Appunti Analisi matematica 1 (funzioni elementari)

Funzioni Elementari - Indice

• Funzioni
  • Th. della molteplicità di uno zero
  • Th. di Ruffini
• Trasformazioni di grafici di funzioni
  • La funzione valore assoluto
  • Disuguaglianza triangolare
  • Lipschitzianità
• La funzione potenza
• La funzione radice
  • Th. di esistenza della radice n-esima
• La funzione esponenziale
• La funzione logaritmo
• Gli angoli
• Funzioni goniometriche
  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
• Formule goniometriche
  • Formule di prostafaresi
  • Formule di Werner
• Risoluzione di un triangolo rettangolo
• Funzioni goniometriche particolari
• Funzione sinusoidale
• Funzioni iperboliche
  • Seno iperbolico
  • Coseno iperbolico
  • Tangente iperbolica
• Formule iperboliche

Funzioni Elementari - Testo

Funzione ➞ relazione tra dominio e codominio (A × B)

• ∀y ∈ A ∃! y ∈ B ∅ f(x) = y
• a.f(x) = y₁ ∅ f(x) = y₂ ∅ y₁ = y₂
• Immagine: {f(x) | x ∈ E ⊆ E} NB. f^-1(H) f^-1 inversa
• Controimmagine: f^-1(H) : {x ∈ A | f(x) ∈ H}

Tipi di funzioni:

• Grafico: f : A, f(x) ∈ A × B, x ∈ A
• Iniettiva: (x₁ ∈ A, x₂ ∈ A) ∅ f(x₁) = f(x₂) allora x₁ = x₂
• Suriettiva: {f(x) = b} ∅ b ∈ B
• Biettiva: se ∀ ∈ iniettiva e suriettiva ∅ (⇒) è invertibile
• Inversa: f(a) = b ∅ f^-1(b) = a se f(a) = b
• Composta:
  1. f : A ➜ B
  2. g : B ➜ C
• f(g) : A ➜ C
• fog ➜ NB. fog ≠ gof

Costante ➞ f(x) = b₀

Identica ➞ Id: f(x) = x ∅ a ➞ NB: f of = Id

Caratteristica ➞ X_x(x) :

• 0 se x ∈ E
• 1 se x ∉ E

Di Dirichlet ➞ X_Q(x) :

• 0 se x ∈ Q
• 1 se x ∈ R\Q

Proiezioni ➞ p₂ : A × B ➜ A

Pari ➞ Dominio simmetrico rispetto all'origine e f(x) = f(-x)

Dispari ➞ Dominio simmetrico rispetto all'origine e f(-x) = f(x)

Parte Intera ➞ [x] = max {k ∈ Z : K ≤ x} ∀x ∈ R

Mantissa ➞ mant(x) = x - [x] ∀x ∈ R

Monotona

• ∀x₁, x₂ ∈ A dominio x₁ ≤ x₂ ∅
• Non decrescente ∅ f(x₁) ≤ f(x₂)
• Strettamente crescente ∅ f(x₁) < f(x₂)
• Non crescente ∅ f(x₁) ≥ f(x₂)
• Strettamente decrescente ∅ f(x₁) > f(x₂)

NB. Le funzioni strettamente monotone sono sempre iniettive

La composizione di funzioni strettamente crescenti/decrescenti è strettamente non decrescente/non crescente

L'inversa di una funzione strettamente monotona è una funzione strettamente monotona dello stesso tipo

La funzione valore assoluto

Proprietà:

• Dominio: [-∞, +∞[
• Codominio: [0, +∞[
• Simmetria: pari
• Monotonia: strettamente decrescente con x < 0 e strettamente crescente con x > 0

• |f(x)|= a → f(x) = ± a se a ≥ 0
• nessuna soluzione se a < 0
• |f(x)| ≥ a → f(x) ≤ -a ∨ f(x) ≥ a
• |f(x)| < a → -a < f(x) < a
• |f(x)| > g(x) → {f(x) > g(x)} ∪ {-f(x) > g(x)}
• |f(x)| ≥ 0
• |f(x)| < 0

La funzione potenza

Gode delle seguenti proprietà ∀ a, b ∈ ℝ, ∀ x, x₁, x₂ > 0

• x⁰ = 1
• (x⁽ᵃ⁺ᵇ⁾) = xᵃ ⋅ xᵇ con x > 0
• (xᵃ)ᵇ = x⁽ᵃᵇ⁾ con x > 0
• a > 0 con x > 0 allora xᵃ ˂ xᵇ ↔ a ˂ b
• Se x > x₁ ∀ a > b ⇒ xᵃ > xᵇ
• Se x < x₁ ∀ a < b ⇒ xᵃ ˂ xᵇ

Th. Proprietà delle funzioni potenza

Sia f(x) = xⁿ, n ∈ ℕ⁺

• Sia n dispari, allora f(x) è strettamente crescente su ℝ, illimitata, dispari, biettiva ed invertibile
• Sia n pari, allora f(x) è pari. Considero g la restrizione di f dove g ∈ [0, +∞[. g è strettamente crescente, suriettiva, quindi è definita l'inversa.

La restrizione da f ad H è la funzione

g: H → ℝ : g(a) = f(a) ∀ a ∈ H

LA FUNZIONE LOGARITMO

f(x) = log_a(x) gode delle seguenti proprietà ∀a > 0 , a ≠ 1:

1. log_a(1) = 0
2. log_a(x ∙ y) = log_a(x) + log_a(y)
3. log_a(xⁿ) = y ∙ log_a(x)
4. log_a(^x⁄_y) = log_a(x) - log_a(y)
5. log_a(x) = ^log_b(x)⁄_logb(a)

TH. DI ESISTENZA DEL LOGARITMO

Sia a ∈ ℝ : a > 0. Sia f(x) = a^x, f: ℝ → ]0, +∞[.f è suriettiva, cioè ∀b > 0 ∃ a ∈ ℝ : a^x = b

DIM. (PER ASSURDO)

Siano a₁ = 1 , b > 0.Poniamo a = sup {x ∈ ℝ : a^x < b} = inf{x ∈ ℝ : a^x > b} e dimostriamo che i due insiemi sono contigui.

Supponiamo per assurdo a^x < b ⇒ ba^-x > 1

Per il lemma ∃n ∈ ℕ : a^1/n < b^-a ⇒ a^1/n < b che è assurdo.

Per il teorema la funzione f: ℝ → ]0, +∞[ f(x) = a^x ∀a ∈ ℝ : a > 0 è invertibile quindi la funzione logaritmo in base a è la funzione inversa di f

f^-1 : ]0, +∞[ → ℝ f^-1 : log_ax

⇩

log_ax = y ⇔ a^y = x

LA FUNZIONE LOGARITMO

f(x) = log_a(x) con a > 1 ha le seguenti proprietà:

• Dominio: ]0, +∞[
• Codominio: ℝ
• Simmetrie:
• Monotonia: strettamente crescente con x > 0

ESSENDO ∠Ô = ∠ÔD ⇒ =

= √(xₑ - xₐ)² + (yₑ - yₐ)² =

= √[cos(α - β) * 1]² + [sin(α - β)]²

= √(xₑ - xₒ)² + (yₑ - yₒ)² =

= √[cos(α) - cos(β)]² + [sin(α) - sin(β)]²

SVILUPPANDO L'UGUAGLANZA TRA = E UTILIZZANDO

LA RELAZIONE FONDAMENTALE SI OTTIENE

cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

4. FORMULE DI DUPLCAZIONE

• sin(2α) = 2sin(α)cos(α)
• cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)
• = 1 - 2sin²(α)
• = 2cos²(α) - 1
• tg(2α) = ^2tg(α)/_{1 - tg²(α)}

5. FORMULE PARAMETRICHE

• sin(α) = ^2t/_{1 + t²}
• cos(α) = ^{1 - t²}/_{1 + t²}
• tg(α) = ^2t/_{1 - 2t²}

t = tg(^α/₂)

6. FORMULE DI BISEZIONE

• sin(^α/₂) = ±√^{1 - cos(α)}/₂
• cos(^α/₂) = ±√^{1 + cos(α)}/₂
• tg(^α/₂) = ±√^{1 - cos(α)}/_{1 + cos(α)}
• = ^sin(α)/_{1 + cos(α)}
• = ^{1 - cos(α)}/_sin(α)

7. EQUAZIONE LINEARE

a sin(x) + b cos(x) + c = 0