Testi prove esame Metodi Matematici

B B B

primale passa da a , si può dedurre sempre come prodotto delle soluzioni ottime del duale

∆

B .

del problema iniziale moltiplicate per l'incremento

4) Si descrivano i problemi di scelta ottima di investimenti in ipotesi del solo vincolo di bilancio ed in ipotesi di

vincoli logici.

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 8

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

1) Data la matrice dei costi:  

− −

10 8 7 11 9

 

− − −

6 2 7 8

 

 

− −

7 3 7 15 12

 

=

C − −

12 10 5 6 8

 

 

−

7 6 9 6 10 8

 

 

−

8 10 6 9 10 11

 

 

− −

7 8 10 8 9

Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore multiplo nel caso si abbiano a disposizione due

veicoli e il deposito sia nel nodo 6 e si dica quali nodi deve servire ogni veicolo.

2) Si definiscano le matrici unimodulari e totalmente unimodulari e si dica come sono legate alla

programmazione intera

3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi :

a) metodo della assegnazione lineare in programmazione multi attributo.

b) Un’impresa utilizza ogni anno 100000 kg di merce che acquista periodicamente e che deve conservare

in magazzino. Ogni ordinazione della merce costa Euro 100 e le spese di magazzinaggio sono di 2 Euro

per ogni kg. Determinare il numero di ordini da effettuare in un anno e la quantità da ordinare ogni

volta per avere il minimo costo di magazzino nell’ipotesi che l’attività si protragga nel tempo qualora si

debba tenere conto del fatto che la capacità massima del magazzino è di 9000 kg. Si determini inoltre la

quantità di merce ordinata in eccesso rispetto alla necessità annua.

4) Si analizzi come si determina lo studio del segno di una forma quadratica in due variabili.

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 16

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

1) Data la matrice  

− + − + + − +

750 400 200 350 200 380 280

 

− + − + + + +

220 120 300 240 140 80 100

 

 

− − + + + + −

250 150 80 280 100 200 100

 

=

A − + − + − + −

320 250 120 200 50 100 50

 

 

− − − + + − +

50 100 100 60 200 100 200

 

 

− − + + − + −

150 120 100 150 100 180 100

 

 − + − + − + +

170 180 120 180 250 160 50

in cui le righe individuano i flussi di cassa espressi in migliaia di euro di 7 investimenti riferiti ad uno stesso

( )

= 1, 2,3, 4,5, 6, 7

t

scadenzario si determini, in base al tasso del 5% annuo la combinazione ottimale di

investimenti da attuare, tenendo conto:

a) del solo vincolo di bilancio che prevede che la somma massima da investire in ogni periodo sia data dal

( )

= 700, 350, 200,500, 400,350,350

b

vettore

b) oltre che del vincolo di bilancio espresso sopra del vincolo espresso da “se si attiva il terzo investimento

non si può attivare il quinto “ 2

( )

, = − −

f x x x x x

2) Si determino le linee di livello della funzione 1 2 1 1 2

3) Si risolva a scelta uno dei due esercizi che seguono:

a) Teorema di reciprocità

b) Un’industria produce alimenti liofilizzati mescolando 4 preparati P1, P2, P3, P4 aventi costo per

ogni kg rispettivamente di 8, 6, 4, 1 Euro.

P1 contiene il 40% di carboidrati il 15% di proteine e il 20% di grassi

P2 contiene il 24% di carboidrati il 16% di proteine e il 10% di grassi

P3 contiene il 10% di carboidrati il 20% di proteine e il 18% di grassi

P4 contiene il 15% di carboidrati il 5% di proteine e il 16% di grassi.

Ogni kg di prodotto deve contenere almeno il 25% di carboidrati, il 15% di proteine e il 18% di grassi.

1) Si determini il miscuglio a minimo costo.

2) si scriva il problema in forma standard.

4) problema del max guadagno in ipotesi di vincoli sulle risorse e suo duale: descrizione, formalizzazione e

significato economico

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 3

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

1) Facendo uso dei dati disponibili per i rendimenti dei titoli azionari dello S&P Mib sul File Excel

“Dati selezione portafoglio per metodi” disponibili on- line si scelgano i 4 titoli azionari sotto indicati

- IMI San Paolo

- Eni

- L'espresso

- Telecom Italia

Nell'ipotesi di assenza di vendite allo scoperto si risolvano i seguenti problemi di selezione del portafoglio:

a) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio a

minima varianza con il seguente rendimento mensile medio: 0,015

b) Si determinino le percentuali del capitale da investire nei 4 titoli in modo che si ottenga il portafoglio con

rendimento mensile massimo quando la varianza è data da: 0,002

c) Si dica inoltre a che tipo di programmazione appartengono i problemi risolti

2) Si descrivano le matrici associate ad un grafo

3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi

a) si enunci e si dimostri il teorema di complementarità

b) Data la matrice dei costi  

− −

10 8 7 11 9

 

6 − 9 7 − − 10

 

 

7 13 6 − 7 7 12

 

=

A − −

12 10 5 6 8

 

 

7 6 9 6 − 10 8

 

 

8 10 6 9 10 − 11

 

 

7 11 − 13 6 9 −

si determini la soluzione del problema di assegnazione a minimo costo e si dica se essa individua un circuito

hamiltoniano.

4) il problema del flusso ottimo descrizione e formalizzazione

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 11

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

3) In un problema multiattributo i pesi assegnati ai vari obiettivi ed i risultati che essi assumono in

corrispondenza alle varie alternative sono riassunti nella seguente tabella:

f f f f f

1 2 3 4 5

PESI 0,40 0,05 0,1 0,25 0,20

1,05 7 32 75 115

D1 0,9 6 25 70 110

D2 1,15 9 42 80 125

D3 1 8 35 85 128

D4 1,20 10 30 72 130

D5 1,10 12 38 83 120

D6

a) si determini in che ordine devono essere disposte le alternative usando il metodo dell’assegnazione lineare.

b) si dica come sarebbero ordinate le alternative con il metodo semplicemente pesato

2) Data la forma quadratica in 3 variabili 2 2 2

( , , ) = + − 2 +

f x x x x x x x x

1 2 3 1 2 1 3 3

si dica se essa è definita positiva o negativa o semi definita positiva o negativa .

3) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi:

a) Si enunci e si dimostri il Teorema di complementarità

b) Una ditta costruisce 4 diversi modelli C1, C2, C3, C4 di frigoriferi che vende rispettivamente a

Euro 180 , Euro 120, Euro 140, Euro 300 l’uno. Il modello C1 richiede 30 minuti per la

produzione dei pezzi e 20 per l’assemblaggio. Il modello C2 richiede 35 minuti per la

produzione dei pezzi e 18 per l’assemblaggio. Il modello C3 richiede 34 minuti per la

produzione dei pezzi e 26 per l’assemblaggio. Il modello C4 richiede 24 minuti per la

produzione dei pezzi e 28 per l’assemblaggio. Sono disponibili per la produzione 60 ore e mezzo

e per l’assemblaggio 40 ore e 15 minuti al giorno. Si determini il piano di produzione ottimale in

ipotesi di potenziale di vendita illimitato e si dica quali risorse dovrebbero essere aumentate per

aumentare il ricavo totale.

4) Il problema del commesso viaggiatore multiplo , la sua risoluzione con il metodo branch and bound e

l'individuazione del carico di lavoro dei vari veicoli.

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE E AZIENDALI 4

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

4) Data la matrice dei costi:  

− −

10 8 2 11 9

 

6 − 9 7 − − 5

 

 

7 10 − − 7 15 12

 

=

C 12 3 10 5 6 8

−

 

 

7 6 9 6 − 10 8

 

 

8 10 11 9 10 − 11

 

 

7 9 10 − 8 9 −

Si trovi la soluzione del problema del commesso viaggiatore.

5) si definiscano le soluzioni di base in PL, le soluzioni di base ammissibili e degeneri

6) Si risolva a scelta uno dei seguenti esercizi :

a) metodo degli autovalori per l'assegnazione dei pesi in programmazione multiattributo

b) Si scriva e si risolva il duale del seguente problema di programmazione lineare

min 5 + 10 + 20 + 8

x x x x

1 2 3 4

con

3 2 5 5

+ + + ≥

x x x x

1 2 3 4

4 10

+ + + ≤

x x x x

1 2 3 4

3 5 10 10

+ + + =

x x x x

1 2 3 4

, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0

x libera x x x

1 2 3 4

4) programmazione non lineare e Teorema di Kuhun Tucker.

METODI MATEMATICI PER LE DECISIONI ECONOMICHE ED AZIENDALI 2

CANDIDATO …………………………………………………………………………………..

VOTO

1) Facendo uso dei dati disponibili per i rendimenti dei titoli azionari dello S&P Mib sul File Excel

“Dati selezione portafoglio per metodi” disponibili on- line si scelgano i 4 titoli azionari sotto indicati

- SAIPEM

- Eni

- Gruppo editoriale l’Espresso

- SNAM RETE GAS

si risolvano i seguenti problemi di selezione del portafoglio in ipotesi di assenza di vendite allo scoperto

d) Si determinino le percentuali del ca