Appunti di Geometria sugli spazi vettoriali

1 Spazi vettoriali

Definizione 1.1. Uno spazio vettoriale su un campo K o un K-spazio vettoriale

è un insieme V su cui è definita una operazione di somma

× −→ ∀ ∈ ∈

V V V che v, w V associa v + w V

e una operazione di prodotto per elementi di K

× −→ ∀ ∈ ∀v ∈ ∈

K V V che k K, V associa kv V

soddisfacenti le seguenti proprietà:

• commutatività e associatività della somma, cioè

∀ ∈

u, v, w V u + v = v + u e u + (v + w) = (u + v) + w;

• esistenza dell’elemento neutro per la somma, cioè

∃ ∈ ∀v ∈

0 V : V v + 0 = 0 + v = v;

V V V

• esistenza dell’opposto per la somma, cioè

∀ ∈ ∃ − ∈

v V v V : v + (−v) = (−v) + v = 0 ;

V

• distributività del prodotto per scalari, cioè

∀ ∈ ∀ ∈

λ K u, v V λ(u + v) = λu + λv e

∀ ∈ ∀ ∈

λ, µ K v V (λ + µ)v = λv + µv;

• associatività del prodotto per scalari, cioè

∀ ∈ ∀v ∈

λ, µ K V (λµ)v = λ(µv);

• ∀ ∈

v V 1v = v.

Gli elementi di uno spazio vettoriale V = V sul campo K si dicono vettori,

K

gli elementi di K scalari.

Scriveremo V per specificare il campo K su cui V è spazio vettoriale.

K

R R

2

Esempi 1.2. è spazio vettoriale su con la somma e il prodotto per un

numero reale cosı̀ definiti:

∀ ∈ R ∈ R

2 2

(x , x ), (y , y ) (x , x ) + (y + y ) = (x + x , y + y )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

∀ ∈ R ∀ ∈ R 2

λ (x, y) λ(x, y) = (λx, λy). n

Più in generale, per ogni intero positivo n, si rende K spazio vettoriale su K

definendo: 1

∀ ∈ n

(x , x , . . . , x ), (y , y , . . . , y ) K

1 2 n 1 2 n · · · · · · ∈ n

(x , x , . . . , x ) + (y , y , . . . , y ) = (x + x + + x , y + y + + y ) K

1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

∀ ∈ R ∀ ∈ ∈

n n

λ (x , x , . . . , x ) K λ(x , x , . . . , x ) = (λx , λx , . . . , λx ) K .

1 2 n 1 2 n 1 2 n

R, Q C

Con le operazioni di somma e prodotto usuali e sono spazi vettoriali

R, Q C R Q,

su e rispettivamente, mentre ad esempio è spazio vettoriale su ma

Q R.

non è spazio vettoriale su ∈

Definizione 1.3. Siano V uno spazio vettoriale sul campo K, λ , λ , . . . , λ K

1 2 r

∈

e v , v . . . , v V . Il vettore

1 2 r ∈

v = λ v + λ v , . . . , λ v V

1 1 2 2 r r ∈

si dice combinazione lineare di v , v , . . . , v a coefficienti λ , λ , . . . , λ K.

1 2 r 1 2 r

√ √

R − − ∈ R

2

12 7

2 2

Esempio 1.4. In il vettore (3, 2) 1(−2, 3) = ( , 3) è combi-

√

R 2 2

−1 ∈ R.

1

nazione lineare dei vettori (3, 2), (−2, 3) a coefficienti ,

2

Esercizio 1.5. Siano V uno spazio vettoriale su K, 0 e 1 lo zero e l’unità di K.

Allora

a) 0 è unico.

V ∀ ∈

b) 0v = 0 v V .

V ∀ ∈

c) λ0 = 0 λ K.

V V

−1v −v ∀ ∈

d) = v V .

′

a) Siano 0 e 0 zeri di V . Allora

V V ′ ′

0 = 0 + 0 = 0 .

V V V V

Tenendo conto dell’unicità dello zero di V ,

b) 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v =⇒ 0v = 0 e

V

c) λ0 = λ(0 + 0 ) = λ0 + λ0 =⇒ λ0 = 0 .

V V V V V V V

−1v

d) è l’opposto di v perchè

−1v −1v

+ v = + 1v = (−1 + 1)v = 0v = 0 .

V

Sia V un K-spazio vettoriale. ∈

Definizione 1.6. v , v , . . . , v V si dicono linearmente dipendenti se esiste

1 2 r

una loro combinazione lineare nulla a coefficienti in K non tutti nulli.

∈

Definizione 1.7. v , v , . . . , v V si dicono linearmente indipendenti se una

1 2 r

loro combinazione lineare nulla è necessariamente a coefficienti in K tutti nulli.

Definizione 1.8. Sia W un sottoinsieme di un K-spazio vettoriale V .

Si dice che W è un sottospazio vettoriale di V se valgono le seguenti condizioni:

2

• ∀w ∈ ∈

, w W =⇒ w + w W ;

1 2 1 2

• ∀k ∈ ∀w ∈ ∈

K e W =⇒ kw W .

Le due condizioni della definizione precedente equivalgono alla seguente:

• ∀w ∈ ∀k ∈ ∈

, w W e , k K =⇒ k w + k w W .

1 2 1 2 1 1 2 2

Si vede subito che un sottospazio vettoriale di un K-spazio vettoriale V è spazio

vettoriale.

Osservazioni 1.9. Sia W un sottospazio di un K-spazio vettoriale V . Poiché

∀k ∈ ∀w ∈ ∈

K e W kw W si ha:

• ∈

0w = 0 W ;

V

• −1w −w ∈

= W ;

Inoltre osserviamo che:

• 0 è un sottospazio di V ;

V

• V si può riguardare come sottospazio di se stesso.

Definizione 1.10. Sia V un K-spazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale W

di V diverso da 0 e da V si dice proprio.

V

2 Matrici

2.1. Siano m ed n due interi positivi e sia K un campo.

Definizione 2.1. Una matrice di tipo (m, n) ad elementi in K è una tabella A

·

di m n elementi di K disposti su m righe e n colonne:

 

· · ·

a a a

11 12 1n

 

· · ·