Prova d'esame svolte Fisica 1

In figura 1, la linea blu mostra la curva oraria del proiettile. Il testo ci dice che il proiettile

colpisce il piattello quando quest’ultimo si trova nel punto di massima altezza. Questo vuol

dire che z (t ) = z . (6)

2 ⋆ max

Sostituendo le espressioni di t e t si ottiene

1 ⋆ 1 2

− − −

z (t ) = v (t t ) g(t t ) (7)

2 ⋆ 2 ⋆ 1 ⋆ 1

2 2

v v 1 v

1 v 1

1 1 1

1

−

− −

= v g (8)

2 g 2 g 2 g 2 g

2

v 1 v

1 1

1 1

− (9)

g

= v 2 2 g 2 2 g

2

1 v v v

1

1 2 1

−

= . (10)

2 g 8 g 2

v

1 . Quindi

Questa espressione deve essere uguale a z = 1

max 2 g

2 2

1 v 1 v v 1 v

1 2

1 1

−

= . (11)

2 g 2 g 8 g

Risolvendo questa equazione otteniamo infine v :

2

5

v = v . (12)

2 1

4

2

Problema 2. Un blocchetto di massa m è inizialmente fermo sulla superficie di un piano

inclinato (angolo θ) e poggia su una molla di costante elastica k. Il coefficiente di attrito

dinamico è µ . La molla è compressa di una lunghezza δ rispetto alla sua lunghezza di

d

riposo. A un certo istante la molla viene sbloccata e il blocchetto inizia a salire lungo il

piano inclinato. Deteminare l’altezza massima raggiunta dal blocchetto prima di fermarsi.

Figura 2:

Svolgimento: Inizialmente il blocchetto è fermo e la molla è compressa di una lunghezza

δ. L’energia meccanica è data dalla sola energia potenziale della molla:

1 2

kδ . (13)

E =

1 2

Quando il blocchetto raggiunge l’altezza massima h (rispetto all’altezza iniziale), esso ha

velocità nulla. La sua energia meccanica è data dalla sola energia potenziale della forza

peso: E = mgh . (14)

2

L’energia meccanica non si conserva perché la forza di attrito non è conservativa. Il

diagramma delle forze in figura 2 permette di calcolare la componente della forza di attrito

parallela al piano inclinato, il cui modulo è F = µ mg cos θ. Se il corpo si sposta di una

A d

lunghezza L lungo il piano inclinato, il lavoro fatto dalla forza di attrito è

L −µ

= mgL cos θ . (15)

A d

L’energia meccanica finale è più piccola di quella iniziale, ed è data dalla relazione

−

E = E µ mgL cos θ . (16)

2 1 d

3

Andando a sostituire otteniamo 1 2 −

mgh = kδ µ mgL cos θ . (17)

d

2

Come ultimo passaggio, dobbiamo esprimere L in funzione di h. Usando la trigonometria

otteniamo L = h/ sin θ, e quindi h

1 2 −

kδ µ mg . (18)

mgh = d

2 tan θ

Risolvendo per h otteniamo 2 −1

kδ µ

d

h = 1+ . (19)

2mg tan θ

4

Problema 3. Un operaio utilizza una carrucola per muovere un carico di massa m. Data

→

−

la forza F , determinare l’accelerazione del carico, sapendo che la carrucola è un disco di

massa M e raggio R. Trascurare gli attriti e assumere una corda ideale inestensibile e di

massa trascurabile.

Svolgimento: Il lato sinistro della corda ha una tensione T = F . Il lato destro della corda

1

ha una tensione T . Come mostrato in figura 3, sul carico sono applicate due forze, T e la

2 2

forza peso. Considerando un asse di riferimento verticale verso il basso, possiamo scrivere

F = ma per il carico: −

ma = mg T . (20)

2

Il centro di massa della carrucola rimane fermo, ma la carrucola ruota attornoa ad esso.

Possiamo quindi scrivere la seconda equazione cardinale per la carrucola, scegliendo come

polo il suo centro (che, oltre ad essere il centro di massa della carrucola, e anche un punto

fermo. Un altro punto che non sia fermo non si può usare come polo!). Scegliamo come

rotazione positiva una rotazione in senso orario. −

I α = T R T R . (21)

1 2

CM 12 2

Per un disco di massa M e raggio R, abbiamo I = M R .

CM

La corda scorre lungo la carrucola senza strisciare, si deve quindi avere la condizione di

rotolamento senza strisciamento: a = αR . (22)

Figura 3:

5

Abbiamo quindi quattro equazioni da mettere a sistema:

 F = T

1



 −

ma = mg T

 2 (23)

1 2 −

M R α = T R T R

1 2

2



 a = αR



Sostituendo la prima e la quarta equazione nella terza otteniamo

1 −

M a = F T , (24)

2

2

da cui otteniamo 1

−

T = F M a . (25)

2 2

Sostituendo nella seconda equazione otteniamo 1

−

ma = mg F + M a . (26)

2

Risolvendo per a otteniamo infine −

mg F . (27)

a = −

m M/2

Questo risultato conferma che F < mg il carico accelera verso il basso. Se invece F > mg,

esso accelera verso l’alto. 6