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Problemi di Analisi Complessa Matematica proposti dal Dott. Ing. Pasquale Cutolo
Problema n. 8c
Partendo dalla relazione:
n 1
∑
+ +
π π π π <
=
( 2 n ) 2 n 1 2 h 1 , ,
x
[ Tan ( x )] b [
Tan ( x )]
h 2
=
h 0
fornire l’espressione che definisce b , (h = 0,1,2,3,…,n), in funzione di n, (n = 1,2,3,…).
h
Risoluzione
Riprendiamo le formule indicate in (3c.1) π
n 2 ∑
∑
π π π
−
+ + π
2 n π π − −
n h k 2 n 2 n 2 ixk
2 1 2 1
[
Tan
( x
)] = = ( 1
) ( 2 i ) k e , (8c.1)
b [
Tan ( x )]
h i ≥
=
h k 1
0 +
1 1 it
π π
= =
e poniamo , da cui: = ,
ln
Tan ( x ) t x ArcTan (t ) −
2
i 1 it
che sostituita nella (8c.1) fornisce: +
+
π 1 it
−
2 n 1 n
n −
( 2 ) ( 1
) k ln
∑
∑
+ +
π − −
k 2 n
2 n 1 2 h 1 1 it
= ( 1
) k e =
b t
h i ≥
= k 1
h 0 +
π − −
2 n 1 n
( 2 ) ( 1
) 1 it
∑ − k 2 n k
( 1
) k ( )
= ; (8c.2)
+
i 1 it
≥
k 1
derivando la (8c.2), (2h+1) volte, rispetto a t, e ponendo dopo, t = 0, abbiamo:
+
π − −
2 n 1 n it
( 2 ) ( 1
) 1
∑
+ +
π −
+
2 n 1 k 2 n k ( 2 h 1
)
k
[ ( 1
) ( ) ]
= ;
b ( 2 h 1
)! =
h t 0
+
i it
1
≥
k 1 +
+
lim 2 h 1
2 h 1
∑
− + + − −
− +
− +
k k ( 2 h 1
) k ( 2 h 1 j ) k ( j )
ora, = [(
1 it ) ] [(
1 it ) ] =
[(
1 it ) (
1 it ) ]
= →
t 0 t 0 j
=
j 0
+ + −
+ Γ + − Γ + −
2 h 1 j j
2 h 1
2 h 1 ( k 1
)( i ) ( k j )( i )
∑
= =
Γ + − − + Γ
j
( k 1 2 h 1 j ) ( k )
=
j 0 +
+ Γ +
2 h 1
2 h 1 ( k j )
∑ − −
h
( 1
) ( i ) k
= =
Γ + −
j
( k j 2 h )
=
j 0 +
+ 2 h 1
2 h 1
∑ − − + − + − + −
h
= ( 1
) ( i ) k ( k j 1
)( k j 2
)...( k j 2 h ) =
j
=
j 0 +
+ 2 h 1
2 h 1 2 h
∑ ∑
− − + −
h u
= ( 1
) ( i ) k s ( 2 h
, u ) ( k j 1
) =
j
= =
j 0 u 0
+
+ 2 h 1 u
2 h 1 2 h u
∑ ∑ ∑ −
− − −
h p u p
= ( 1
) ( i ) k s ( 2 h
, u ) k ( j 1
) ; pertanto:
j p
= = =
j 0 u 0 p 0
+
b ( 2 h 1
)! =
h +
+
+
−
2 n 1 n 2 h 1 u
h h u
2 1 2
2 ( 1
) ∑ ∑ ∑ ∑ −
− − − −
k 2 n h p u p
( 1
) k
= ( 1
) ( i ) k s ( 2 h
, u ) k ( j 1
) =
j p
i ≥ = = =
k 1 j 0 u 0 p 0
+
+ 2 h 1 u
2 h 1 2 h u
∑ ∑ ∑ ∑
+ − − + +
− − − −
2 n 1 n 1 h u p k 2 n p 1
= 2 ( 1
) ( 1
) s ( 2 h
, u ) ( j 1
) ( 1
) k =
j p
= = = ≥
j 0 u 0 p 0 k 1