Appunti Analisi 1

PRINCIPIO DI INDUZIONE

Dato la proposizione Pn con n∈ℕ, per verificare l'esattezza di Pn si procede così:

• Verificare che P₀ è vera per un n ₀ (solitamente 0 o 1).
• Supporre vera Pn, da essa trovare direttamente la Pn+₁ e verificare che concordi con la Pn iniziale.
• (In pratica se P₀ è vera e sarà Pn allora lo è sempre).

Esempi:

1. Verificare che _{∑ⁿk=₀ 2^k = 2^° + 2^¹ + 2^² + ... + 2ⁿ = 2^n+¹ − 1 ∀n∈ℕ.}

   • P₀ = 2^⁰ − 1 = 1 ed è vero, 2⁰ − 1
   • Supposta vera la Pn

   HP) 2^⁰ + 2^¹ + 2^² + ... + 2^k = 2^k+¹ − 1 devo esserlo anche Pn+₁ TS) 2^⁰ + 2^¹ + 2^² + ... + 2^k+¹ = 2^k+² − 1 Lo si dimostra provando che Pn+₁ = Pn + 2^k+¹ = 2^k+¹ − 1 + 2^k+¹ = 2 ⋅ 2^k+¹ − 1 = 2^k+² − 1

   è quindi verificata.

2. Verificare che _{∑ⁿk=1 k = 1 + 2 + 3 + ... + n = ^{(n) ⋅ (n+1)}∕2}

   P₁ = ^{1 ⋅ 2}∕₂ = 1 vera.

   (HP) 1 + 2 + 3 + ... + n = ^{n ⋅ (n+1)}∕₂

   (TS) 1 + 2 + 3 + ... + n = ^{n ⋅ (n+1)}∕₂ + (n+1) = = ^{n ⋅ (n+1)}∕₂ + ²⁽ⁿ⁺¹⁾∕₂ = ^(n+2)(n+1)∕₂ = ^{t ⋅ (t + 1)}∕₂ se t = n+1

   Ed è verificato.

DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI

(1+h)ⁿ ≥ 1+nh      n ≥ 1 ∀ n ∈ N

Po (1+h)≥1+0·h      vero!

HP) (1+h)ⁿ ≥ (1+nh)

TS) (1+h)ⁿ⁺¹ ≥ (1+nh+n)h

(1+h)ⁿ+1 = ((1+h)ⁿ · (1+h)) ≥ (1+nh)·(1+h) moltiplicare per (1+h)

≥ (1+nh+h+n h²)

≥ (1+(n+1)h+n h²)

il risultato è diverso dalla tesi; ma è equivalente perché (1+(1+h)h+n h²) ≥ (1+(n+1)h).

Verificare_all'indice3 il principio di induzione che

ⁿ_∑^k=0 q^k = 1+q+q..+qⁿ = ^(1-qn+1)/(1-q)

1+q+q²+q³+...+qⁿ = ((1+q+q²+q³+..+qⁿ)(1-q))/(1-q) =

= ((1+q+q²+...qⁿ)+( -q-q²-q³...qⁿ⁺¹))/(1-q) =

= (1-qⁿ⁺¹)/(1-q)

FATTORIALE

n! = n·(n-1)·(n-2)...2·1      ovvero

n! = n·(n-1)!

esempio

0! = 1

1! = 1

LIMITI DI SUCCESSIONI - VERIFICA

convergente: _n→∞ 2n = l

∀ε>0 ∃ Ne: se n>Ne ⇒ |2n-l|ε

_n→∞ 2n = ±∞

Esempi:

1. dimostrare _n→∞ ⁿ/_2n+5 = ¹/₂ tramite

   | ²ⁿ/_2n+5 - ¹/₂ | < 1+2ε

   | ^2n-(2n+5)/_2n+5 | < 2ε

   | ^-5/_2n+5 | < 2ε

   ⁵/_2ε < 2n+5

   n > ^5-10ε/_4ε ed è quindi verificato n>Ne.

2. dimostrare _n→∞ ⁿ⁺⁴/_n = 1

   | ⁿ⁺⁴/_n -1 | < ε

   | ^n+4-n/_n | < ε

   ⁴/_n < ε

   n > ⁴/_ε ed è verificato.

3. dimostrare _n→∞ n²-1 = +∞

   |n²-1| > ε

   (il valore assoluto si può levare per n→+∞)

   n²-1 > ε

   n²-1-ε > 0

   n = ^1±√1+4ε/₂

   la parabola è positiva per valori esterni.

   n > ^1+√1+4ε/₂ ed è verificato.

   n < ^1-√1+4ε/₂ si scarta perché vorrebbe n