Esercitazioni con soluzioni per esame di Analisi 2

Prima esercitazione

Caratteristiche topologiche del dominio della funzione

1) Studiare le caratteristiche topologiche del dominio della funzione 2(−) 2 2 ln + − 25 , = + 41 +

Quale dei seguenti insiemi è aperto

2) Stabilire quale dei seguenti insiemi è aperto :

• a) 2 = , ∈ : ≠ 5
• b) 2 2 = , ∈ : −1 ≤ ≤ + 1
• c) 2 2 = , ∈ : −1 < < + 1

Soluzioni

1) Le condizioni di esistenza della funzione sono ≠ 0

• a. In quanto denominatore del primo addendo 2 2 + − 25 > 0
• b. Per l’esistenza del logaritmo 41 + ≥ 0
• c. Per l’esistenza della radice

Osserviamo che la prima condizione esclude l’asse delle ordinate, la seconda definisce il piano reale ad esclusione del cerchio di centro l’origine e raggio 5, e la terza condizione è sempre verificata.

Graficamente, dove le linee tratteggiate indicano l'esclusione dal dominio. In sostanza, l'insieme è costituito da tutto il piano reale ad eccezione del cerchio indicato (escludiamo anche la circonferenza) e dell’asse. Quindi l'insieme è:

• Aperto, poiché la frontiera dell’insieme è completamente contenuta nel suo complementare
• Illimitato, poiché evidentemente non esiste alcun intorno sferico che lo contiene
• Non connesso per poligonali, poiché non esiste alcuna poligonale che connette i punti con ascissa positiva con i punti con ascissa negativa.

2) a) L’insieme non è né aperto né chiuso, in quanto la frontiera è in parte contenuta nell’insieme e in parte no = 5

b) L’insieme è aperto, poiché, ad esempio, complementare di un chiuso (la retta)

c) Chiuso, per le ragioni già citate

d) Aperto

Seconda esercitazione

Calcolare il gradiente della funzione

1) Calcolare il gradiente della funzione 2 , = − cos( + 1) −

Studiare massimi e minimi relativi della funzione

2) Studiare massimi e minimi relativi della funzione 3 2 2 , = − − 33

Calcolare massimi e minimi della funzione vincolata

3) Calcolare massimi e minimi della funzione 3 3 2 2 , = + − − + − Vincolata alla retta di equazione = −

Soluzioni

1) La funzione è ovviamente differenziabile. Il gradiente è dato da 2 ∇ , = 2 + sin + 1 − , − ∞

2) La funzione è su tutto il piano reale. Per prima cosa calcoliamo il gradiente...