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ESERCIZI METODI
LUGLIO 2023
Metodi Matematici
Prof. Stroppolini
Luglio 2023
Accurso Fabio
- Scomposizione in Fratti semplici (Utile per Laplace)
Il grado del numeratore è minore di quello del denominatore
ax+b A(ax+b) (ax+b)α Ai(ax+b)i ax2+bx+c Ax+B(ax2+bx+c) (ax2+bx+c)α Aix+Bi(ax2+bx+c)iEsempio 1
x+1x2-3x+2
Scompongo Denominatore
x2-3x+2=0 x1/2 = 3±√9-8/2 = 1/2 (x-1) (x-2)
X+1/(x-1) (x-2) = A/x-1 + B/x-2 = A(x-2) + B (x-1)/(x-1) (x-2)
= Ax + Bx - 2A - B/(x-1) (x-2) A+B = 1 -2A - B = 1
B = 1 - A
-A = 2
A = -2B = 3
= -2/(x-1) + 3/(x-2)
Laplace
08/03/22
F(s) = s2 - 1/(s2 - 4s + 8)2
(s - 2)2 = s2 + 4 - 4s
= s2 - 1/(s - 2)2 + 4)
= (s + 2)2 - 1/(s2 + 4)2 = s2 + 4s + 3/(s2 + 4)2 =
= As + B/s2 + 4 + d/ds Cs + D/s2 + 4 = As + B/s2 + 4 + Cs2 + 4C + 2Cs2 + 2sD/(s2 + 4)2
= As3 + 6As + Bs2 + 5B + Cs2 + 4C - 2Cs2 - 2sD
= s3(A) + s2(B + C - 2C) + 5(4A - 2D) + 4C + 5B/(s2 + 4)2
- A = 0
- B - C = 1 => B = 1 + C
- -2D = 4 => D = -2
- 4C + 5B = 3
=> 4C + 4C = 3 => 8C = -1 => C = -1/8
B = 7/8
7/8 . 1/s2 + 4 + d/ds -8s - 2/s2 + 4 = F(s)
y(t) = 7/8 . 1/2 . sin(2t) + (-t) . [ -1/8 cos(2t) - 2. 1/2 sin(2t) ]
= 7/16 sin(2t) + t [ 1/8 cos(2t) + sin(2t) ]
visto che abbiamo traslato s -> s - 2
= e2t [ 7/16 sin(2t) + t [ 1/8 cos(2t) + sin(2t) ] ] = y(t)
F(s) = s2 es⁄(s2 - 6s + 10)2 Re(s) > 3
Analizzo denominatore
(s - 3)2 = s2 - 6s + 9
∥
F(s) = s2 es⁄((s - 3)2 + 1)2
s-3 -> s
s -> s+3
(s + 3)2 es
----------
(s2 +1)2
L-1[F(s)] = e3t L-1[(s+3)2 es⁄(s2+1)2]
= e3t L-1 [(s+3)2⁄(s2+1)2] (t+1)
M.I. Concentro su anti-trasformata
(s+3)2⁄(s2+1)2 = s2 + 6s + 9⁄(s2+1)2 = As + B⁄s2 + 1 + dd/ds [Cs + D⁄s2 + 1]=
= As + B⁄s2 + 1 + Cs2 + c - 2Cs2 - 2Ds⁄(s2 + 1)2 =
= As3 + As + Bs2 + B + Cs2 + c - 2Cs2 - 2Ds⁄(s2 + 1)2
= s3(A) + s2(B + c - 2c) + s(A - 2D) + c + B⁄(s2 + 1)2
{ A = 0
-2D = 6
B - C = 1
c + B = 9
=>
{ A = 0
D = -3
B = 1 + C
c + 1 + c = 9
=>
{ A = 0
B = 5
C = 4
D = -3
=>
L-1[F(s)] = e3t L-1 [5⁄s2 + 1 + d/ds [4s - 3⁄s2 + 1]] (t + 1) =
= e3t [5 sin (t+1) - t {4cos(t+1) - 3 sin(t+1)}]
Giugno 2023
f(z) = 1/(z2 - z (4+2i) + 7 + 4i)2
Solution: denominator
z2 - 2 (4+2i) z + 7 + 4i = 0
Δ = (4+2i)2 - 4 (7 + 4i) = 16 - 4 + 16i - 28 - 16i = -16
z1/2 = 4 + 2i ± √-16/2 = 4 + 2i - 4i/2 = 2 - i
= 4 + 2i + 4i/2 = 2 + 3i
f(z) = 1/(z - (2-i))2 (z - (2+3i))2
Frath semphe
f(z) = A/(z - (2-i)) + B/(z - (2-i))2 + C/(z - (2+3i)) + D/(z - (2+3i))2 =
B = limz → 2-i (z - (2-i))2 f(z) = limz → 2-i 1/(z - (2 + 3i))2
= 1/(2-i-z-2+3i)2 = 1/(-4i)2 = 1/-16 = -1/16
D = limz → 2+3i (z - (2+3i))2 f(z) = 1/(2+3i-z+z+i)2 = -1/16
A = limz → 2-i d/dz (z - (2-i))2 f(z) = limz → 2-i d/dz 1/(z - (2+3i))2 =
= limz → 2-i -2(z-(2+3i)) 1/(z-(2+3i))3 =
= -2/(z-i-2+3i)3 = -2/(-4i)3 = 2/64i = i/32
C = limz → 2+3i d/dz 1/(z - (2-i))2 = limz → 2+3i -2(z-(2-i)) 1/(z-(2-i))3 =
= -2/(2+3i-z+z+i)3 = -2/(4i)3 = -2/64i =
= -i/32
A
d X0(ω) = i d X0(ω) = id [−(4(2Hππiω + 1 + ππiω]
= i − (2πππiω) (16 ω)2
= −(2πiεππiω + εππ-iω)
= 2πεεεεωεππmεiω(πiω) / (16 − −ω2/16)
= 2πεεεε- εo−π
X(uub&uub;
x = imNa1,
X(ωmNa 4m) = 2πε
2&tπiωe −
= 64mε2(2εerrorεπmog;)
864iε (1 >2εε
= 64mε-(−1) + 1 / 256 (1 − m2)2 = 4
2π X(1−−m)oωoε
16ε
coε
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