Prove esame economia

TEO. ROLLE

def: Sia g: [a,b]→ℝ se:

1. g continua in [a,b]
2. g derivabile in (a,b)
3. g(a) = g(b)

⇒ ∃ c ∈ (a,b) ; g'(c) = 0.

Esistenzialmente ∃ almeno un punto c ∈ (a,b) che ammetta tangente orizzontale.

DIM:

Siccome g risulta continua in [a,b] allora per Weierstrass:

x_m, x_M ∈ [a,b]: x_m ≤ g(x) ≤ x_M ∀ x ∈ (a, b)

In base alla posizione di x_m, x_M devo dimostrare 2 casi:

CASO 1 x_m o x_M ∈ int (a,b) cioè x_m o x_M ∈ (a,b)

Per Fermat ⇒ g'(x_m) = 0 o g'(x_M) = 0

CASO 2 Nessuno dei due punti int. all'int.

cioè x_m e x_M si trovano agli estremi dell'intervallo.

a := x_m

b := x_M

g(x_m) < g(x) < g(x_M)

g(a) < g(x) < g(b) ⇒ g(a) = g(b) per ipotesi

Funzione costante ⇒ g'(x) = 0