Tesina Personale da portare all'esame

P

O= ∗ QR S 1 LR S 1 T

N

L’abbassamento del vertice (ϑ=0°) risulta: ∗

P

= 1,693 0,693L ∗

O U N

Questo è l’abbassamento relativo al caso di regime di membrana, al quale vanno aggiunti gli abbassamenti

provocati dalle condizioni di vincolo. 7

Per quanto riguarda la rotazione φ, data da φ=φ’-φ’’, si possono valutare separatamente gli effetti dovuti alle

=0, si

deformazioni dei meridiani e dei paralleli. Per effetto delle deformazioni dei paralleli, cioè considerando ε 1

ha la rotazione: 1 \M

[

Z = ∗

∗ \

Mentre per effetto della deformazione dei meridiani, con ε , si ha il contributo:

2

I

[[

Z = ]^

Le deformazioni ξ e φ dipendono soltanto dagli sforzi locali S e S .

2 1

Fatte tutte queste considerazioni teoriche sul caso studio di una cupola andiamo a vedere la soluzione analitica

del problema statico e del problema cinematico.

Soluzione Analitica del Problema Statico

E’ stato implementato un foglio Excel per andare a calcolare gli sforzi di membrana in relazione all’angolo della

calotta, con geometria e materiale della Cupola del Palazzetto dello Sport.

Siccome l’angolo ϑ con cui è stata progettata e ideata la cupola è minore rispetto all’angolo con cui è possibile

vedere il passaggio da compressione a trazione degli Sforzi lungo i paralleli, gli S , che avvengono intorno ai 52°,

2

allora si è immaginato che la cupola appoggiasse su dei carrelli posti a 90° così da poter vedere l’intero

comportamento di una membrana, tenendo in considerazione le ipotesi sulle caratteristiche geometriche e del

materiale.

Di seguito riporto l’andamento teorico degli sforzi per la cupola fino ai 26,12° di apertura ipotizzati nella realtà:

Andamento Sforzi di Membrana fino a 26,12°

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

0

-5

-10

-15 Sforzi lungo il Meridiano S1

-20 Sforzi lungo il Parallelo S2

-25

-30

[N/m] -35

-40

Sforzi -45

-50

-55

-60

-65

-70

-75

-80 Colatitudine ϑ [°]

8

Per apprezzare il comportamento nella sua totalità si riportano di seguito gli andamenti degli sforzi normalizzati

e non nel caso di cupola appoggiata su dei carrelli posti a 90°:

Andamento Sforzi di Membrana fino a 90°

140

120

100

80

60

40

[N/m] Cambio di Segno

20

0

Sforzi 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-20 S1

-40 S2

-60

-80

-100

-120

-140 Colatitudine ϑ [°]

Andamento degli Sforzi Normalizzati con il Peso

1.5

1.0

0.5

normalizzati S1/(R*γ*s)

S2/(R*γ*s)

0.0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Sforzi -0.5

-1.0

-1.5 Colatitudine ϑ [°]

Per una coerenza nella trattazione gli sforzi di meridiano saranno sempre in azzurro e gli sforzi di parallelo

saranno sempre in arancione. 9

Soluzione Analitica del Problema Cinematico

Per la soluzione analitica del problema cinematico si fa lo stesso ragionamento del problema statico, così da

vedere l’andamento delle componenti di spostamento η e ξ nella condizione di cupola con angolo all’imposta a

26,12° e nella condizione di cupola appoggiata a 90°.

Andamento Componenti di Spostamento fino a 26.12°

8.E-03

7.E-03

6.E-03

5.E-03

[m]

Spostamento 4.E-03 ξ [m]

3.E-03 η [m]

2.E-03

1.E-03

0.E+00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

-1.E-03 Colatitudine ϑ [°]

Andamento Componenti di Spostamento fino a 90°

8.E-03

7.E-03 ξ [m]

6.E-03 η [m]

5.E-03

[m] 4.E-03

Spostamenti 3.E-03

2.E-03

1.E-03

0.E+00 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

-1.E-03

-2.E-03 Colatitudine ϑ [°]

Questi sforzi e spostamenti si basano sulle ipotesi di membrana infinitamente estesa e di spessore molto sottile

in confronto al raggio. Infatti i vincoli di carrello o cerniera all’imposta, se non hanno l’asse verticale in direzione

tangente al meridiano, modificano questo andamento degli sforzi, ma analiticamente non si può definire questa

differenza, tramite una modellazione agli elementi finiti possiamo notare le differenze.

10

3. MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI

3.1 Modellazione in SAP 2000

Dopo aver studiato il problema da un punto di vista analitico si è passati quindi ad un’analisi al calcolatore tramite

la creazione di un modello agli elementi finiti per mezzo del software SAP2000®.

Si è valutata la risposta strutturale della costruzione con la geometria semplificata riportata precedentemente,

utilizzando dei modelli agli elementi finiti con SAP2000 effettuando le seguenti analisi:

1) Modello della cupola intera con angolo all’imposta di 90°, analizzata con elementi finiti senza il

shell

sostegno dei cavalletti. La struttura è stata vincolata in un modello come appoggiata con carrelli verticali

che coincidono in questa situazione ai carrelli tangenti perché appunto l’angolo è di 90°. Si è valutato il

.

solo peso proprio della struttura Dead

2) Modello della cupola intera con angolo all’imposta di 26.12°, analizzata con elementi finiti senza il

shell

sostegno dei cavalletti. La struttura è stata vincolata come appoggiata con carrelli tangenti e cerniere

tangenti. La mesh della copertura è stata amplificata nella zona in prossimità degli appoggi per cogliere

.

meglio lo sviluppo della flessione dell’elemento. Si è valutato il solo peso proprio della struttura Dead

3) Modello di un quarto di cupola, analizzata con elementi finiti senza il sostegno dei cavalletti.

shell

Utilizzando i due sistemi di vincolo sopra riportati (carrelli verticali e tangenti ai meridiani della cupola),

si è sfruttata la doppia simmetria della costruzione. Si è valutato il solo peso proprio della struttura .

Dead

4) Modello della cupola intera con cavalletti di sostegno, analizzata con elementi finiti per la cupola

shell

ed elementi finiti per i cavalletti. La geometria di questi ultimi elementi è stata considerata

frame

inizialmente omogenea per ogni frame del cavalletto, successivamente è stato considerato l’effetto della

rastremazione, considerando una variazione di sezione lineare lungo l’altezza. Si è valutato anche qua

solo il peso proprio della struttura Dead.

5) Modello della cupola intera con ondulature e cavalletti di sostegno, analizzata con elementi finiti shell

per la cupola ed elementi finiti per i cavalletti. La geometria di questi ultimi elementi è stata

frame

considerata come riportato nel modello precedente, considerando in un caso l’omogeneità della sezione

e nell’altro una variazione di sezione lineare lungo l’altezza. Le ondulature sono state modellate come

elementi finiti triangolari a differenza del resto della cupola, studiata con elementi finiti

shell shell

quadrilateri. Si è valutato solo il peso proprio della struttura .

Dead

11

Modello della cupola intera con angolo all’imposta di 90°

Per modellare il guscio su SAP2000® è stato necessario andare a definire un sistema a griglia in coordinate

cilindriche. Per raggiungere la soluzione esatta e poterla confrontare con quella trovata in maniera analitica si è

arrivati a definire una mesh della cupola precisa.

Infatti, si è creata una griglia iniziale in coordinate cilindriche definita: numero di divisioni angolari pari a 36 come

il numero di appoggi alla base (Meridiani); numero di divisioni lungo l’asse Z pari a 68, all’incirca uno ogni metro

rispetto al Raggio R pari a 68,54 metri (Paralleli).

Successivamente si è imposta l’area e il materiale con cui definire, all’interno del programma, la superficie della

calotta sferica: 12

La sezione è stata definita come in quanto il rapporto luce-spessore della membrana risulta essere

“Shell - Thin”

molto elevato; questa scelta è stata effettuata in modo tale che il modello di calcolo sia coerente con le assunzioni

effettuate durante la ricerca della soluzione in forma chiusa del problema di guscio. Lo spessore assegnato alla

sezione tiene conto delle nervature presenti all’intradosso della calotta. La cupola senza nervature avrebbe uno

spessore di 5 cm; andando invece a considera quante nervature sono presenti in una striscia di cupola e la

dimensione di esse, tramite aree equivalenti si è determinato lo spessore coerente con questa assunzione, che

quindi potesse tenere conto della presenza di esse.

Successivamente si è passati alla definizione del materiale. È stato ipotizzato un calcestruzzo imponendo le

3

, Modulo di Young pari a 31GPa e

caratteristiche considerate nel capitolo precedente, ossia densità di 25 kN/m

Coefficiente di Poisson pari a 0.2. Definita la sezione della membrana è stato possibile modellare la calotta

sferica. Non sono stati definiti Load Pattern specifici perché per lo studio del caso in esame è sufficiente il peso

proprio della cupola, incluso già nel Load Case DEAD.

Ai vincoli alla base della cupola sono stati assegnati degli assi locali specifici per poter assegnare i vincoli adatti e

coerenti con il modello ipotizzato. Tramite questa impostazione si ha

l’asse 1 (asse rosso) ortogonale al

meridiano nel piano 1-2; l’asse 2

(asse verde) tangente all’ultima

circonferenza nel piano 1-2; l’asse

3 (asse celeste) ortogonale al

piano 1-2 e coerente in questo

modello all’asse z, ma più

generalmente sarà in direzione

tangente al meridinao.

-Settore del Piano 1-2: -Settore del Piano 1-3:

13

Grazie a questo accorgimento che viene fatto per ogni modello preso in esame in questa trattazione, avremo i

carrelli posizionati correttamente con spostamenti e sforzi di membrana coerenti con la soluzione analitica.

Di seguito si riportano i risultati ottenuti per il modello di cupola con carrelli posti a 90°: °

Andamento Sforzi Analitici e del Modello di Cupola con Carrelli a 90

140

130

120 S1 Modello Numerico

110

100

90 S2 Modello Numerico

80

70

60 S1 Analitico

50

40 S2 Analitico

30

[N/m] 20

10

0

Sforzi -10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

-20

-30

-40

-50

-60

-70

-80

-90

-100

-110

-120

-130

-140 Colatitudine ϑ [°]

Discostamento dalla Soluzione Analitica

Colatitudine ϑ [°]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

90%

esattezza 95%

100%

di