Fondamenti di analisi matematica 1

TEORIA DEGLI INSIEMI

A, B insiemi -> lettera maiuscolaa appartiene ad Aa non appartiene ad AA ⊂ B un sottoinsieme di B, ogni elemento di A è anche un elemento di BA ∪ B A unito B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli di A o di BA ∩ B A intersecato B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli comuni ad A e BInsieme vuoto ossia non contiene nessun elementoPer definizione ⊂ A, quindi ⊆ sia A

ESEMPIO

A = {a, b, 1, 3}B = {b, 2, 3}C = {b, 1} = {}

Abbiamo: C ⊂ AA ∪ B = {a, b, 1, 2, 3}A ∩ B = {b, 3}A ∩ = A ∩ B = {b, 3}

Vedere l'insieme è specificato dando una legge che caratterizza tutti e soli i suoi elementi

ESEMPIO

V = {x | x è una vocale dell'alfabeto italiano} = {a, e, i, o, u}L = {l, m, n} tale che

NUMERI NATURALI

Sono 1, 2, 3, 4, ... [Lo 0 non appartiene]

1. a ∈ N è un fattore o divisore di b ∈ N se e solo se il resto della divisione intera di b con a è nullo

ESEMPIO

4 è un divisore di 12 -> 12:4 = 3 con resto 04 non è un divisore di 14 -> 14:4 = 3 con resto 2

2. Un numero naturale si dice numero primo se e solo se ha come unici divisori i numeri 1 e sé stesso

Alcune proprietà dei numeri primi:

Teorema

Esistono infiniti numeri primi

Teorema

Ogni numero naturale ha un’unica scomposizione in fattori primi eventualmente ripetuti

ESEMPIO

12 = 2² ⋅ 324 = 2³ ⋅ 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

TEORIA DEGLI INSIEMI

• A, B insiemi - lettera maiuscola
• a appartiene ad A
• a non appartiene ad A
• A ⊆ B A è un sottoinsieme di B, ogni elemento di A è anche un elemento di B
• A ∪ B A unito B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli di A e di B
• A ∩ B A intersecato B, insieme cui elementi sono tutti e soli quelli comuni ad A e B
• Insieme vuoto ossia non contiene nessun elemento
• Per definizione DCA, quindi se A

ESEMPIO

A = {a, b, 1, 3} B = {b, 2, 3} C = {b, 1} D = {}

Abbiamo: C ⊆ A A ∪ B = {a, b, 1, 2, 3} A ∩ B = {b, 3} A ∩ D = ∅ A ∩ B = {b, 3}

Vedere l'insieme è specificato dando una legge che caratterizza tutti e soli i suoi elementi

ESEMPIO

V = {X | X è una vocale dell'alfabeto italiano} = {a, e, i, o, u}

L = {l: l è tale che

NUMERI NATURALI

Sono 1, 2, 3, 4, ... [Lo 0 non appartiene]

1. a ∈ N è un fattore o divisore di b ∈ N se e solo se il resto della divisione intera di b con a è nullo

ESEMPIO

4 è un divisore di 12 -> 12: 4 = 3 con resto 0 4 non è un divisore di 14 -> 14: 4 = 3 con resto 2

2. Un numero naturale si dice numero primo se e solo se ha come unici divisori 1 e sé stesso

Alcune proprietà dei numeri primi:

Teorema: Esistono infiniti numeri primi

Teorema: Ogni numero naturale ha un'unica scomposizione in fattori primi eventualmente ripetuti

ESEMPIO

12 = 2² · 3 -> Fattori primi 20 = 2² · 5 18 = 2 · 3² 30 = 2 · 3 · 5

Proposizione:

Vale il seguente limite fondamentale:

\(\lim_{{x \to 0^+}} x^\alpha |\ln(x)|^b = 0 \quad \forall \alpha > 0, \beta \in \mathbb{R}\)

Dim:

Poniamo \(\frac{1}{x} \to +\infty\) per cui il limite diventa

\(\lim_{{x \to 0^+}} x^\alpha |\ln(x)|^b = \lim_{{t \to +\infty}} (\frac{1}{t})^\alpha |\ln(\frac{1}{t})|^b\)

\(\lim_{{t \to +\infty}} \frac{1}{t^\alpha} (\ln(\frac{1}{t}))^b = \lim_{{t \to +\infty}} \frac{\ln(t)^b}{t^\alpha} = 0\)

Esercizio

\(\lim_{{x \to 0^+}} (1+x)^{\frac{1}{x^2}} = \lim_{{x \to 0^+}} e^{\frac{1}{x^2} \ln(1+x)} = +\infty\)

\(\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\ln(1+x)}{x^2} = +\infty\)

Esercizio

Siano \(a>0, b>0, c>0\) Calcolare

\(\lim_{{x \to 0^+}} (a^x + b^x + c^x) = \lim_{{x \to 0^+}} e^{\frac{1}{x} \ln(a^x + b^x + c^x)}\)

\(\lim_{{x \to 0^+}} \frac{1}{x} \ln(\frac{a^x + b^x + c^x}{3}) = \lim_{{x \to 0^+}} e^{(\ln(\frac{a^x + b^x + c^x}{3}))^{\frac{1}{x}}}\)

\(\lim_{{x \to 0^+}} e^{\ln(abc)^{\frac{1}{3}}} = (abc)^{\frac{1}{3}}\)

Esercizio

Calcolare al variare di \(\rho>0\) il limite

\(\lim_{{x \to 0^+}} \ln((x^{\frac{1}{2}} + 25^x + 10^x)^{\frac{1}{x}})\)

\(\lim_{{x \to 0^+}} \ln((x^{\frac{1}{2}} + 25^x + 10^x)^{\frac{1}{x}}) = \lim_{{x \to 0^+}} e^{\frac{1}{\rho} \ln(x^{\frac{1}{2}} + 25^x + 10^x)^\rho}\)

+∞        3/p > 1

= ¹⁄₃         3/p = 1

-∞        3/p < 1

_{Allora la risoluta}

lim e