Relazioni complete delle esercitazioni di Idrologia

S

Esercizio 3

Calcolare la spinta dell’acqua sulla paratoia cilindrica di raggio r = 0,5 m e larga L = 4 m.

DATI 3

ϒ 9.81 [kN/m ]

r 0.5 [m]

L 4 [m]

h 1 [m]

Per il calcolo della spinta su una superficie curva assumiamo come riferimento una terna cartesiana x y z e

proiettiamo la spinta elementare dS nelle tre direzioni:

= = =

Facendo la sommatoria di tutte le componenti estesa all’intera superficie curva possiamo notare che: S e S

x Y

corrispondono alle spinte agenti sulle superfici verticali A e A mentre la componente S è uguale al volume

X Y Z

W di fluido. Nel nostro caso dividiamo le due componenti verticale e orizzontale della spinta S sulla porzione

di superficie ABC. La proiezione di tale superficie su un piano parallelo all’asse corrisponde ad un rettangolo

1 2

= ℎ

di altezza h e lunghezza L la cui spinta orizzontale è applicata ad h/3 a partire dal fondo

2 =

(ovvero nel suo baricentro). La spinta verticale invece è pari al volume del semicilindro ABC: .

2

Ax=Ay [m ]

4.00

S [m]

19.62

0 3

[m ]

W 1.57

s emi-cilindro

S [kN]

15.41

z

Esercitazione 2: Foronomia

Esercizio 1

I due serbatoi rappresentati in figura sono collegati da due luci circolari a spigolo vivo L1 e L2, entrambe di

diametro D = 0.5 m, caratterizzate da un coefficiente di contrazione Cc = 0.61. Il serbatoio A è alimentato da

una portata entrante costante QE, mentre dal serbatoio B defluisce una portata costante QU. In entrambi i

serbatoi la superficie libera è a contatto con l’atmosfera e il suo livello rimane costante nel tempo.

• Si calcolino la portata entrante e quella uscente, ipotizzando che i serbatoi siano in condizioni stazionarie.

• Si ripeta il calcolo quando la superficie libera nel serbatoio B ha raggiunto il livello B’.

DATI

h 3 m

1

h 2 m

2

D 0.5 m

C 0.61 [-]

c

Riportiamo i dati considerando l’affondamento della luce dei due serbatoi a partire dal pelo libero.

Ci troviamo nel caso in cui abbiamo una luce a battente rigurgitata. Per ipotesi il livello dei serbatoi rimane

costante nel tempo, perciò, per la conservazione delle masse, il valore della portata in entrata deve essere

= = +

uguale a quella in uscita: . Sappiamo inoltre che le due luci hanno lo stesso diametro e

1 2 =

si trovano in condizione di vena completamente rigurgitata perciò . Una volta trovato il dislivello d

1 2

(ricavato dalla differenza tra i carichi idraulici) e il coefficiente di efflusso µ dato dal prodotto tra il

coefficiente di velocità c e il coefficiente di contrazione c , possiamo calcolare la portata effluente per le

v c

due luci a battente totalmente rigurgitate che sappiamo dipendere dal dislivello dei serbatoi:

= (dove per A intendiamo l’area della luce circolare).

√2 Ha = H 5 m

Carico idraulico 3

Q 0.52 [m /s]

H 1

4 m

B 3

Q 0.52 [m /s]

Dislivello d 1 m 2

C Q 1.04 [m3/s]

Coeff. Velocità 0.98 [-] e

v

Coeff. Efflusso µ 0.60

Nel caso in cui la superficie libera del serbatoio B ha raggiunto il livello B’ passiamo al caso di efflusso libero.

In questo caso la portata viene calcolata in funzione dell’affondamento delle luci rispetto al pelo libero

= ℎ e

( ) difatti le due portate risulteranno diverse:

√2 1 2 3

Q 0.90 [m /s]

1 3

Q 0.74 [m /s]

2 3

Q 1.64 [m /s]

e

Esercizio 2

La paratoia piana di figura ha lo scopo di regolare la portata defluente in un canale rettangolare posto a

valle di essa, avente larghezza B = 4m, uguale a quella della paratoia. Si consideri un coefficiente di

contrazione per la paratoia pari a CC= 0.65 e un carico a monte hm = 3m. Determinare l’apertura della

paratoia tale che la portata defluente nel canale sia Q = 5 m3/s. DATI

h 3 [m]

m

Q 5 [m3/s]

e

B 4 [m]

C 0.65 [-]

c

La portata effluente di una luce a battente con vena parzialmente contratta, lasciata la sezione a incognita,

= ( − )

è: . Se volessimo esplicitare la nostra incognita a ci troveremmo davanti ad

√2

un’equazione di terzo grado complicata da risolvere.

Possiamo invece utilizzare la funzione “ricerca obiettivo” ipotizzando un valore di primo tentativo di a. In

primo luogo, calcoliamo la portata effluente Q*(a) utilizzando il valore arbitrario di a che abbiamo scelto, in

seguito definiamo la funzione obiettivo come Q*(a)-Q dove Q è nota. Applichiamo infine la ricerca obiettivo

facendo variare a e portando la F.O. al valore di 0 trovando così il valore di a incognito:

a 0.26356 [m]

3

[m /s]

Q* (a) 5.0 3

[m /s]

F.O. 0.0

Esercizio 3

La vasca A è alimentata da un canale C di larghezza B = 1m ed è allo stesso tempo in comunicazione con la

vasca B attraverso una luce in parete sottile. La vasca B è a sua volta in comunicazione con l’atmosfera

attraverso un tubo addizionale. Sia la luce tra le vasche A-B che il tubo in uscita dalla vasca B hanno

diametro D = 0.25m. Il carico hm a monte dello stramazzo Bazin è, invece, pari a 0.25 m.

Assumendo che il regime di moto è permanente, che la velocità nelle vasche sia trascurabile e che il livello

nelle vasche resti costante, calcolare la portata effluente dallo stramazzo Bazin qC, il carico hB nella vasca B

e il dislivello fra i peli liberi hA e hB nelle vasche A e B. DATI

h 0.25 [m]

m

D 0.25 [m]

B 1 [m]

C 0.61 [-]

c

Il livello nelle vasche rimane costante per ipotesi, perciò, la portata effluente dallo stramazzo Bazin q ,

c

quella della luce a parete sottile q e quella effluente q saranno uguali.

a b 3

= √2 ℎ

In primo luogo, possiamo calcolare la portata Bazin secondo la legge (dove µ viene

2 s

ricavato sperimentalmente ed è pari a 2/3 µ). Come detto, tale portata sarà uguale per i tre serbatoi. 7

√2

= ℎ

Per la vasca B, dove abbiamo una luce del tubo addizionale, la portata sarà uguale a: 4

dove l’area è quella della sezione cilindrica del tubo. 2

4

ℎ =

Nota la portata, possiamo ricavare il carico .

2 2

2 7

Infine, dall’equazione della portata per una vena completamente rigurgitata riportata sopra, possiamo

2

=

calcolare il dislivello come: 2 2

2

Di seguito i risultati numerici:

C 0.98 [-] C 0.98 [-] C 0.98 [-]

v v v

µ 0.60 [-] µ 0.60 [-] µ 0.60 [-]

2

µ 0.40 [-] 2

A 0.05 [m ] A 0.05 [m ]

S 3

[m /s]

q 0.22 h 1.63 [m] d 2.86 [m]

B

A Esercitazione 3: Correnti a superficie libera

Esercizio 1:

Calcolare le portate di moto uniforme transitanti nel canale a sezione composita di figura per intervalli di

altezza della superficie libera variabili da un minimo di h1 = 0.1 m fino al completo riempimento della

sezione (hR = 2.5 m). Si supponga che la larghezza della sezione rettangolare del canale sia pari a b = 3 m e

la sua altezza sia a = 1.5 m. Le due golene hanno invece lunghezza identica Lg = 3m, pendenza trasversale

α = 45° . L’altezza totale della sezione, valutata a partire dal fondo, è hR = 2.5 m. La pendenza longitudinale

del canale è pari a i = 0.001. Per il calcolo della scabrezza si utilizzi la formula di Strickler-Manning, con un

valore del coefficiente di Strickler pari a ks = 65. DATI

b 3 [m]

a 1.5 [m]

Sezione rettangolare h 0.1 [m]

1

α 45 [°]

L 3 [m]

G

Sezione Trapezia m 1 [-]

B 9 [m]

min

h 2.5 [m]

R 1/3 -1

Sezione Composita k 65 m s

S

i 0.001 [-]

Per definizione, le correnti a superficie libera possiedono la parte superiore a contatto con un gas

(generalmente l’atmosfera). Quando queste si muovono di moto uniforme sono caratterizzate da: altezze e

velocità costanti nel tempo e nello spazio (h =cost, A =cost) per cui l’area bagnata della sezione è funzione

0 0

solo del tirante idrico h: A=A(h), la pendenza del pelo libero e della linea dei carichi totali parallela a quella

0

= = .

di fondo e, infine, il raggio idraulico R in funzione del solo tirante idrico per cui

0 0

0

= √

La legge del moto uniforme è governata dall’equazione di Chezy per la portata dove la

0

1

=

scabrezza χ viene calcolata con il coefficiente di strickler k secondo: .

6

s

Calcoliamo la portata per ogni incremento di 0.1 di altezza h della superficie libera a partire dal fondo della

sezione:

Finché h<a la scala di deflusso può essere considerata come una sezione rettangolare con area bagnata

= ℎ = ℎ + 2.

e contorno bagnato Quando invece h>a bisogna considerare anche la sezione

∗

ℎ 1

∗ ∗ √1

= ℎ ( + ) = + 2ℎ +

composita superiore assimilabile ad un trapezio con le formule e

2

*

dove h corrisponde alla differenza tra la h crescente e la h relativa alla fine della sezione rettangolare

(ovvero h=a=1.5). Raggio idraulico, scabrezza e portata si calcolano come riportato sopra.

È possibile definire una legge univoca che lega il tirante idrico alla portata Q=Q(h) chiamata scala di

deflusso. h A C R Q

χ

B B B

2 1/3 -1 3

[m] [m] [m]

[m ] [m s ] [m /s]

0.1 0.3 3.20 0.09 43.81 0.13

0.2 0.6 3.40 0.18 48.68 0.39

0.3 0.9 3.60 0.25 51.59 0.73

rettangolare 0.4 1.2 3.80 0.32 53.64 1.14

0.5 1.5 4.00 0.38 55.20 1.60

0.6 1.8 4.20 0.43 56.44 2.10

0.7 2.1 4.40 0.48 57.46 2.64

0.8 2.4 4.60 0.52 58.32 3.20

0.9 2.7 4.80 0.56 59.06 3.78

Sezione 1 3 5.00 0.60 59.70 4.39

1.1 3.3 5.20 0.63 60.26 5.01

1.2 3.6 5.40 0.67 60.75 5.65

1.3 3.9 5.60 0.70 61.20 6.30

1.4 4.2 5.80 0.72 61.60 6.96

1.5 4.5 6.00 0.75 61.96 7.64

1.6 0.91 9.28 0.10 44.14 8.03

composita 1.7 1.84 9.57 0.19 49.39 8.90

1.8 2.79 9.85 0.28 52.68 10.11

1.9 3.76 10.13 0.37 55.10 11.63

2 4.75 10.41 0.46 57.03 13.42

2.1 5.76 10.70 0.54 58.63 15.47

Sezione 2.2 6.79 10.98 0.62 60.00 17.77

2.3 7.84 11.26 0.70 61.19 20.29

2.4 8.91 11.55 0.77 62.25 23.04

2.5 10 11.83 0.85 63.21 26.01

Punto 2: Calcolare la scala di deflusso del collettore fognario a sezione circolare con diametro D = 0.5 m. La

pendenza longitudinale del collettore è pari a i = 0.