Appunti Statistica economica

Componenti UCM: Componenti non osservabili

Le componenti non osservabili (UCM) includono:

• Trend: Può essere stazionario.
• Ciclo: Può essere stazionario.
• Stagionalità: Non può essere stazionaria.
• Generico rumore.

Trend

Local Linear Trend

Composto da due componenti: livello e pendenza.

• Livello: \( \mu_t = \mu_{t-1} + \eta_t \) dove \( \eta_t \sim WN(0, \sigma^2_{\eta}) \).
• Pendenza: \( \beta_t = \beta_{t-1} + \zeta_t \) dove \( \zeta_t \sim WN(0, \sigma^2_{\zeta}) \).
• Retta: \( \mu_t = \mu_{t-1} + \beta_t + \epsilon_t \).

Varianti del Trend

• Random walk con drift (\( \sigma = 0 \)): \( \mu_t = \mu_{t-1} + \beta + \eta_t \).
• Random walk integrato (trend liscio) (\( \sigma = 0 \)): \( \mu_t = \mu_{t-1} + \eta_t \).
• Random walk senza drift (\( \sigma = 0 \) con \( \beta = 0 \)): \( \mu_t = \mu_{t-1} + \eta_t \).
• Trend lineare: \( \mu_t = \alpha + \beta t + \epsilon_t \).

Ciclo

Il ciclo stocastico può essere utilizzato come componente a sé stante (per modellare ciclo economico) oppure come parte per modellare la stagionalità. È generato partendo da una funzione deterministica del tempo, la sinusoide, che viene riscritta in forma incrementale per poi inserire il white noise per rendere l'evoluzione stocastica.

La sinusoide con ampiezza R e frequenza λ e con fase φ è definita come funzione del tempo: \( f(t) = R \cos(\phi + \lambda t) \).

Forma più comune per scrittura sinusoide: \( f(t) = A \cos(\lambda t) + B \sin(\lambda t) \) dove:

• \( R = \sqrt{A^2 + B^2} \geq 0 \).
• \( \phi = \arctan(-B/A) \).

Stagionalità

Ci sono due differenti modi per generare la stagionalità stocastica:

• Deterministica: Si ripete esattamente ogni tot periodo di tempo.
• Stocastica: Si ripete in modo non esatto, modulata da rumore.

La stagionalità si occupa della deviazione della serie storica in alcuni mesi e la media di una serie storica stagionale deve essere pari a zero. Le dummy riescono a modellare la stagionalità in modo efficiente per cambi repentini della serie storica.

Per la stagionalità deterministica, la somma delle stagionalità deve annullarsi ogni S periodi: \( \sum \gamma_s = 0 \).

La stagionalità deterministica è una funzione periodica, di periodo S, cioè la stagionalità al tempo t è uguale alla stagionalità al tempo t-S.

Regressori statici e dinamici

• Outlier additivo (AO-Additive Outlier): Un'anomalia in un singolo punto temporale che subisce un cambiamento repentino che rientra subito.
• Cambio temporale (TC-Temporary Change): Cambiamento temporale che poi rientra nella serie storica.
• Cambio di livello (LS-Level Shift): Una variazione permanente del livello a partire da un certo punto nel tempo.
• Cambio di pendenza (SS-Slope Shift): Un cambiamento nella tendenza di crescita o decrescita a partire da un certo punto nel tempo.

Domande e risposte

Domanda 1

Come si adatta un modello UCM in modo da introdurre un outlier additivo, un cambio di livello e un cambio di pendenza?

Risposta 1

1. Outlier additivo: Si aggiunge un termine di disturbo a una specifica osservazione nel modello UCM.
2. Cambio di livello: Si implementa aggiungendo una variabile indicatrice che attiva un cambiamento costante a partire da un certo tempo.
3. Cambio di pendenza: Si aggiunge un termine che rappresenta il cambio di pendenza.

Domanda 2

Come si possono individuare outlier additivi e repentini cambi di livello o di pendenza?

Risposta 2

Per individuare outlier additivi e repentini cambi di livello o di pendenza in una serie temporale, si utilizzano metodi come:

• Grafici delle serie temporali: Un grafico può rivelare visivamente outlier o cambiamenti repentini.

Domanda 3

Che tipo di variabili artificiali dovrebbero essere utilizzate per modellare (1) un valore anomalo additivo, (2) uno spostamento di livello e (3) uno spostamento di pendenza?

Forma State-Space

Rappresenta una forma in cui inserire tutti i modelli di serie storiche lineari. Gli algoritmi scritti in forma State-Space ottengono inferenza ottima tramite il filtro di Kalman.

La forma State-Space è composta da due set di equazioni:

• Equazione di misurazione/di osservazione: \( y_t = Z_t \alpha_t + \epsilon_t \) dove \( \epsilon_t \sim WN(0, H_t) \).
• Equazione di stato/di transizione: \( \alpha_t = T_t \alpha_{t-1} + R_t \eta_t \) dove \( \eta_t \sim WN(0, Q_t) \).

Le condizioni iniziali dipendono dal modello iniziale (stazionario o meno) e inseriscono varianza infinita se non si ha conoscenza nulla.

Regressori e forma State-Space: Introdurre forme di regressione statica e dinamica nella forma State-Space.