Soluzione d’esame – Fondamenti di segnali e trasmissione (06/06/2024)

PARTE

Esercizio 1

I H(f) H1(f)

sostituiti sistema H2(f)

parallelo

sistemi

due da

possono essere

in con +

=

un

he(t) (4Bt) (40t)

4B 10 simc

simc =

=

h2(t) (2et)

(2Bt) (2itfot) (25

2B 30t)

20

simc = 20s

simc

cos

= · -

.

He(fl (f(40) (e(f)1

IH(f)l 1Hz (f))

rect +

=

= =>

(f

+

3)

(

Hz(f) H(f)

+rect 0

rect

= =

(t) (24 (24

1) (24-45t)

30t)

* 400s

2 2 cos

+

cos +

= ·

·

↓

1H(1))

y(H (30)/cos(60πt)

p(

2cs(2nt) (H(45)/cs(90πt)

+

+

= 2

+

· 22s(60πTH

2 cs(2πt)

y(t) +

= 22

Py 22 4

= + =

2

Il ha

H(f) HCf)

derivatore

attraverso

w(t) da

derivatore

il => cascata di

passa prima una

poi

rumore e :

Hot(f) 2 jif H(f)

= · 2.

(f)l 12

No

(f)r (H

2 f2

(f) 1 Ho

(f)

Sun Sww 4

+ +

=

= .

.

S% (f)

Pr

quindi Sun of

e =

Considerando Hw(f)" H

che

però è diversi

le

diversi

che valori

funzione di

intervalli

pari ,

in ampiezze

una assumono

e

possiamo scomporre : 2 (ENdf + =S

2 Off

Pm df

. fidf

4212 2 +

= =

·

1210-4 6-104 te

90

57

17 =

= · ,

,

By

Esercizio 2

fc 5

103

SNRz

Hz 350B .

44100 = >

= -

D 1 15 SNRz 5

102

25dB

1 = ,

= - , fet)

(24

se(t) pos

=

52(t) 1

0 ) 2

com ( Js

=

= =

Fattore scala

di

a) : e' al

selt)

di 4

max

ampiezza di S2(t) 4

assumendo 2

ampiezza 8

come Po = =

max .

, ,

S2(t))

(S1(t)

nex 8

4

+ +

= 12

= =

1/12

A

= =

3) PSz 442 0

=

= PSz

Ps1

) 12

+

= =

PSz = 4

= 5

10-3 103

Psh

Pre 2 53

8 , 00253

= =

0

= .

= . , ,

SNR1 5 26-102

Psz 2

Prz 1

,

4 10 - 0126

0

.

=

= =

.

= ,

SNR2 SNRidi

SNRi Ps1 PS2 99dB

793 28

09

12 =

= ovvero

+ =

= ,

,

01513

0

.

Pre Prz

+ SNRidB-2

SNRmaB

c) dB dB

26 99

=

= ,

SNRM 10769 78

489

=

= , D2

A2 (Pse

SNRm PS2 Psz Pez

Psz) =

com

+

= +

= (Pre

2 ?

Prz) Pc/A 2B

12

(Pr1 Pe

Pr2)

A + +

+ + .

23

12 5122 =)

489 6

B

78 =

= 2

=> =

, .

2-28

40

01513 +

0

. .

9) totali

bit fc bit

106

B 44100 6 30

= 21

8

2

30 =

= . .

· .

. , ,

Esercizio 3 W

[MT

a) 4

Xz 0

= . 59

-me-jet

e-cr

Xk In] 4

= =

X 0 .

o .

s Se

N s e

_ 1 inte

essendo : 124

%4 k 0

60 Se =

1 e

.

Xk Xk

ha allora =

si = =

, K+

P

b) In]

Xz 41

0

= , e

59 2)

(0

Xk .

44. 4

0 u

= m ,

.

· e-jink

2-82k/60)60 400

460

1-10 Xk 1 1-0

limitata

geometrica

serie 0

= =

4

converge ,

a -

: =

.

. ,

, 42-jink/60

22nk/60 e-jank160 1-0

1 4

0

1 4

0 -

- .

.

,

.

. )

Lei i

XIMT cos (1)

(3Hu/10)

2) +

40s 4

0 0

= 04 e

+

= =

-

, . .

2

( 2- e-

j

-

[k +u

2

= = M 0 0

.

. ,

= Il

Il N rN

N N sek-a

k e

+ =

se =

K sek-9

60 a 60

+ 60

se 0

=

=

K k

60

51 9

60 = se

se =

51

k

20 9

12 se

60 =

2 = ,

-

,

Xk = altrimenti

SIM

a) XInT 4

0

= , *

46In]e UK

2

In 4 4

0 0

= 0 =

= .

. .

,

TEORICA

PARTE

Quesiti

Definire spettrale

densità

la potenza aleatorio stazionario

di lato

di

1 in

processo .

senso

un

. definito

la Sxx(f)

densità trasformata

XIH)

lato è

stazionario

potenza aleatorio

di in

spettrale di senso come

processo

un -if d

=

)

( Sxx(f)

funzione Rxx )

Rxx(

della

Fourier

di autocorrelazione

di + +

+ :

dove : Rxx( ) differenza stazionarietà

E[x(t) x(t dalla

1) solo

funzione auto

la

è dipende

correlazione in

di

+ senso

+ per

+

,

+

=

· lato

SXX(f) Sxx(-f)

è Sxx(f)

funzione reale pari

e

· una =

:

L'area SxX(f)

sotto la media

potenza del

rappresenta processo

.

· formula

la

Scrivere funzione

(x)

ricostruito

interpolazione cardinale XIMT

seguale

che dei

di il

2 campioni

in

esprime

. formule

la interpolazione XIA

cardinale

di permette di seguale x Int

ricostruire dai

continuo suoi campioni

partire

un a se

,

limitato

è banda.

seguale

il im

+L =

(tMT) (n T)

(t) (H

* * XIm]

2X[m] +

informa equivalente Sinc

sinc

= oppure -

· ·

,

m

dove : XIM] istanti

sequale tinT

del

i acquisiti

campioni

sono a

· T il

l' di

periodo campionamento

· funzione

sim(X) è la

sinc(x) normalizzata

sinc

· = #X

X(t) il ricostruito

e seguale

· FONDAMENTALE

CONDIZIONE :

formula

la

Affinché valida banda

originale limitata

x(H)

il seguale B

banda

deve essere

sia a con

,

la formula

Scrivere mobile

filtro

sistema media

impulsiva discreto

di implementa

che

3

. .

un a

un

Un finito

filtro mobile , di

la del

consecutivi

media aritmetica

calcola di

istante seguale

media campioni

a n

oqui

per un numero

, finestra

questa

direttamente

di

La di

legata

questo

risposta è media

impulsiva sistema discreto

in ingresso a .

.

ESEMPIO M

LUNGHEZZA

FILTRO Mobile

media

A di

: 1

M -

forma

filtro

Il la YIMT xInk

più

media mobile ha

semplice 1

a : =

IMPULSIVA

RISPOSTA

Per definizione l'uscita

hIMI

impulsiva attenuta impulso

è unitario

la porendo

sistema l'ingresso

di

risposta un

, un e s

18

se

SIn] hInT

Nel del filtro mobile

media

caso a : =

. complessità

la di

Scrivere computazionale calcolo di di

il FFT

di

DFT periodica

seguenza

4 una

. una

per una

e

.

N

periodo

DFT 1

N - /

la definita

DFT è

XIMJ da

di XIK] XInT K

N-1 N

con 1

0

,

una =

sequenza =

no : -

- .

. .,

,

...,

, ,

, 0

u =

Per N O(N))

K

valore complessità

di moltiplicazioni

ci sono somme

ogni :

=

e

,

FFT

L'algoritmo efficiente il

metodo drasticamente

FFT riducendo

DFT

calcolare

è la operazioni

di

un numero

per ,

sfruttando simmetrie ricorsione

e .

0(NlogzN)

Complessità : codificatore

dal

svolto digitale

sorgente

il di

Spiegare ruolo trasmissione

sistema

5 di

in .

un

. Il codificatore il

ha

di compito

digitale

sorgente trasmissione di

sistema di

in :

un

la ridondanza dalla sorgente

ridurre perdita

dati informazione

di

presente perdita

generati

nei ,

senza oppure con una

controllata accettabile

e per :

,

ridurre bit alla

il trasmissione

necessari

di

numero

· ,

ottimizzare disponibile

banda

la ,

. del

migliorare l'efficienza sistema .

·

DIMOSTRAZIONI trasformata

della

dimostrare teorema

Enunciare discreta

convoluzione di

il Fourier

di di

1 sequenza .

e una

. ENUNCIATO hIn] infinito

XIn]

Siano rispettivamente

seguali discreti Fourier

tempo

due trasformate di

con

a

e :

,

+ X + D

X(e[w) HeEW)

XIMJe-JWn hInJe-jwe

= =

,

u- M x

= - =

Allora XIkThImkT

convoluzione YInT XFmJxhInT

tra

la xIm] hInT =

e :

ha H(etw)

X (etW)

Y(et)

trasformata di Fourierparia =

: .

DIMOSTRAZIONE

:

Poniamo In

Y(eiw) imm

) e

= XIn]

= su)

Y(etw)

Inverto delle

l'ordine In -k]e

-

somme :

di variabile

cambio n-k

poniamo K

m = => +

: m

n =

XIKTeiWk(NEmJewm)

- (T

(XIKJeiwk)

XIKJLhEmJe-ENCmtk) T

Y

(eiw) hImTe

= = .

Y(ein) H(etW)

(eow)

X

=> = ·

Quindi trasformate

trasformata e

della seguali.

il delle

la convoluzione del prodotto

Fourier nel dominio tempo

di Fourier due

desi

di

X(eOW) HerW)

Es

[m] xhImT

X .