Appunti su disgiunzione e indipendenza

Consideriamo lo stesso esempio ma

ora le sfere blu sono 5, in questo caso

abbiamo che P(A)=1/2 P(B)=2/10

P(AB)=1/10=P(A)P(B) quindi A e B

sono indipendenti

Notiamo che la mancanza di

indipendenza era legata da una

asimmetria, una volta che abbiamo

ripristinato la simmetria, quindi

avendo lo stesso numero di sfere rosse

e di sfere blu, è tornata anche

l’indipendenza

Indipendenza di più eventi

Def: gli eventi A1, A2, …, An sono detti

indipendenti se:

P(A A )=P(A )P(A ) con i≠j quindi

·5 i j i j

tutte le coppie devono essere

indipendenti

P(A A A )=P(A )P(A )P(A ) con i≠j≠k

·6 i j k i j k

quindi tutte le triplette devono

essere indipendenti

…

·7 P(A A … A )=P(A )P(A )…P(A )

·8 1 2 n 1 2 n

E’ abbastanza noioso verificare tutte le

condizioni, potremmo pensare che se

tutte le coppie sono tra di loro

indipendenti allora anche le triplette,

le quadruplette etc.. sono

indipendenti, NON è così, vediamo un

esempio di 3 esempi indipendenti a

coppie ma non tutti e 3 presi assieme

Esempio: considero 2 dadi onesti, li

lancio e ottengo 3 eventi:

A={Pari sul primo dato}

B={pari sul secondo dato}

C={somma dei dadi è dispari}

Verifichiamo se sono indipendenti:

P(A)=P(B)=P(C)=0.5

Analizzando le coppie notiamo che

sono tutte indipendenti:

P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C), però se calcoliamo

P(ABC)=P(primi due dadi siano pari e

la loro somma siano

dispari)=P({0})≠P(A)P(B)P(C) =>A, B,

C non sono indipendenti

Facciamo una considerazione

sull’indipendenza: abbiamo visto che

se ho una legge di probabilità,

l’indipendenza di due eventi è

qualcosa che si può verificare

applicando la definizione, spesso però

si fa il ragionamento inverso, ci sono

molte situazioni in cui conosciamo ad

esempio la probabilità di A e quella di

B e vorremmo capire cosa vale la

probabilità di AB cioè dell’evento

congiunto ma non abbiamo a

disposizione gli elementi per farlo, se

ci sono delle ragioni fisiche o

strutturali per cui io penso che i

fenomeni che stanno dietro l’evento A

e quelli che stanno dietro l’evento B

non hanno niente in comune, quindi

sono completamente non interagenti,

abbastanza comune postulare

l’indipendenza e a questo punto

avremo che P(AB)=P(A)P(B)

Vediamo un esempio:

Lancio di due monete oneste, non

posso vedere come i ribalzi del tavolo

di una moneta possano influenzare

quelli dell’altra, quindi posso assumere

che la probabilità che la seconda

moneta dia testa sapendo che la

prima ha dato testa sia uguale alla

probabilità che la seconda moneta dia

testa senza sapere nulla sulla prima,

quindi in questo caso posso attribuire

alla probabilità congiunta il prodotto

delle due probabilità poiché sono

fenomeni fisici che non comunicano

tra di loro

T1={testa sulla prima moneta}

T2={testa sulla seconda moneta}

E’ logico assumere P(T2|

T1)=P(T2)=>P(T1T2)=P(T1)P(T2)

Tuttavia ci sono delle trappole,

vediamo un esempio: consideriamo un

alunno della scuola primaria e

consideriamo due eventi:

A={test di lettura sopra la media}

B={numero di scarpe>33}

Potremmo pensare che non c’entra

niente il numero di scarpe con la sua

capacità di lettura quindi direi che a e

B sono indipendenti, tuttavia non è

così poiché il numero di scarpe cresce

con l’età, dunque se il numero di

scarpe è maggiore di 33 allora è

probabile che l’alunno sia delle ultime

classi, quindi le sue capacità di lettura

siano migliori degli allievi più giovani,

si parla di dipendenza spuria poiché

non c’è una relazione causale, se

faccio mettere delle scarpe di misura

grande a un ragazzino non comincia a

leggere meglio però c’è una variabile

nascosta che è l’età, quindi la

dipendenza tra i due eventi passa

attraverso un terzo elemento che è

l’età, per esempio potrebbe essere

l’evento età maggiore della media se

consideriamo che l’età media della

scuola primaria sia 7 anni e mezzo,

quindi c’è un legame che non ha nulla

id causale ma che fa sì che le variabili

non siano indipendenti

Quindi:

Se non c’è indipendenza la

·9 conoscenza di P(A) e P(B) non

basta a determinare P(AB)

Non farsi prendere la mano a

·10

ipotizzare l’indipendenza come

scorciatoia per ottenere P(AB): il

mondo è pieno di indipendenze

“spurie”, mediate cioè da altri

eventi

Disgiunzione e indipendenza

Notiamo che In precedenza avevamo

parlato di eventi disgiunti, ora

abbiamo parlato di eventi

indipendenti, i due termini hanno

qualche assonanza della lingua

italiana ma noi nella teoria della

probabilità stiamo usando un

linguaggio tecnico quindi è bene