Prova d'esame svolte di Fisica matematica

Università di Pavia

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria

Esame di Fisica Matematica

24 febbraio 2026

Lo studente scriva negli spazi sottostanti, cognome, nome e numero di matricola.

COGNOME _______________________________

NOME __________________________Matricola __________________________

La prova consta di 2 esercizi e durerà 2 ore e 0 minuti. Non è permesso usare né calcolatrice né telefono cellulare/smartphone/altri strumenti elettronici; non è consentito consultare testi o appunti, al di fuori di quelli eventualmente distribuiti dalla Commissione pena l'esclusione dalla prova.

Esercizi

1. In un piano verticale, un disco omogeneo centrato in G avente massa m e raggio R ha il diametro BC solidale ad un’asta AC di massa trascurabile e lunghezza 3R; l’estremo A è libero di scorrere su una guida orizzontale fissa.
   • determinare:
     • l'energia cinetica T(x, \(\dot{x}\), \(\theta\), \(\dot{\theta}\)) del sistema (1.5 pt.);
     • l'energia potenziale V(x, \(\theta\)) del sistema (1.5 pt);
     • le configurazioni di equilibrio \frac{2}{q}\)

       3. \(\theta_1 = \frac{\pi}{2}, x_1=0 \forall \gamma\)

       4. stabile a \(\gamma < \frac{2}{\gamma}\) instabile \(\gamma\)

       5. \( A_3=(-2mgR (\frac{1}{2} m u R^2)\) , \(B =\begin{pmatrix} \frac{mg}{R} & 0 \\ 0 & -\frac{5}{2} mgR \end{pmatrix} \)

       \(\lambda_1 = \frac{5\Theta}{R}\)

       \(\lambda_2 = - \frac{\Theta}{R}\)

       Università di Pavia

       Facoltà di Ingegneria

       Corso di Laurea in Ingegneria

       Esame di Fisica Matematica

       24 febbraio 2026

       Lo studente scriva negli spazi sottostanti, cognome, nome e numero di matricola.

       COGNOME _______________________________________________________

       NOME ______________________________ Matricola ___________________________

       La prova consta di 2 esercizi e durerà 2 ore e 0 minuti. Non è permesso usare né calcolatrice né telefono cellulare/smartphone/altri strumenti elettronici; non è consentito consultare testi o appunti, al di fuori di quelli eventualmente distribuiti dalla Commissione pena l'esclusione dalla prova.

       Esercizi

       1. In un piano verticale, un disco omogeneo centrato in G avente massa m e raggio R ha il diametro BC solidale a un'asta AC di massa trascurabile e lunghezza 3R; l'estremo A è libero di scorrere su una guida orizzontale fissa. Una molla ideale di costante elastica k = _mg/^2R attrae A verso un punto fisso O e t; una seconda molla ideale di costante elastica k = _mg/^R attrae l'altro estremo C dell'asta posto sul bordo del disco verso il punto C' di istante per istante è posto sul verticale passante per C. Sia g = 9,8 ^m/_s² l'accelerazione di gravità. Usando come coordinate lagrangiane l'angolo che C-A forma con la direzione di e_x (e (x = r, )), contato positivamente in senso orario, e l'ascissa x di A misurata da O lungo l'orizzontale positiva nel verso di e_x (v. figure) si determini:

          1. L'energia cinetica T(x, , ṙ, ̇) del sistema (1,5 pt);
          2. L'energia potenziale V(x, ) del sistema (1,5 pt);
          3. Le configurazioni di equilibrio (2 pt) in funzione di ;
          4. La stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate, indicando le corrispondenti matrici hessiane di V(x, ) (2 pt) in funzione di ;
          5. per = 1/2, le due modi normali nella configurazione con = π/2 (2 pt).

       2. V = -2 mg R sin + ₁/²mg/2R x² + ₉/² mg R sin²

       3. ₁ = _π/² x₁ < 0 ∀

       4. stabile ∝ < ₂/⁹

       ₂ = -π₂ x₂ 0 ∀ instabile ∀

       ₃ = arcsin ₉/⁹ a > ₂/⁹ st_e b. se D > (ca esiste),

       x₃ = 0

       ₄ = π-₃ x₄ 0 " " " " " "

       5. A₁ = (_m, -2mR₀) , B = (_mg/^R 0, 0 -₅/²mgR)

       λ₁ = ₅/⁸ R

       λ₂ = -_g/^R

       2.

       Un corpo rigido piano è composto da una lamina rettangolare omogenea ABCD, con lati AB = 2√3 m e AD = 2ℓ e massa 2m; due aste omogenee CE e DE di massa 3m e lunghezza 2ℓ ciascuna, saldate in E esterno ad ABCD; due dischi omogenei ciascuno avente raggio R√3/2 di massa m, tangenti esternamente ai lati AD e BC nei loro punti medi M ed N (vedi figura). Utilizzando la base ortonormale {e1, e2, e3} con e3 parallelo a C − A, ed ex ed ey sul piano con versori tali che ey · (D − A) > 0, determinare:

       1. gli elementi Ixz, Ixy e Iyy della matrice di inerzia, calcolata rispetto ad A.
          • (a) della lamina rettangolare (1.5 pt);
          • (b) dell'asta DE (1 pt);
          • (c) dell'asta CE (2 pt);
          • (d) del disco tangente in M (1.5 pt);
          • (e) del disco tangente in N (1.5 pt);
       2. il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta AB, indicando i contributi dei 5 corpi separatamente. (4.5 pt)

       (in G:)

       a)

       • 1
       • √3/3
       • √3/3
       • 1

       μR²

       b)

       • 0
       • 0

       μR²

       c)

       • 3/4
       • √3/4
       • √3/4
       • 1/4

       μR²

       d, e)

       • 3/16
       • 0
       • 0
       • 3/16

       μR²

       d)

       • 5/8
       • 3/16
       • 3/16
       • 1/4

       μR²

       e)

       • 3/16
       • 5/8
       • 1/4
       • 3/16

       μR²

       2

       (8/3 + 19 + 19 + 19/16 + 19/16) μR² = 1033/24 μR²

       Università di Pavia

       Facoltà di Ingegneria

       Corso di Laurea in Ingegneria

       Esame di Fisica Matematica21 febbraio 2026

       Lo studente scriva negli spazi sottostanti, cognome, nome e numero di matricola.

       COGNOME

       NOME

       Matricola

       La prova consta di 2 esercizi e durerà 2 ore e 0 minuti. Non è permesso usare né calcolatrici né telefono cellulare/smartphone/altri strumenti elettronici; non è consentito consultare testi o appunti, al di fuori di quelli eventualmente distribuiti dalla Commissione pena l'esclusione dalla prova.

       Esercizi

       1. In un piano verticale, un disco omogeneo con_tratto in G avente massa 2m e raggio R ha il diametro BC solidale a un’asta AC di massa trascurabile e lunghezza 3R; l'estremo A è libero di scorrere su una guida orizzontale fissa. Una molla ideale di costante elastica k = ^mg/_R attrae A verso un punto fisso O ∈ i &ex; ; una seconda molla ideale di costante elastica k = ⁹/_mR attrae l'altro estremo C dell'asta posto sul bord… il disco verso il punto C di istante per istante è posto sul vertice pass… per G. Sia g = -g&ey;^↑ l'acceleraz… di gravità. Usando come coordinate lagrangiane l’angolo ψ di… C − A forma con la direzione di &ex; (ψ ∈ [-π,π]), contato positivamente in senso… e l’ascissa x di A misurata da O lungo… i contati positivamente… verso di &ex; (vedi figura) si determin…:
       2. l'energia cinetica T(x, ψ, ψ̇) del sistema (1.5 pt);T = m ψ˙² x + ^3gm/₂ ψ + 4 ^mR ψ̇ sin θ
       3. l’energia potenziale V(x, ψ) del sistema (1.5 pt); 2.
       4. Le configurazioni… equilibrio (2 pt) in funzione di γ;
       5. La stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate, indicando le corrispondenti matrici hessiane di V(x, ψ) (2 pt) in funzione di ǫ;
       6. per γ = 1, 2 … dei modi normali nella configurazione… con x = π/2 (2 pt).

       m g x

       li

       2.

       Un corpo rigido piano è composto da una lamina rettangolare omogenea ABCD, con lati AB = 2R√3 e AD = 2 R e massa 3m; due aste omogenee CE e DE di massa m e lunghezza 2R ciascuna, saldate in E esterno ad ABCD; due dischi omogenei, ciascuno avente raggio R√(3/2) di massa 2m, tangenti esternamente ai lati AD e BC nei loro punti medi M ed N (nel figure). Utilizzando la base ortonormale (e_x, e_y, e_z) con e_x parallelo a C' - A, ed e_x nel piano con verso tale che e_yx (D - A) > 0, determinare:

       1. gli elementi I_xx, I_yy e I_xy della matrice di inerzia, calcolata rispetto ad A.
       • (a) della lamina rettangolare (1.5 pt).
       • (b) dell'asta DE (1 pt).
       • (c) dell'asta CE (1 pt).
       • (d) del disco tangente in M (1.5 pt).
       • (e) del disco tangente in N (1.5 pt).
       2. Il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta AB, indicando i contributi dei 5 corpi separatamente. (4.5 pt)

       (b) 3 - 2√3₃³ mR²

       c. -1/5√3₃⁷ mR²

       4 + 19/3 + 19/3 + 19/8 + 19/8 = 257/12 mR²

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       Lo studente scriva negli spazi sottostanti, cognome, nome e numero di matricola.

       Cognome _______________________________

       Nome _______________________________ Matricola ________________

       La prova consta di 2 esercizi e durerà 2 ore e 0 minuti. Non è permesso usare né calcolatrice né telefono cellulare/smartphone/altri strumenti elettronici; non è consentito consultare testi o appunti, al di fuori di quelli eventualmente distribuiti dalla Commissione pena l'esclusione dalla prova.

       Esercizi

       1. In un piano verticale, un disco omogeneo centrato in G avente massa 3m e raggio R ha in diametro BC solidale a un'asta AC di massa trascurabile e lunghezza 3R; l'estremo A è libero di scorrere su una guida orizzontale fissa. Una molla ideale di costante elastica k = ^mg/_R attrae A verso un punto fisso O ∈ e_x; una seconda molla ideale di costante elastica k = ^mg/_R attrae l'altro estremo C dell'asta posto sul bordo del disco verso il punto C' di istante per istante è posto sulla verticale passante per C. Sia g = - g_ey, l'accelerazione di gravità. Usando come coordinate l'angigure l'angolo θ che C - A forma con la direzione di e_y, (θ ∈ [-π, π]), contato positivamente in senso orario, e l'ascissa x di A misurata da O lungo e_x, conta positivamente nel verso di e_x, (vedi figura) si determinini:

          1. L'energia cinetica T(x, y, ẋ, ẏ) del sistema (1.5 pt);
          2. L'energia potenziale V(x, y, ẋ, ẏ) del sistema (1.5 pt);
          3. Le configurazioni di equilibrio (3 pt) in funzione di γ;
          4. La stabilità delle configurazioni di equilibrio trovate, indicando le corrispondenti matrici Hessiane di V(x, y) (3 pt) in funzione di γ;
          5. per γ = 3/2, le x di modi normali nella configurazione con θ = π/2 (2 pt).

       T₃ = ³/₂ mẋ² + ⁹/₄ mR² θ ̇² - 6mRẋθsinθ

       2. V = -6mgRθsinθ + ¹/₂mg/Rx² + 9mgRθsinθ

       B₁ = ^mg/_R 00 (6-9θ)mgf

       B_C = ^mg/_R 00 -(6+9θ)mgf

       B_S = ^mg/_R 00