Analisi matematica 1 - fondamenti

Introduzione

L’Analisi Matematica studia i concetti fondamentali di limite, continuità, derivata e

integrale, che costituiscono le basi della matematica avanzata, della fisica e dell’ingegneria.​

Gli strumenti dell’analisi permettono di descrivere fenomeni dinamici, massimizzare o

minimizzare funzioni e studiare il comportamento di funzioni e successioni.

1. Numeri Reali e Successioni

Numeri reali

●​ Proprietà: ordinamento, completezza, densità dei razionali.​

●​ Operazioni: somma, prodotto, potenze, radici.​

Successioni

●​ Definizione: funzione n↦ann \mapsto a_nn↦an​.​

●​ Limite di una successione: lim⁡

n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = Llimn→∞​an​=L se per

ogni ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0 esiste NNN tale che - L| < \epsilon∣an​−L∣<ϵ

∣an−L∣<ϵ|a_n

per n>Nn > Nn>N.​

●​ Proprietà:​

○​ Unica limite.​

○​ Successioni convergenti sono limitate.​

○​ Operazioni su successioni convergenti (somma, prodotto, quoziente).​

●​ Esempi: an=1/n→0a_n = 1/n \to 0an​=1/n→0, an=(1+1/n)n→ea_n = (1 + 1/n)^n \to

ean​=(1+1/n)n→e.​

Successioni monotone

●​ Teorema di monotonia: successioni monotone e limitate convergono.​

●​ Successioni oscillanti e divergenza: (−1)n(-1)^n(−1)n non converge.​

2. Serie Numeriche

●​ Serie ∑an\sum a_n∑an​, convergenza: se la successione dei termini parziali

converge.​

●​ Serie geometrica: ∑n=0∞rn=1/(1−r)\sum_{n=0}^{\infty} r^n = 1/(1-r)∑n=0∞​rn=1/(1−r),

∣r∣<1|r|<1∣r∣<1.​

●​ Serie armonica: ∑1/n\sum 1/n∑1/n diverge.​

●​ Criteri di convergenza:​

○​ Confronto​

○​ Rapporto​

○​ Radice​

○​ Leibniz (serie alternanti)​

●​ Serie assolutamente convergenti → convergenti.​

3. Limiti di Funzioni

●​ Definizione: lim⁡

x→x0f(x)=L\lim_{x \to x_0} f(x) = Llimx→x0​​f(x)=L se ∀ϵ>0

\forall \epsilon>0 \ \exists \delta>0 : |x-x_0|<\delta

∃δ>0:∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ϵ

\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon∀ϵ>0 <δ⇒∣f(x)−L∣<ϵ.​

∃δ>0:∣x−x0​

∣

●​ Limite destro e sinistro.​

●​ Limiti all’infinito e infinito come limite.​

●​ Forme indeterminate: 0/0,∞/∞0/0, \infty/\infty0/0,∞/∞.​

●​ Teoremi utili:​

○​ Teorema della permanenza del segno​

○​ Teorema dei carabinieri​

4. Continuità

●​ Funzione continua in x0x_0x0​

se lim⁡

x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x) =

f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​).​

●​ Proprietà: somma, prodotto, composizione di continue → continua.​

●​ Teoremi importanti:​

○​ Teorema di Bolzano: funzione continua che cambia segno ammette radice.​

○​ Teorema dei valori intermedi: assume tutti i valori tra f(a)f(a)f(a) e

f(b)f(b)f(b).​

○​ Teorema di Weierstrass: funzion