Metodi matematici - Prove d'esame risolte

PROVA D'ESAME - 30/06/21 - PARTE 1

1) DATA LA SERIE DI NUMERI COMPLESSI ^zn/_n² CON z = ^7/2(x + iy), DETERMINARE L'INSIEME DI CONVERGENZA CONCLUSIONSI SU QUALE SAREBBE IL LIMITE/SE NON LIMITATO

• |z| / ||n(n + 1) = ^z_o/_n²
• a = lim n->oo |a_n(z_n)(a_n+1/a_n)| || lim n->oo |z_n/n²| = 0, a/a_n^-
• (numero rapporto)
• |r²|/n² < 1 -> la serie converge in |w/z| < 1

Studio sul bordo:

• |z| / n = 1, non converge (Con divergenza logica alternante)
• -> La serie converge per |w| < 1
• Cambio variabile: w = z/4, z = x + iy
• A = x/2
• 1, A = w/x
• 1/2/xi/2 = wi/x/1
• (1/x)^gi/_f(1/|x|w) = x^2/4 - y^2/4 < x - 1x - 1
• x^2/4 + y^2/4 < x - 1x - 1
• x - 1/|3x + y| = x² + y²/2 =
• = 4x|x/7, 7 + x/3
• se 1/x^2 < x/3
• (triangolazione)
• (x^2 - 4x^2 = 3) -> La serie convergen in E: {(Complesso^R² | xy2 - 3)}

Funzione algebrica non unica

2) DI CONSIDERAS CON UNA FUNZIONE F: R->R, MEDIANTE PERIODO PERMODA ZA DEFINITA DA F(t) = 1/2, t &e; (2t-aN)

• (A) SCRIVERE LA SERIE DI FOURIER BELLA f(t)

(b) Calcolare ¹/_m²

(c) Scrivere la serie numerica che si ottiene in t = ^π/₂ μ, utilizzando i risultati della convergenza puntuale della serie di Fourier. Calcolare la somma.

• f(t) → risposta
• α = ^m/₂
• ∫₀¹ e^2πitdt
• ∫₀¹ dt
• Identità principale

4) Per la funzione f(t)=λe^-λt, λ>0, λ∈R, verificare secondo la definizione che f∼=∞ (i) Costruiamo due doppi, p ∘ s[0,x] convessi ∀x>0, ∫₀^∞ f(tx) dt < ∞

Noting: ∀x∈R ∫₀^∞ x^te^-xf(tx) = ∫₀^∞ e^-xtf(x) < x ∞

Per esempio, nel dominio: A = inf {k | Abonnisibili} = inf {Vλ∈R} = ∞

5) Per la successione {a_n}, la Z-Transform, (diz.) determiniamo, secondo la definizione, il rieggito R della convergenza all’esterno della quale è definita la Z-Transforma (a) Una qualunque l'espressione di tale trasformata cuidando dinamicamente le tabelle

2)

a(t) = 0

3)

a(t) = ∫_-t^t x²(t-z)f(z)f(t)dz

4)

b(t) = ∫_-t^t x²(t-z)f(z)f(t)dz

5)

h(t) = 0

∫ x² t(t-z) f(t) dt = (x³ / 3) t + x² (a-b) / 2 t + f(t) + c

w.a. dovintu:

a(t) =

• 0 x <= t, t < x
• ∫_t^x x² (t-z)f(t)dt , x < t < 2
• 0 2 < t < 2

b)

Si consideri la funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definita da \( f(t) = \frac{1}{(t^2+1)(t^2+4)} \)

Calcolarne la trasformata di Fourier

Calcolare il modulo dell'integrale improprio \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(t^2+1)^2} \mathrm{dt}\)

\( f(w)=\int_{\mathbb{R}} e^{-\mathrm{i}wt} f(t) \mathrm{dt} = \mathrm{sing} \; \textit{t} \;[2.-1;1,2.i] \)

f(w)= x\in C , f(w)= 2\pi\; Res \left ( e^{-\mathbf{i}wt}f(t),t_i \right )

x\in\mathbb{C}, \\f(w)= \frac{\pi }{2i}\left}_{\mathbb{R}}\end{array}\right. ads f(w)=\cdots \end{}

Proseguiamo:

\(\frac{zp \cdots \end{}}{4}= zni \frac{\epsilon^{1-(w)}} {4}=\frac{pzig}{2} e^{-2}-e^pz_1f(w)\cdots\, il\cdots_{1} \\\end{array}} f(w)=f(t)= \consultand(c)=kanstd\, w,\to+w\pm. \) \begin{array}$ \textbf{-}\frac{1}{rR}, \begin{align} \mathrm{Res}\left (e^{-p}, \frac{i}{2}\Big\{ -\Big\}\cdots e^{-iw}(t-i)(t-i) \right)\\ & = \lim_{t\to i} \frac{(t+i)(t+i)^{-1}}{(t-i)(t+i)^{-i}}\end{align}= e^{-iw} :\, s=2=1+2i,\;s=i,\begin{array}{l}d,v.e.pt+c[1]\frac{-1}{,(-2i)-2i} \\e^{-iw}(t-1)\; \left[ (t-i)(t+i)^2-1)(t+i)(-i\right)\]s=\frac{1}{4}\\zni e^{-f}( za+ni)\cdots \\f(w)=zai \left\{\frac{e^{aw}}{2} z\cdots, \ (\nabla - (-a)),\right.\ \left\{w f(x)=p_z\end{\\} f(w)= zin.e^\int {{w}}{\ 2}=h_1,z., \big{.}(t-i)\end{linespace}\text{Teoricamente}\\e^{(-2w)}\intergr^{\ +\end}\left[ e^{4tw1}\tfrac{1_{i}}(tz-i)\cdots-\right)\\\end{array}\\\begin{align} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} |f(t)|^2\mathrm\{dt}\end{align}\frac {z}{p}f(w)\)>\int \int\_{|}f(\lim_{t\rightarrow)\mathrm[-\pi+\pi]}Tcard& f\,e^{*}\Bigg[ e^{-x/i\;2}\Bigg) \right.\int_{R_a}^{i\}\\\mathrm{d}\left[e^{-2iw}\limits_{tt}(2w^2-w^2)}\mathrm\{(a)\}*&=-4)`(0)w\end{alignwithand} \displaystyle{\lim_{4n\rightarrow+n}}\zeta t-4=\mathbb{E}(f(ti)+)} \end{array}

[IN INTERSEZIONE]

w₁(t) ^∆= λ_∩χ_{[w₁t, w₂t]}(w)

w₁(t)

^∆= λ_∩χ_{[w₁t,w₂t]}(w)

QUINDI

f_∩(w)=∫_wλ_∩χ_{[w₁t,w₂t]}(wt × x) f_x(xwt) dx

=∫_wλ_∩χ_{[w₁t,w₂t]}χε[χqw]

=1∈R

=∫_w₁λ_∩χ_{[w₂t,w₂t]}f_y(wt) dt

ABBIAMO

1. w₁t≤y^Δ → wκ=6↔f(w)=0
2. w>6→w≤16f(w)=0

3. [w₁≤y≠^Δ↔f(w)=6]

   [w=w−(2k)]

   →6w≥h6=f̂ (w) ¹ ∫w/2^q f(w/2) dw

1. [w1≤/q wκ] ↔ (^Δ)

   ^6−(2k) w/2) ↔ wκ=2→2kwκ f(w)=&3

   ∫w/4^ w/2¹_w−2 d

→ [&⁶_κ2 ∫ 1

<1 ∫ f(w₂−2)