Soluzioni prove esame Analisi matematica 2

R R

2

✓ !

X f (x, y) : X

si diano:

le definizioni di punto di massimo e di minimo relativo;

(i) le condizioni necessarie del primo e del secondo ordine per i punti di massimo

(ii)

e di minimo relativo, nel caso in cui 2

2

f C (A).

2

fermat

1) il

teorema

il uguale

I di gradiente

porgo

applico o

a

, y

1 2

ex =

=

f &

&

y2 y(y2x xyz 02(x

y(2x (x

y(x

2)

( 2)

yz

2yx 2)(2 y)

y) 2)

+ 2y

24 2yx 0

=

+ xy

y 0

- 0

+ =

+

= - =

-

= -

- - -

- - -

-

,

f(x xzy

xz -

x2

y) - 2xy

2xy +

2x

+ y 2x

x 0

=

= - -

-

-

, x(x 2)

& 2y yx

+ 0

a =

-

-

X 2

= x(1 y)

y) 2(z

E 0

=

- - -

y 2

= y)(x

(2 2) 0

- - =

+x

=

↳ 1 2

=

/calculo

2) format la

il Il di Matrice

aprico hessiana

Teo fyx fyy

fxy

f x2

y2 2y 2x

2yx

2y

2y +

+ 2x

2x 2

2xy 2 =

= = - -

= - -

-

-

xx (

( (2y 2)

xz) 2)(2x

(2x

y2)(2x

y2 DET

24 H(x

2x 2y

2y y) 2yx 2xy

2xy 2 2y

+ +

=

+

- - -

- -

-

- -

- -

,

y)

H(X :

, xY

22X

2x 2yx

2y

+ -

-

-

Punto 0)

(0

a , è

0)

DET di

40 punto

0) sella

H(0 A(0 un

= - ,

,

Punto (2 0)

B , G 2 2 ( x

=

- B(2 0)

(2 (2x 2)

2)

0) punta

XX xy di

è

2x sella

DETH 40 un

2 2

+ =

-

= -

-

- - -

, ,

Punto 2)

(10

, 4- 2 2)

((0

2)

H(0 e

2)

2)(2x

((x XX di

punto

DET sella

(xy un

>

2y

2 ,

2y

+

= +

- - -

-

-

, = -

(2 1)

Punto p , 230fxx(22)

(2y xz) 2)

2)(2x

(2x

y2)(2x

2) Rel

(2 10D(2 1) é

2y

2yx 2xy

2y

+ 2

+

DET 2

2

- 0 di min

H -

- p

- =

-

- - =

=

=

. -

=

, , .

2

2 2

-

2

2- -

1

2 -

Punto (2 2)

E , 5

(2x 8 2

2

- - 2)

x2) 2)(2x

(2x

2) e

E(2 2)

(2 sello

nunto di

2yx 2xy >

DET 2y

+ +

H = un

- - -

-

-

- -

, ,

PARTE 2 [punti 8]

Quesito teorico 2 Data una forma differenziale lineare (FDL)

! := a(x, y)dx + b(x, y)dy,

i cui coefficienti e sono funzioni definite su un aperto semplicemente

a(x, y) b(x, y)

connesso di si dia la caratterizzazione delle FDL di classe esatte in

R 2 1

A , C (A)

A. 5

Esercizio 2 Data la forma differenziale lineare (FDL)

2 2

! := (3x + y )dx + 2xy dy,

studiare se è esatta in e determinare l’insieme delle primitive di in

R 2 2

! , ! R

nel caso fosse esatta.

! 6

PARTE 3 [punti 8]

Quesito teorico 3 Dati con considerata l’equazione differen-

R

2 6

a, b, c a = 0,

ziale ordinaria 00 0

ay + by + cy = 0,

determinare l’integrale generale nel caso particolare in cui l’equazione caratteristica

ha discriminante nullo. Infine, si verifichi che ciascuna funzione appartenente

all’integrale generale è soluzione dell’equazione differenziale assegnata.

8

Sara

scrive

1) Risolvo Risolvo

l'equazione differenziale l'omogenea

l'eq

y" 0x

14y1 caratteristica

y

99y scrivo

+

+ >

= = .

* -X = X

196 4

14

14x 49 x2

49 - 1

.

+ -

+ 7

0 - =

= =

= =

2 = i

-

, 2

Scrivo l'integrale generale

· Ge " (xe**,

Y(x) X-IR

+

=

2) y(0) 2

= C

e

(2

Ce

↑ (0) 2

0

+ =

= . =

.

3) y'() o ((2e x)

x 7(e * .

x(e x

y'(x) 0

=

+ -

= - 70(22"

Ge (20 22 7(y

+ 0

- 0

=

= = -

-

4) Pongo Soluzioni

sistema le 2

a

E E

22 C

1 1

= =

(2

C-7Ce 7

0 =

=

5) soluzione del problema Caucky

di -

* 7x)e

Y(x) (2

+ 7xe

e +

+ =

= s]-IRV)

([a xn(t))

(X

f(x)

2

Six ((t)t e (a b)

+

(t)

cor := ,

,

, ,

, ..,

.

PARTE 4 [punti 8]

Quesito teorico 4 Dare la nozione di lunghezza di una curva parametrica,

fornendone anche la formula per il suo calcolo. Xn(t)

(27) Vel

IST

(a ((z)

6) IaR"

intervallo (x

Definita

e curva (t)

sia da

:

un una = ,

, , ...,

RY)

(1((a b)

f(t) = ;

ese , 11 l'III

cura

langhezza

DEFINISCE

si ot

una

di 11

Seconda PROVA IN ITINERE

del corso di

ANALISI MATEMATICA 2

Laurea Magistrale a ciclo unico

Ingegneria EDILE–ARCHITETTURA

Sapienza Università di Roma

15 Febbraio 2024 ore 8:30, aula 24, Facoltà ICI, via Eudossiana 18, Roma

Prof. Giuseppe Floridia

Durata: 150 minuti

Cognome e Nome Matricola

PARTE 1 [punti 12]

Quesito teorico 1 Dato un aperto e una funzione con

R R

2

✓ !

A f (x, y) : A

risolvere i seguenti quesiti:

2

2

f C (A)

dare la definizione di matrice hessiana;

(i) descrivere l’algoritmo per la classificazione dei punti critici o stazionari me-

(ii)

diante lo studio della matrice hessiana. 2

Esercizio 1 Data la funzione 2 2 2

f (x, y) = x 4xy + y ,

risolvere i seguenti punti:

classificare i punti critici o stazionari di nel piano;

(i) f

dopo aver rappresentato l’insieme R 2

{(x, 2    

(ii) T := y) : 0 x 1, 0 y 2},

determinare i punti di massimo e di minimo assoluto di su .

f T

3

4

PARTE 2 [punti 13]

Quesito teorico 2 Data una forma differenziale lineare (FDL)

! := a(x, y)dx + b(x, y)dy,

i cui coefficienti e sono funzioni definite su un aperto di si

R 2

a(x, y) b(x, y) A ,

diano le seguenti definizioni:

esatta;

(i) ! chiusa;

(ii) ! aperto semplicemente connesso.

R 2

✓

(iii) A

Inoltre, dimostrare che se è una FDL esatta in A di classe allora è chiusa.

1

! C

Sotto quali condizioni vale il viceversa del precedente teorema?

5

Esercizio 2 Risolvere i seguenti punti.

Studiare la forma differenziale lineare

(i) 2

! := 2x 4y dx + (2y 8xy) dy

e dire se è esatta in In caso affermativo determinare una primitiva di

R 2 . !.

Calcolare il seguente integrale doppio

(ii) ZZ 2x dx dy,

2

1+ y

C

dove R 2

{(x, 2    

C =: y) : 0 x 2, 0 y 1}.

6

7

PARTE 3 [punti 11]

Quesito teorico 3 Dati considerata l’equazione differenziale ordi-

R,

2

a , a

1 2

naria 00 0

y + a y + a y = 0,

1 2

dopo averne definito l’equazione caratteristica, esporre l’algoritmo per determinare

l’integrale generale dell’EDO lineare del secondo ordine in forma omogenea e a

coefficienti costanti assegnata. 8

Esercizio 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy

8 00 0

y + y + y =0

< y(0) = 0

p

: 3

0

y (0) = .

2

Inoltre, dopo aver trovato una soluzione particolare dell’EDO

00 0

y + y + y = 2x + 1,

determinare il suo integrale generale. 9

10

PROVA SCRITTA

del corso di

ANALISI MATEMATICA 2

Laurea Magistrale a ciclo unico

Ingegneria EDILE–ARCHITETTURA

Sapienza Università di Roma

26 Giugno 2024 ore 9:00, aula 29, Facoltà ICI, via Eudossiana 18, Roma

Prof. Giuseppe Floridia

Durata: 3 ore

Cognome e Nome Matricola

PARTE 1 [punti 10]

Quesito teorico 1 Dati un insieme compatto e una funzione

R 2

✓

K

continua su risolvere i seguenti quesiti:

R

!

f (x, y) : K K,

enunciare il teorema di Weierstrass;

(i) descrivere l’algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluto

(ii)

su della funzione .

K f 2

Esercizio 1 Data la funzione 2

f (x, y) = 3x y xy + 1

classificare i punti critici o stazionari di nel piano;

(i) f

determinare i punti di massimo e di minimo assoluto di sull’insieme

(ii) f

2

R

{(x, 2 2 2

R := y) : x [0, 1], y [0, 2]},

dopo aver rappresentato R. 3

4

PARTE 2 [punti 9]

Quesito teorico 2 Enunciare la formula per il passaggio a coordinate polari negli

integrali doppi. 5

Esercizio 2 Rappresentare nel piano cartesiano l’insieme

2 2 2

R

{(x, 2  

C := y) : 1 x + y 16, y 0}

e calcolare il seguente integrale doppio

ZZ x + y dx dy.

2 2

x + y

C 6

7

PARTE 3 [punti 9]

Quesito teorico 3 Dati con considerata l’equazione differen-

R

2 6

a, b, c a = 0,

ziale ordinaria (EDO) del secondo ordine

00 0

ay + by + cy = 0,

esporre l’algoritmo per determinare l’integrale generale dell’EDO lineare del se-

condo ordine a coefficienti costanti in forma omogenea assegnata.

8

Esercizio 3 Risolvere il seguente problema di Cauchy

8 00 0

y 2y 35y = 0

< y(0) = 0

: 0

y (0) = 3 .

9

10

PARTE 4 [punti 9]

Quesito teorico 4 Enunciare il teorema di Schwarz.

11

Esercizio 4 Sia definita da

R R

2 !

g(x, y) : 8 4

x y

>

>

< 6

se (x, y) = (0, 0)

2 2

x + y

g(x, y) = >

>

: 0 se (x, y) = (0, 0) ,

risolvere i seguenti punti:

studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità della funzione

(i) g(x, y)

nell’origine;

esaminare la differenziabilità della funzione in un generico punto 2

(ii) g (x , y )

0 0

con

R 2 6

(x , y ) = (0, 0).

0 0 12

13

PROVA SCRITTA

del corso di

ISTITUZIONI DI MATEMATICA 2

Canale 1

ARCHITETTURA

(Classe LM-4)

Sapienza Università di Roma

Prof. Giuseppe Floridia

22 Gennaio 2024 ore 14:00, Facoltà di Architettura, aula V3, via Gramsci 53, Roma

Prof. Giuseppe Floridia

Durata: 3 ore

Cognome e Nome Matricola

PARTE 1 [punti 9]

Quesito teorico 1 Dopo aver dato le definizioni di massimo e di minimo asso-

luto, enunciare il teorema di Weierstrass per le funzioni reali di 2 variabili reali.

2

Esercizio 1 Data la funzione 2 2 2

f (x, y) = x xy + y + 3 ,

dopo aver rappresentato l’insieme 2