compresi tra +√e e +1.

6. _{x → ∞} x ^x = -∞

N.E. in ℝ

e calcolabile in ℝ

Ma esiste in ℂ

esempio √ -1 = i

_{x → ∞} x = _{x → ∞} √-x = 1∞ 1

_{x → ∞} log (-x) = log (-y) = ±∞

∞

8. _{x → ∞} ^x = -2

N.E. in ℝ

∞ ....

Limite della somma

• 8. _{x → 1} (x + ln x)
• = _{x → 1} x + _{x → 1} ln(ln⁽ⁿ⁾)
• = 1 + ln1
• = 1 + 0 = 1
• i. _{x → -∞} (x² - 2x)
• = _{x → ∞} ^x2 + _{x → ∞} ^x
• = (∞²) + (-2)(-∞)
• = ∞ + 2∞ = ±∞

• Somme di infiniti concordi in segno

• + ∞ + + ∞ = + ∞
• + ∞ + −∞ = F. nul
• - ∞ + − ∞ = -∞
• 9. _{x → -2 (2x³ + x²)}
• = _{x → -2} 2x³ + _{x → -2} (x²)
• = 2 (-2³) + (-2²)
• = 2(-8) + 4 = -16 + 4 = -12,

• 10. _{x → -1} ( ^{x4 x3} - 4 )
• = _{x → -1} (^x4) _{x → -1} (^x3)
• = _{x → -1} 4 + 1 -[(1^-1³)⁴]
• = 2 - −2 = 2

28.

lim_x→1 ^x+1/_x²-2x+1

= 1+1/_1²-2·1+1 = 2/0 = +∞;

29.

lim_x→1 ^x+1/_x²-2x+1

= x+1/_x-1 -1 = 0;

30.

lim_x→0 1/^x³

=¹/_0⁻ = -∞

31.

lim_x→-∞ ^-2/_x⁴

= ^-2/_(-∞)⁴ = 0

32.

lim_x→-7⁺ ^{√(2-x) + x}/_{√x + x}

= ^√(7-x)-7/_{√7+x -7} = 3-7/⁰/_0⁺ = -1/+∞ = ∞

N.B.

x→7×0 → x→7⁻

x tende a -7 da destra

converti per vedere un pò + profondo di -7/+7 purché x-7

tende a zero per valori positivi

33.

m lim_x→0⁺ ^{ln(2+a×ln(x))}/_ln(x)

= ln(2+a×ln(0⁺))/ln(0⁺) = ln(2+0)/0⁺ = ln(2)/0⁺ = +∞

ln(x) tende a 0 per valori positivi.

34.

lim_x→±∞ ^e-x/_x²+x

= ^e-∞/_∞²+∞ = ^0⁺/_∞⁺ = 0⁺

m 52 _{limx → -∞} (x + 5) / x

= (-∞ + 5) / -∞ + 0 = −∞

m 53 _{limx → 0} (1 / x⁴ + 1 / x²)

= +∞ + +∞ = +∞

m 54 _{limx → 3−} log₃ (2x-x)

= log₃ (2+3) = log₃ 5 = log₃ 3³ = 3 log₃ 3 = 3 • 1 = 3;

m 55 _{limx → 1} (x² + x + 1) / (x² - 3x + 3)

= 1 + 1 + 1 / 1 - 3 + 3 = 3 / 1 = 3;

m 56 _{limx → π / 3} (2 cos x - 1)

= 2 cos π / 3 - 1 = 2 × −1 / 2 - 1 = -1 - 1 = 0;

m 57 _{limx → 3+} 5x - 2 / 3 - x

= 5 × 3 - 2 / 0− = 13 / 0− = −∞

m 58 _{limx → -1+} 1 / x + 1

= 1 / −1+1 = 1 / 0+ = +∞

m 59 _{limx → ∞} 1 / 6 - 3x

= 1 / 6 + −∞ = 1 / −∞ = 0

m 60 _{limx → −2−} x + 1 / x + 2

= −2 + 1 / -2 + 2 = −1 / 0− = +∞

92. _{limx → 0⁺} x^1/x = 0⁺

93. _{limx → 0⁺} (e^-x)^x = (+∞)⁰ = 1

94. _{limx → 0} ^{1 - cos x}/_x² = ^(1-1)/₀ = 0

95. _{limx → 1^-} (1/_1-x)^{x - 3} = (1/_-1)^{1 - 3} = (1/_0⁺)^-2 = (∞)² = 0⁺

96. _{limx → 0⁺} (¹/_{sin x}) = (+∞)

97. _{limx → 0⁺} (^{ln 1}/_x) e^1/x = ln(+∞) e^∞ = (+∞)^∞

98. _{limx → -∞} (x² + 1) x² = +∞

99. limx → 1+ ln (arctan (x - 1))/3x = ln(+∞)/3 - ∞/3 = -∞

Determina il valore di k che verifica i seguenti limiti:

1) lim_x→+∞ x^-k = +∞

se k è compreso fra "0" ed "1", in base del limite è +∞

1) lim_x→+∞ x^-2 = 0

la potenza tende a zero se l'esponente è negativo ovvero se k-2<0 e quindi se k<2;

1) lim_x→∞ (1/x^k)^k+1 = 0

la base tende a zero se l'esponente è positivo ovvero se k+1>0

k=0

k=-1

1 -0

k=1 r k≥0

n°127. lim_x→+∞ e^-x cos(x)

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

-e^-x ≤ e^-x cos(x) ≤ e^-x

lim_x→+∞ -e^-x = lim_x→+∞ ¹⁄_e^x = 0 → lim_x→+∞ e^-x · cos(x) = 0;

n°128. lim_x→+∞ (ln(x+3) · x

1 ≤ ln(x) ≤ 2

3-1 ≤ 3+ln(x) ≤ 3+1

2 ≤ 3+ln(x) ≤ 4

2x ≤ (3+ln(x)) · x ≤ 4x

lim_x→+∞ 2x = lim_x→+∞ 4x = +∞ ⇒ lim_x→+∞ (3+ln|x|) = +∞

n°129. lim_x→+∞ ^x2⁄_{2+ln x}

-1 ≤ ln(x) ≤ 1

2-1 ≤ 2+ln(x) ≤ 2+1

1 ≤ 2+ln(x) ≤ 3

¹⁄_x² ≤ ^2+ln(x)⁄_x² ≤ ³⁄_x²

^x2⁄_2+ln(x) ≥ ^x2⁄₃

lim_x→+∞ (x²) = lim_x→+∞ ^x2⁄₃ = +∞ ⇒ lim_x→+∞ ^x2⁄_2+lnx = +∞;