Progetto 3 - Stadio di turbina assiale

Kacker-Okapuu.

In prima approssimazione in questa fase trascureremo i contributi di perdita di trafilamento, quelli legati

alle perdite di profilo e quelle relative al bordo d’uscita.

Dato che stiamo progettando un primo stadio di turbina HP, cioè che lavora a temperature ed a velocità

elevate, probabilmente faremo riferimento a delle palettature unshrouded.

,

Il coefficiente di perdita di profilo secondo la relazione di Kacker-Okapuu, si definisce come segue:

2

= 0,914∙ ∙ ∙ ()

,

3

Dove:

• () corrisponde ad una funzione del numero di Reynolds;

• rappresenta il coefficiente di perdita di profilo secondo Ainley-Mathieson-Dunham-

,

Came, che viene espresso tramite le seguenti relazioni 1

2

,

1 1

[ | | )]

= + ∙ ∙ ( − ∙ ( )

- Statore : ,, , , ,

0,2∙

2 2 2

3

,

2 2

[ | | )]

= + ∙ ∙ ( − ∙ ( )

- Rotore : ,, , , ,

0,2∙

3 3

Il coefficiente rappresenta il coefficiente di perdita di un ugello con angolo di ingresso

= 0

e avente lo stesso angolo di uscita .

1 2

Il coefficiente rappresenta il coefficiente di perdita di profilo di una palettatura simmetrica,

= −

avente angoli di ingresso e uscita cioè uguali in valore assoluto ma opposti in segno.

1 2

():

Analizziamo il fattore di correzione .

Il fattore di correzione varia in funzione del numero di reynolds Calcoliamolo sia per lo statore sia

per il rotore: ∙ ∙ ∙ ∙

2 2 3 3

6 6

= = 8,206 ∙ 10 , = = 2,342∙ 10

Il fattore di correzione viene valutato come segue:

−0,4

5

( ) ≤ 2 ∙ 10

5

2 ∙ 10

() 5 6

= 1 2 ∙ 10 ≤ ≤ 10

−0,2

6

( ) ≥ 2 ∙ 10

{ 6

1 ∙ 10 6

2 ∙ 10

I numeri di reynolds e sono entrambi maggiori di quindi i fattori di correzione per lo

statore e per il rotore valgono: −0,2

() = ( ) = 0,6564

- STATORE: 6

1∙10 −0,2

() = ( ) = 0,8435

- ROTORE: 6

1∙10

Analizziamo il coefficiente :

Il coefficiente di perdita di profilo dell’ugello viene fornito secondo Kacker-Okapuu in funzione del

al variare dell’angolo di uscita

⁄

rapporto della nostra schiera.

La determinazione del coefficiente può avvenire anche mediante una regressione polinomiale sotto

⁄

riportata nella quale la variabile x rappresenta il rapporto mentre la variabile y rappresenta il valore

dell’angolo di uscita

( per lo statore e per il rotore).

2 3

Nel seguente sistema sono presenti dei coefficienti , i cui valori sono riportati sottoforma matriciale

,

nella matrice A. 2 3

+ + + +

11 12 13 14

2 3

+ + + +

21 22 23 24

(, ) =

2 2 2 2 2 3

+ + + +

31 32 33 34

3 3 3 2 3 3

+ + + +

{ 41 42 43 44 −0,4969170

0,3587160 −1,4350800 1,5716100

−2 −2 −2

−2 5,4859400 ∙ 10 5,5538699 ∙ 10 1,4165000 ∙ 10

−1,1281500 ∙ 10

=[ ]

−4 −4 −5

−4 8,2493701 ∙ 10 6,5228698 ∙ 10 −7,3014096 ∙ 10

1,7508300 ∙ 10 −7

−7 −6 −6 −4,9954002 ∙ 10

−8,6132297 ∙ 10 3,9599799 ∙ 10 −1,8969801 ∙ 10

| | | |

= = = =

Considerando quindi, e per lo statore e e per il rotore,

⁄ ⁄

2 3

avremo i seguenti risultati:

= 1,067 = 1,294

= 66,5° = 1,161 = 64,5° = 1,126

{ {

∶ ∶

= 0,1636615 = 0,1637 = 0,2658642 = 0,2659

, ,

Analizziamo il coefficiente :

Il coefficiente di perdita di profilo dell’ugello viene fornito secondo Kacker-Okapuu in funzione del

al variare dell’angolo di uscita

⁄

rapporto della nostra schiera.

La determinazione del coefficiente può avvenire anche mediante una regressione polinomiale sotto

⁄

riportata nella quale la variabile x rappresenta il rapporto mentre la variabile y rappresenta il valore

dell’angolo di uscita

( per lo statore e per il rotore).

2 3

Nel seguente sistema sono presenti dei coefficienti , i cui valori sono riportati sottoforma matriciale

,

nella matrice A. 2

+ +

11 12 13 2

{

(, ) = + +

21 22 23

2 2 2 2

+ +

31 32 33

−2 −2

9,95502990 ∙ 10 0,182837 1,60300010 ∙ 10

−3 −2 −2

= [ ]

6,21508020 ∙ 10 −2,83658000 ∙ 10 1,12490000 ∙ 10

−5 −4 −4

−7,10628010 ∙ 10 3,27648010∙ 10 −1,22645000 ∙ 10

| | | |

= = = =

Considerando quindi, e per lo statore e e per il rotore,

⁄ ⁄

2 3

avremo i seguenti risultati: = 1,294

= 1,067

= 64,5° = 1,126

{ = 66,5° = 1,161 {

∶ ∶

= 0,3000199 = 0,3000 = 0,3500467 = 0,3500

, ,

Essendo a conoscenza dei valori di e di sia per lo statore e sia per il rotore, possiamo valutare i

coefficienti di perdita di profilo secondo Ainley-Mathieson-Dunham-Came, che valgono:

= 39,6 = 127,6 . = 0,1637

- STATORE: Risulta:

, ,,

= 25,2 = 105,0 . = 0,2480

- ROTORE: Risulta:

, ,,

Abbiamo valutato, quindi, sia i fattori di correzione di reynolds sia i coefficienti di perdita di Ainley-

Kacker-Okapuu.

Mathieson-Dunham-Came, possiamo quindi valutare i coeff icienti di perdita totale secondo

Essi valgono: 2 2

() ()

= 0,914 ∙ ∙ ∙ = 0,06547 = 0,914 ∙ ∙ ∙ = 0,12747

,, ,,

3 3

Questi coefficienti saranno necessari per determinare l’efficienza dello stadio di turbina progettato.

La determinazione dell’efficienza totale a statica e totale a totale passa dal calcolo dei coefficienti di

ζ

perdita di energia cinetica e pressione totale che si calcolano come segue. Ciascun coefficiente

verrà calcolato sia per lo statore sia per il rotore.

Avremo:

=− = −4,4130

−1 1

[1 (1 ) ]

ζ 1 − + + −1

2

= = 0,15537 ζ = = 0,18395 = = 0,0604

2

1 + ζ 2

1

[1 (1 ) ]

ζ 1 − + + −1

2

= = 0,28462 ζ = = 0,39786 = = 0,0542

3

1 + ζ 2

3

= = 0,95834

2

stimare l’efficienza dello stadio con le seguenti relazioni:

Possiamo adesso −1 −1

2 22 2 22 2

+ + +

3 3 3

= [1 + ] = 0,7968 = [1 + ] = 0,73576

(ℎ ) (ℎ )

2 ∙ − ℎ 2 ∙ − ℎ

1 3 1 3

5 - Analisi all’hub e al tip

Abbiamo calcolato nel capitolo 1 i raggi di hub e tip, essi valgono:

= 1099 , = 988

ℎ

Nella sezione di ingresso allo statore (sezione 1) la velocità assoluta sarà la medesima sia per la

1

dato che l’abbiamo assunta costante lungo

sezione di hub, la sezione di mean-line e la sezione di tip la

direzione radiale.

= = 164

1

Calcoliamo adesso le velocità di trascinamento all’hub e al tip che, avendo assunto i raggi di hub e di tip

costanti in tutto lo stadio, rimarranno le medesime per tutte le tre sezioni considerate:

= ∙ = 310,2

ℎ ℎ

= ∙ = 345,1

di velocità all’hub e al tip e i gradi di reazione dobbiamo applicare una legge

Per determinare i triangoli

di equilibrio radiale al fine di legare i triangoli di velocità a linea media con i parametri all’hub ed al tip.

In particolare i triangoli di velocità saranno determinati in due metodi differenti, ovvero applicando prima

una delle due seguenti ipotesi e poi l’altra.

Esse sono:

Angolo di flusso costante in uscita dallo statore lungo tutta l’altezza della palettatura

1. (e quindi

al rotore costante lungo l’altezza di tutta la palettatura)

angolo di flusso in ingresso e la legge

del vortice libero in uscita dal rotore. Avremo quindi che:

= , ∙ =

2 3

2. Legge del vortice libero in uscita dallo statore ( e quindi in ingresso al rotore) e in uscita dal rotore.

costante lungo tutta l’altezza della palettatura.

Assumeremo sempre velocità assiale

Avremo quindi che: ∙ = ∙ =

2 3

all’hub e al tip prima con la prima ipotesi e poi con la seconda.

Determiniamo i tria