Appunti su disgiunzione e indipendenza

Indipendenza degli eventi

Consideriamo lo stesso esempio ma ora le sfere blu sono 5. In questo caso abbiamo che P(A) = 1/2, P(B) = 2/10 e P(AB) = 1/10 = P(A)P(B). Quindi A e B sono indipendenti. Notiamo che la mancanza di indipendenza era legata a un'asimmetria. Una volta che abbiamo ripristinato la simmetria, quindi avendo lo stesso numero di sfere rosse e blu, è tornata anche l'indipendenza.

Indipendenza di più eventi

Definizione: gli eventi A₁, A₂, ..., A_n sono detti indipendenti se:

• P(A_iA_j) = P(A_i)P(A_j) con i ≠ j (tutte le coppie devono essere indipendenti)
• P(A_iA_jA_k) = P(A_i)P(A_j)P(A_k) con i ≠ j ≠ k (tutte le triplette devono essere indipendenti)
• P(A₁A₂...A_n) = P(A₁)P(A₂)...P(A_n)

È abbastanza noioso verificare tutte le condizioni. Potremmo pensare che se tutte le coppie sono tra di loro indipendenti allora anche le triplette, le quadruplette ecc. siano indipendenti. Non è così. Vediamo un esempio di 3 eventi indipendenti a coppie ma non tutti e 3 presi assieme.

Esempio di indipendenza

Considero 2 dadi onesti, li lancio e ottengo 3 eventi:

• A = {Pari sul primo dato}
• B = {Pari sul secondo dato}
• C = {Somma dei dadi è dispari}

Verifichiamo se sono indipendenti: P(A) = P(B) = P(C) = 0.5. Analizzando le coppie notiamo che sono tutte indipendenti: P(AB) = P(A)P(B), P(AC) = P(A)P(C), P(BC) = P(B)P(C). Però, se calcoliamo P(ABC) = P(primi due dadi siano pari e la loro somma sia dispari) = P({0}) ≠ P(A)P(B)P(C), quindi A, B, C non sono indipendenti.

Considerazioni sull'indipendenza

Facciamo una considerazione sull'indipendenza: abbiamo visto che se ho una legge di probabilità, l'indipendenza di due eventi è qualcosa che si può verificare applicando la definizione. Spesso però si fa il ragionamento inverso. Ci sono molte situazioni in cui conosciamo, ad esempio, la probabilità di A e quella di B e vorremmo capire cosa vale la probabilità di AB, cioè dell'evento congiunto, ma non abbiamo a disposizione gli elementi per farlo. Se ci sono delle ragioni fisiche o strutturali per cui penso che i fenomeni che stanno dietro l'evento A e quelli che stanno dietro l'evento B non hanno niente in comune, quindi sono completamente non interagenti, è abbastanza comune postulare l'indipendenza e a questo punto avremo che P(AB) = P(A)P(B).

Esempio di eventi indipendenti

Vediamo un esempio: lancio di due monete oneste. Non posso vedere come i rimbalzi del tavolo di una moneta possano influenzare quelli dell'altra, quindi posso assumere che la probabilità che la seconda moneta dia testa sapendo che la prima ha dato testa sia uguale alla probabilità che la seconda moneta dia testa senza sapere nulla sulla prima. Quindi, in questo caso posso attribuire alla probabilità congiunta il prodotto delle due probabilità poiché sono fenomeni fisici che non comunicano tra di loro:

• T₁ = {Testa sulla prima moneta}
• T₂ = {Testa sulla seconda moneta}

È logico assumere P(T₂|T₁) = P(T₂), quindi P(T₁T₂) = P(T₁)P(T₂).

Trappole nell'indipendenza

Tuttavia, ci sono delle trappole. Vediamo un esempio: consideriamo un alunno della scuola primaria e consideriamo due eventi:

• A = {Test di lettura sopra la media}
• B = {Numero di scarpe > 33}

Potremmo pensare che non c'entra niente il numero di scarpe con la sua capacità di lettura, quindi direi che A e B sono indipendenti. Tuttavia, non è così poiché il numero di scarpe cresce con l'età. Dunque, se il numero di scarpe è maggiore di 33 allora è probabile che l'alunno sia delle ultime classi, quindi le sue capacità di lettura siano migliori degli allievi più giovani. Si parla di dipendenza spuria poiché non c'è una relazione causale. Se faccio mettere delle scarpe di misura grande a un ragazzino non comincia a leggere meglio, però c'è una variabile nascosta che è l'età. Quindi la dipendenza tra i due eventi passa attraverso un terzo elemento che è l'età. Per esempio, potrebbe essere l'evento "età maggiore della media" se consideriamo che l'età media della scuola primaria sia 7 anni e mezzo. Quindi, c'è un legame che non ha nulla di causale ma che fa sì che le variabili non siano indipendenti.

Quindi:

• Se non c'è indipendenza, la conoscenza di P(A) e P(B) non basta a determinare P(AB).
• Non farsi prendere la mano a ipotizzare l'indipendenza come scorciatoia per ottenere P(AB): il mondo è pieno di indipendenze "spurie", mediate cioè da altri eventi.

Disgiunzione e indipendenza

Notiamo che in precedenza avevamo parlato di eventi disgiunti, ora abbiamo parlato di eventi indipendenti. I due termini hanno qualche assonanza della lingua italiana, ma noi nella teoria della probabilità stiamo usando un linguaggio tecnico, quindi è bene...