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Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo

Problema n. 8c

Partendo dalla relazione:

n 1

+ +

π π π π <

=

( 2 n ) 2 n 1 2 h 1 , ,

x

[ Tan ( x )] b [

Tan ( x )]

h 2

=

h 0

fornire l’espressione che definisce b , (h = 0,1,2,3,…,n), in funzione di n, (n = 1,2,3,…).

h

Risoluzione

Riprendiamo le formule indicate in (3c.1) π

n 2 ∑

π π π

+ + π

2 n π π − −

n h k 2 n 2 n 2 ixk

2 1 2 1

[

Tan

( x

)] = = ( 1

) ( 2 i ) k e , (8c.1)

b [

Tan ( x )]

h i ≥

=

h k 1

0 +

1 1 it

π π

= =

e poniamo , da cui: = ,

ln

Tan ( x ) t x ArcTan (t ) −

2

i 1 it

che sostituita nella (8c.1) fornisce: +

+

π 1 it

2 n 1 n

n −

( 2 ) ( 1

) k ln

+ +

π − −

k 2 n

2 n 1 2 h 1 1 it

= ( 1

) k e =

b t

h i ≥

= k 1

h 0 +

π − −

2 n 1 n

( 2 ) ( 1

) 1 it

∑ − k 2 n k

( 1

) k ( )

= ; (8c.2)

+

i 1 it

k 1

derivando la (8c.2), (2h+1) volte, rispetto a t, e ponendo dopo, t = 0, abbiamo:

+

π − −

2 n 1 n it

( 2 ) ( 1

) 1

+ +

π −

+

2 n 1 k 2 n k ( 2 h 1

)

k

[ ( 1

) ( ) ]

= ;

b ( 2 h 1

)! =

h t 0

+

i it

1

k 1 +

 

+

lim 2 h 1

2 h 1

− + + − −

  − +

− +

k k ( 2 h 1

) k ( 2 h 1 j ) k ( j )

ora, = [(

1 it ) ] [(

1 it ) ] =

[(

1 it ) (

1 it ) ]  

= →

t 0 t 0 j

 

=

j 0

+ + −

 

+ Γ + − Γ + −

2 h 1 j j

2 h 1

2 h 1 ( k 1

)( i ) ( k j )( i )

∑  

= =

  Γ + − − + Γ

j

  ( k 1 2 h 1 j ) ( k )

=

j 0 +

 

+ Γ +

2 h 1

2 h 1 ( k j )

∑   − −

h

( 1

) ( i ) k

= =

  Γ + −

j

  ( k j 2 h )

=

j 0 +

 

+ 2 h 1

2 h 1

∑   − − + − + − + −

h

= ( 1

) ( i ) k ( k j 1

)( k j 2

)...( k j 2 h ) =

 

j

 

=

j 0 +

 

+ 2 h 1

2 h 1 2 h

∑ ∑

  − − + −

h u

= ( 1

) ( i ) k s ( 2 h

, u ) ( k j 1

) =

 

j

 

= =

j 0 u 0

+

   

+ 2 h 1 u

2 h 1 2 h u

∑ ∑ ∑ −

   

− − −

h p u p

= ( 1

) ( i ) k s ( 2 h

, u ) k ( j 1

) ; pertanto:

   

j p

   

= = =

j 0 u 0 p 0

+

b ( 2 h 1

)! =

h +

+    

+

2 n 1 n 2 h 1 u

h h u

2 1 2

2 ( 1

) ∑ ∑ ∑ ∑ −

   

− − − −

k 2 n h p u p

( 1

) k

= ( 1

) ( i ) k s ( 2 h

, u ) k ( j 1

) =

   

j p

   

i ≥ = = =

k 1 j 0 u 0 p 0

+

   

+ 2 h 1 u

2 h 1 2 h u

∑ ∑ ∑ ∑

+ − − + +

   

− − − −

2 n 1 n 1 h u p k 2 n p 1

= 2 ( 1

) ( 1

) s ( 2 h

, u ) ( j 1

) ( 1

) k =

   

j p

   

= = = ≥

j 0 u 0 p 0 k 1

Dettagli
Publisher
A.A. 2017-2018
3 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/07 Fisica matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher sbardy di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per la fisica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Milano - Bicocca o del prof Pasquetti Sara.