Primo parziale Fondamenti di segnali e trasmissione – 18 Aprile 2023 (Soluzioni)

QUESITI

Si definisca la di

media seguale

potenza tempo s(t)

continuo

.

1 un a

Il

lim

P =

Questa grandezza la di segnale

media del

qualità di

trasmessa

rappresenta unità tempo

energia per .

le Dirichlet

Elencare di

condizioni Fourier

la di

della

2 serie

convergenza

per

. Un seguale tempo le Condizioni

soddisfa di Diriclet

Fourier

continuo periodico ammette

X(H) di

la serie se

a :

(

periodo

integrabile (x(HId

assoluto

X(t) è valore +

in

un :

un

· +

finito discontinuità

x(t)

periodo di di

ha

in ogni prima specie

numero

, un

· finito

ha di locali

xCH)

in periodo massimi minimi

un numero

ogni e

· , reale

il

Se trasformata

segnale aperiodico dispari

è la

x(t) allora Fourier e

di

3

. e sua .

,

dispari

immaginaria e di

La rect

tra due

convulzione unitaria ,

durata (con AsB)

ampiezza A

. B

4 e

, e ..

recta (t) trc

recti (t)

@ (t) =

dove la funzione più

altezza

è piccolo

rettangolo

durata

di all'area del

triangolo

risultante AtB pari

massima

un con :

,

triangolo base A altezza

B B)

(A

+ min ,

,

la trasformata

Se lak

x(t) modificata

X(f)

di è x(at)

risulta

di trasformata

Fourier la di

.

5 1

spiegare con

come

,

Il del afferma

teorema scala

cambiamento di :

EX(t)

)

x(a + lo

lak dilatato

è

il nel

seguale è spettro schiacciato

tempo ampiezza

1 in

-

compresso e

le

Elencare di

risposta

della (TI

proprietà impulsiva sistema causale

stabile e

.

6 un

Per sistema (TI

un :

h(t)

causalità to

0

= per

= (

h(tel7 Ih(tot

stabilità cioe :

BIBO

· ,

Definire densità di

la spettrale di seguale X(t)

. elencarne le proprietà

ed

energia un

7 (x(f)12

La Sx(f)

spettrale (ESD) definita

di i

densità come

energia : =

X(f) la

è trasformata

dove Fourier

di x(t)

di .

Proprietà :

è reale negativa

e non

· è Sx(f)

Sx(-f)

pari

· =

: =

/Ix(d IX(of

E (Teorema

l'energia totale e Parsela

di

: =

·

DIMOSTRAZIONI

Dimostrare allora della

è di

che coeficienti

reale

segnale i

periodico

1

. in serie

un espansione

sua

se , Hermitiona

(nella forma da

Fourier simmetria

caratterizzati

complessa) una

sua sono . (forma

allora di

della

Xk Fourier

seguale X(t) cofficienti

periodico (

reale complessa

ENUNCIATO se i

è

: suoi

un serie

,

Hermetiana X

X-k

la

soddisfano simmetria : = Xeoikfot

la di forma X()

Forrier in i

complesse

serie

Dimostrazione : =

: kx

+R

poiché allora *

(t) <(t) x(t)

:

x =

, *= Xerkt

il della X(t)

comingato

prendiamo complesso serie :

= e

K'

facciamo X()

indice -K

di

cambio =

un : ↓

: Xenket Kenikfot

*

max(t) * quindi

X(t) .

=

= , m

X

confrontando X-R

termini

=> i : =

Enunciare di

della

dimostrare moltiplicazione trasformata

della Fourier

teorema continua

il

2 e

. (

_

h(t) H(f) X(r)H(f

(t) altoray(f)

se y(t) X( ) H)dr

+

X

ENUNCIATO =

=

: = . -

CHhCHe-oftelt

1

F(x(t) h(t))

Y(f)

trasformata

la del

DIMOSTRAZIONE prodotto

Scriviamo = x

: : .

= ejutd

/H(r)

antitrasformata

h(t) h(t)

di

scriviamo Forrier

come =

: Hed

=

ed]e

1x(H(r)

Y(f)

sostituiamo = ( (XH)(f)

r)du

H(r)X(f =

-

=

Enunciare di della

integrazione

dimostrare trasformata

il di

continua

3

. teorema completo Fourier

e /x(t)e-oftot

se X(t) e X(f)

ENUNCIATO : infinito e:

supporto

a =

(X(Hdt X (d)

allora : = ( x(d

...

(x(H)e-int

X(0) +

definizione

DIMOSTRAZIONE : =

: =

per Wiener-Kintchine

di

dimostrare il

Enunciare teorema

4 e

. la densità di

spettrale Sx(f) la

è trasformata

di della

potenza segnale Fourier

stazionario funzione

di

enunciato un

: ++

(Rx(

Sx(f) +

) e-cen

Rx(t)

di autocorrelazione +

: = limxHx

RX(t)

assumendo media nulla

segnale stazionario definisce

dimostrazione : si

a =

:

, )}

Rx(t) FERx(

Sx(f)

trasformata di Fourier

applicando la Sx(f)

otteniamo +

ovvero :

a =

, ,