Fondamenti di analisi matematica 1

Teoria degli insiemi

• Insiemi - lettere minuscole
• a appartiene ad A
• a non appartiene ad A
• A è un sottoinsieme di B, ogni elemento di A è anche un elemento di B
• A unito B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli di A o di B
• A intersecato B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli comuni ad A e B
• Insieme vuoto ossia non contiene nessun elemento
• Per la definizione CCA, giunzione sia A

Esempio

A = {a, b, 1, 3}

B = {b, 2, 3}

C = {b, 1}

D = {}

Abbiamo:

• CCA
• A∪B = {a, b, 1, 2, 3}
• A∩D = ∅
• A∩B = {b, 3}

A volte l'insieme è specificato dando una legge che caratterizza tutto e soli i suoi elementi

Esempio

V = { X | X è una vocale dell'alfabeto (italiano) } = {a, e, i, o, u}

L = {1, tutti, tre}

Numeri Naturali

Sono 1, 2, 3, 4, ... [Lo 0 non appartiene]

• a ∈ N è un fattore o divisore di b, b ∈ N se e solo se il resto della divisione intera di b con a è nullo

Esempio

• 4 è un divisore di 12 → 12:4 = 3 con resto 0
• 4 non è un divisore di 14 → 14:4 = 3 con resto 2

1. Un numero naturale si dice numero primo se e solo se ha come divisori solo i numeri 1 e sé stesso

Alcune proprietà dei numeri primi:

• Teorema: Esistono infiniti numeri primi
• Teorema: Ogni numero naturale ha un’unica scomposizione in fattori primi eventualmente ripetuti

Esempio

• 12 = 2² · 3 Fattori primi
• 35 = 5 · 7
• 21 = 3 · 7
• 180 = 2² · 3² · 5

Proposizione

Vale la seguente limite fondamentale:

\(\lim_{x \to 0^+} \left [ \ln(x) \right ]^p \cdot 0 \quad \forall x > 0, \, p \in \mathbb{R}\)

Dim

Poniamo \(x \to \infty\) per cui il limite diventa:

\(\lim_{\epsilon \to 0^+} \left [ \ln(\frac{1}{\epsilon}) \right ]^p = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left [ -\ln(\epsilon) \right ]^p = \lim_{t \to +\infty} \left [ \ln(t) \right ]^p = \lim_{t \to +\infty} \left ( \frac{\ln(t)}{t^\alpha} \right )^p = 0\)

Esercizio

\(\lim_{x \to 0^+} \left ( \frac{1+x}{x^2} \right ) = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x^2} \ln(1+x)} = +\infty\)

\(\lim_{x \to 0^+} \left ( \frac{1}{x^2} \cdot \ln(1+x) \right ) = +\infty\)

Esercizio

Siano \(a > 0, \, b > 0, \, c > 0\) Calcolare:

\(\lim_{x \to 0} \left ( \frac{x^a + b^x + c^x}{3} \right )^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x} \ln \left ( \frac{x^a + b^x + c^x}{3} \right )}\)

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln \left ( \frac{x^a + b^x + c^x}{3} \right ) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \ln \left ( a^x + b^x + c^x \right )\)

\(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{3} (a^x \ln a + b^x \ln b + c^x \ln c) = \ln (abc)^{\frac{1}{3}}\)

\(\lim_{x \to 0^+} e^{\ln (abc)^{\frac{1}{3}}} = (abc)^{\frac{1}{3}}\)

Esercizio

Calcolare al variare di \(\rho > 0\) il limite:

\(\lim_{x \to 0^+} \left ( \frac{1+x^2 + 10^x}{\rho} \right )^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{\rho} \ln \left ( \frac{1+x^2 + 10^x}{\rho} \right )}\)

N.B. λ_1,2 = ^{- β ± √Δ}/_2α = ^β/_2α ± ^√Δ/_2α

ESEMPIO

y'' + 3y' + 2y = 0

Ho f(t) = 0 —> eq. diff. omogenea

Calcolo y₀(t):

λ² + 3λ + 2 = 0

Δ = 3² - 4⋅1⋅2 = 1 > 0

λ_1,2 = ^{- 3 ± 1}/₂ < - ¹/₂

Allora è

y₀(t): C₁e^-t + C₂e^-2t C₁, C₂ ∈ ℝ

Calcolo y_p(t): basta prendere y_p(t) = 0

y_p(t) = 0

y'_p(t) = 0

=> y''_p(t) + 3y'_p(t) + 2y_p(t) = 0

= 0 + 3⋅0 + 2⋅0 = 0

Perciò è

y(t) = y₀(t) + y_p(t) = C₁e^-t + C₂e^-2t C₁, C₂ ∈ ℝ

ESERCIZIO

Numero di Soluzioni di

^{3 - 1}/_x = λx

al variare di λ ∈ ℝ

Dato C_ℝ X ≠ 0 è equivalente a

¹/_x [^{3 - 1}/_x²] = λ

Ho

f(x) = ¹/_x [^{3x - 1}/_x²]

= ^{3x - 1}/_x³

Definito per ogni x ∈ ℝ > tale C_ℝ x³ ≠ 0

x ⋅ x ⋅ x ≠ 0 x ≠ 0

Vediamo il segno Ho

f(x) <= 0 ^{3x - 1}/_x³ >= 0

NUM 3x - 1 >= 0 3x >= 1 x >= ¹/₃

DEN x³ ≥ 0 x ≥ 0

sign (3x - 1)

sign (x³)

sign (^{3x - 1}/_x³)

La funzione è continua perchè razionale, negli intervalli

(-∞,0) e (0,+∞)

Limiti agli estremi del dominio (f£ scen sevan -∞, 0^-, 0⁺, +∞)

limx→0- f(x) = limx→0- 3x - 1/x3 = (fi ∞/∞)

lim_x→∞ ^{x3(3x - 1)}/_x³ = 0

la retta y=0 è asintoto orizzontale per f per x → -∞ e per x → +∞

limx→0- f(x) = limx→0- 3x - 1/x3 = +∞

limx→0+ f(x) = limx→0+ 3x - 1/x3 = -∞

la retta x=0 è asintoto verticale per f

Dim

(i) Distinguo due casi:

• (i) x≥0 Allora x·x≥0 per R₁ -> x²≥0 per ℓa (1)
• (i) x<0 Allora x·x≥0 per R₂ -> x²≥0 per ℓa (1)

(ii) Su x=0 Allora x·0=0 per ℓa (1)

x≥0 Allora x·x=0 per (2) -> x=0

Esercizio

Rif. Su Prop. di Assorbimento x+Hx>0

x>1 ^∀x∈ℝ

Proposizione

Su x∈ℝ ℓaℓ che 0≤x≤ε ^∀ε≥0

Allora è x=0

Si può far vedere che tutte ℓe proprietà S, P, O, L A valgono in ℚ.

In effetti c’è una e stimatore proprietà che caratterizza ℝ e c’è ℚ.

Serve uno strumento nuovo:

LE SUCCESSIONI (pag. 5)

Def Una successione a vaℓori in ℝ (ℚ) è una funzione da ℕ in ℝ (ℚ)

ESEMPIO

x_m=m²

x₁ = 1² = 1

x₂ = 2² = 4

Non c’é X_ms perché 1,5∉ℕ

È utile rappresentare graficamente ℓe successioni

Ho una serie di punti discreti del tipo (m, x_m)

Valori notevoli

α

0

π/6

π/4

π/3

π/2

sen(α)

0

1/2

√2/2

√3/2

1

cos(α)

1

√3/2

√2/2

1/2

0

Lo ricordo: sotto fratto 2 e poi conto la radicia

√0/2

√1/2

√2/2

√3/2

√4/2

Proposizione

Formule di Tolomeo

• sen(α+β) = sen(α)cos(β) + cos(β)sen(α)
• sen(α-β) = sen(α)cos(β) - cos(β)sen(α)
• cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
• cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)

[Dim omessa]

Da queste abbiamo le formule di duplicazione

• sen(2α) = sen(α+α) = sen(α)cos(α) + sen(α)cos(α) = 2sen(α)cos(α)
• cos(2α) = cos(α+α) = cos(α)cos(α) - sen(α)sen(α) = cos²(α) - sen²(α)

Dalla formula di duplicazioni ricaviamo quelle di bisezione

• cos(2α) = 1 - 2sen²(α) ⇒ sen²(α) = 1-cos(2α) / 2

È costitutairne porre α = β/2 e siavere

sen²(β/2) = 1-cos(β) / 2

Da cos(2α) = 2cos²(α) - 1 Po cos²(α) = 1+cos(2α) / 2

cos²(β/2) = 1+cos(β) / 2

E per la tangente?

• tg(α+β) = sen(α+β) / cos(α+β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) / cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)

• sen(α)cos(β) / cos(α)cos(β)
• cos(α)sen(β)/cos(α)cos(β)

tg(α) + tg(β) = sen(α)sen(β) / cos(α)cos(β) = tg(α) + tg(β) / 1 - tg(α)tg(β)