Appunti Statistica economica

E(X); VAR(X)

COV(X;Y) = E(XY) – E(X)*E(Y)

CAP2: COMPONENTI UCM (Componenti non osservabili)

= + + +

µ

trend (può essere stazionario)

→

µ

ciclo (può essere stazionario)

→

stagionalità (non può essere stazionaria)

→

generico rumore

→

1.La componente Trend

Local Linear Trend: composto da due componenti (level e slope):

• Livello: = + + dove ~ WN(0;σ

2η

µ µ η )

− − t

• Pendenza: + dove ~ WN(0;σ

2

= ƺ ƺ )

ƺ

− t

Retta: = + +

µ µ = µ

−

Random walk con drift (σ =0): = + β +

2 µ µ

ƺ −

Random walk integrato (trend liscio) (σ =0): = +

2η µ µ

−

Random walk senza drift (σ =0 con =0): = +

2 β µ µ

ƺ 0 −

Trend lineare: = +

+

2.La componente Ciclica Il ciclo stocastico può essere utilizzato

come componente a sé (per modellare

ciclo economico) oppure si può utilizzare

come parte per modellare la stagionalità. Il

ciclo stocastico è generato partendo da

una funzione deterministica del tempo, la

sinusoide, che viene riscritta in forma

incrementale per poi inserire il white noise

per rendere l'evoluzione stocastica.

La sinusoide con ampiezza R e frequenza λ e con fase φ è definita come funzione del tempo:

f(t) = Rcos(φ+ λt)

2

λ =

→ →

R = ampiezza della sinusoide

→ Φ

φ = fase che modifica il punto in cui parte il coseno -

→ λ

Forma più comune per scrittura sinusoide: f(t) = Rcos(φ+ λt) = Rcos(φ)cos(λt) - Rsin(φ)sin(λt) = Acos(λt) + Bsin(λt)

f(t) = Acos(λt) + Bsin(λt)

R =

→ 2 2

+

√

( ) ≥ 0

φ =

→ {

− ( ) < 0

Cicli di ordine superiore

3.La Stagionalità: ci sono due differenti modi per generare la stagionalità

stocastiche: una stagionalità è qualcosa che si ripete in un tempo t (ad esempio ogni 12

→Dummy

mesi). Nel caso della stagionalità deterministica si ripete esattamente ogni tot periodo di tempo. La

stagionalità si deve occupare della deviazione della serie storica in alcuni mesi e la media di una serie

storica stagionale deve essere pari a zero.

Le dummy riescono a modellare la stagionalità in modo efficiente per cambi repentini della serie storica

S = periodicità stagionale

S=12 dati mensili; S =4 dati trimestrali

Stagionalità deterministica: =

− − −

− − −

11 = 0 la somma delle stagionalità deve annullarsi ogni S periodi

→

∑ γ −

=0

Stagionalità stocastica: = con ~ WN(0;σ

2ω

− − − + ω )

− − −

trigonometrica stocastica (sinusoidi)

→Stagionalità

−1 = 0 la somma delle stagionalità deve annullarsi ogni S periodi

→

∑ γ −

=0

La stagionalità deterministica è una funzione periodica, di periodo S, cioè la stagionalità al tempo t è

uguale alla stagionalità al tempo t-s.

= (ovvero l’effetto di gennaio di quest’anno è uguale all’effetto di gennaio dell’anno precedente)

−

Per questa funzione c’è un risultato dell’analisi armonica di Fourier che ci dice che una funzione fatta

γ

così (che rispetta la periodicità e ha media zero) può essere sempre riscritta come:

e misurano l’ampiezza e la fase (traslazione di una sinusoide)

→

a b

2 2

rappresenta la frequenza; rappresenta il periodo

→ →

.

| |

Sinusoide: =

∑

( ) + ( )

=

Rappresenta una funzione periodica di periodo S, si ripete ogni S periodi, definita sui discreti e si annulla

se io sommo S osservazioni successive (ci sono S -1 regressori da stimare).

Le sinusoidi sono più utili per modellare dei cambi lisci della stagionalità

CAP3: REGRESSORI STATICI E DINAMICI

= + + + +

µ

trend

→

µ

ciclo

→

stagionalità

→

vettori di coefficienti di regressione

→

vettore di regressori

→

generico rumore

→

Statici

→Regressori

1.Outlier additivo (AO-Additive Outlier): Un outlier additivo è un'anomalia in un singolo punto

temporale che subisce un cambiamento repentino che rientra subito. Per introdurre un outlier additivo,

si può aggiungere un termine di disturbo a una specifica osservazione nel modello UCM.

2.Cambio temporale (TC-Temporary Change): Cambiamento temporale che poi rientra nella serie

storica

3.Cambio di livello (LS-Level Shift): Un cambio di livello può essere modellato come una variazione

permanente del livello a partire da un certo punto nel tempo. Questo può essere implementato

aggiungendo una variabile indicatrice che attiva un cambiamento costante a partire da un certo tempo.

4.Cambio di pendenza (SS-Slope Shift): Un cambio di pendenza comporta un cambiamento nella

tendenza di crescita o decrescita a partire da un certo punto nel tempo. Questo può essere

implementato aggiungendo un termine che rappresenta il cambio di pendenza.

Domanda 1:

Come si adatta un modello UCM in modo da introdurre un outlier addittivo, un cambio di livello e un

cambio di pendenza?

Risposta 1:

1.Outlier additivo (AO-Additive Outlier): Un outlier additivo è un'anomalia in un singolo punto

temporale che subisce un cambiamento repentino che rientra subito. Per introdurre un outlier additivo,

si può aggiungere un termine di disturbo a una specifica osservazione nel modello UCM.

3.Cambio di livello (LS-Level Shift): Un cambio di livello può essere modellato come una variazione

permanente del livello a partire da un certo punto nel tempo. Questo può essere implementato

aggiungendo una variabile indicatrice che attiva un cambiamento costante a partire da un certo tempo.

4.Cambio di pendenza (SS-Slope Shift): Un cambio di pendenza comporta un cambiamento nella

tendenza di crescita o decrescita a partire da un certo punto nel tempo. Questo può essere

implementato aggiungendo un termine che rappresenta il cambio di pendenza.

Domanda 2:

Come si possono individuare outlier addittivi e repentini cambi di livello o di pendenza?

Risposta 2:

Per individuare outlier additivi, repentini cambi di livello o di pendenza in una serie temporale, ci sono

diversi metodi che possono essere utilizzati. Grafici delle serie temporali: Un grafico della serie

temporale può rivelare visivamente outlier o cambiamenti repentini. Gli outlier additivi si manifestano

come punti che si discostano notevolmente dal resto della serie, mentre i cambi di livello o di pendenza

appaiono come variazioni improvvise nella media o nella tendenza della serie.

Domanda 3:

Che tipo di variabili artificiali dovrebbero essere utilizzate per modellare (1) un valore anomalo additivo,

(2) uno spostamento di livello e (3) uno spostamento di pendenza?

Risposta 3: CAP4: FORMA STATE-SPACE

Rappresenta una forma in cui noi riusciamo ad inserire tutti i modelli di serie storiche lineari che

abbiamo visto fino ad adesso, più molti altri. Quindi con gli algoritmi scritti in forma State-Space si

ottiene dell'inferenza ottima l'algoritmo principale è il filtro di Kalman che permette di fare stime di

→

massima verosimiglianza di modelli scritti in forma State-Space. La forma State-Space ha le seguenti

componenti:

La forma State-Space è composta da due set di equazioni: rappresenta il vettore di stato (che contiene le UCM)

1. Equazione di misurazione/di osservazione

= + dove ~ WN(0;

+ ε H )

t t

2. Equazione di stato/di transizione

= + dove ~ WN(0;

+ v Q )

+ t t

Condizioni iniziali: rappresenta l’inizializzazione della forma state-space. Ovvero un’assunzione sulla

distribuzione di Dipende dal modello iniziale, se è stazionario o no, si inseriscono i valori in base

α .

1

alle proprietà del modello altrimenti se non si ha conoscenza nulla si inserisce varianza infinita.

Valore atteso/media E( ) =

→

|

Matrice di var/cov E[ - ] [ - ] =

t

→

| | |

Regressori e forma State-Space: Ora vediamo come introdurre nella forma State-Space le forme di

regressione statica e dinamica.

semplice: =

→Regressione

• Nel caso in cui si ha un vettore di stato non troppo grande

Equazione di osservazione: = +

+

coefficiente di regressione, sono variabili di stato

→

• Nel caso in cui si ha un vettore di stato molto grande voglio evitare di aggiungere ulteriore

dimensione al vettore di stato quindi:

= +

+

= +

+

+

Potrei definire =

con coefficienti che evolvono come dei Random Walk (per serie storiche lunghe)

→Regressione

Equazione di osservazione: = +

Equazione di stato: = + dove ~ WN(0;

η Q )

+ t t

con coefficienti che evolvono come dei Random Walk integrati

→Regressione

Equazione di osservazi