Primo parziale Fondamenti di segnali e trasmissione – 12 Novembre 2020 (Soluzioni)

EX()

Yk EX(E)

= =

(E) (E)

X (Ki) 0(-1) (E)

Ocos sin

(K)-Osime

sinc

16

+ -0

+o

= - = ·

-

K/4 K/4

jit

j2n .

.

Yk (2)k (k(2)

E 0 Osinc

= -

-

. j1 .

8(-1)k_ Osimc(k/2) ko

se

I - jotk

Ck = sek 0

0 =

Calcolare y(t) x z(t)

di

lo 1(t)

spettro X

=

(2t)

Xs(t) (2t) cos (124t)

(10nt) Xe(t)

sime" 4 sinc

=

con cos e =

.

Xe(f) =tri (t &tri(t)

5)

= = +

↑ Xa(f)

1/4 - 3

57

3

3

5

7 -

-

- (t)

(f) ((*)

Xz rect rect

= +

aXz(f)

1 -

!

-E -

Yz(t)

Y(f) Xy(f)

= . Y(f)

a

2/4- 7

I

-s 7

-I

3

. 2cs(10

6 simc(xt)

X(t) cos(ont)

t)

+ +

= +

X(f) rect(f) 5)

6(f 6(f 4)]

6(f E[b(f

5) 4)

+

= +

+ + +

+ -

-

hzQx(t)

ye(t) = 4 simc(4t) (t)

he(t) He(f) rect

>

= = =

Ye(f) rect(f(6)

rect(f(x) rect(f(6)

Hy(f) X(f) =

= = .

.

yz(t) xe(t)

ye(t)

= . 2[S(f 2) 6(f

Xn(t) 2)]

Xe(f)

4(s(4πt) +

>

= +

= -

=

(2(f) 1[y(f 2) rect

2)] ) (t))

(

y1(f 1 rect

= +

+

+ =

he(t)yz(t)

yz(t) =

he(t) simc(2t) rect(f(z)

(f)

6(t) Hz

2 1

>

= =

= -

-

Y3(f) (f) Yz(f)

Hz

= ·

+)

y( yz(t) Xc(t)

= - 6(f 4)]

E b(f 4)

cs(o

X2(t) +) Xz(t) +

+

= -

=

= +

y4(f) 4)]

=[y3( 4) y3(f

+ - +

= +

y(t) by(t)Qyq(t)

=

by(t) rect(f/4)

simc(47) H3(f)

>

=

= =

y(f) Hy(f) ((t)

= .

Parte Teorica

QUESITI

Calcolare di A

media

energia sinusoidale

segnale continuo di

potenza tempo T

periodo

1

. ampiezza

e e

un a .

Acos(t)

Segnale x(t)

sinusoidale =

:

ENERGIA DEL SEGNALE =

Per l'energia

tempo E x All'at

è

seguale definita

continuo

un a come

, :

Nel di l'energia infinita

periodico è E

segnale

caso =

,

un :

MEDIA

POTENZA DEL SEGNALE

La =

media P (x(dt

segnale periodico

potenza di e :

un

Acos(

Nel )

mostro (

(t)

(t) )

A cos

x

+

x

caso : = = +

=

E P

Allora P cost

1 +

: = O

=

le

Elencare Dirichlet di

condizioni della

la Fourier

di

2 serie

convergenza

per .

. Affinché la di soddisfatte

x(t)

Fourier le

segnale condizioni

di devono

periodico seguenti

serie :

essere

converga

un ,

il At

di T)

T

periodico

periodicità periodo

deve x(t

x(t)

segnale

1

. (t)

ovvero

essere

: : + x

=

, discontinuità

discontinuità di

il di

finito

di seguale deve periodo

finito prima specie in

avere

2 numero

numero : un

un

. il finito

segnale di periodo

finito deve

di minimi in

estremi massimi

avere

numero

.

3 e

numero

un un

: 1 Ix(da

valore

assoluta periodo

integrabilità integrabile

deve assoluto

segnale

periodo il

. su in

4 essere

un :

un

su

:

Tra la l'onda module velocemente

della

dei

triangolare al

coefficienti

due segnali

quale che più

ha Fourier

3

. di

serie

rampa zero

va

,

e a

con

?

di perché

crescere e

m ,

L'anda è

perché più

triangolare tendono

Cn regolare

che più della

velocemente

ha quelli

corficienti rispetto

a vero rampa

a , .

triangolare crompe

(n

In particolare , trasformata di Fourier

Se è

il è

aperiodico allora

reale

X(t)

segnale dispari la

4

. sua

e ...

,

X (f) immaginaria dispari

e

In (t/T)

trasformate

differiscono le ?

((t-5)/T) che

Spiegare

di rect spettro

di differenze

di di

le

rect lo

Fourier

. sia

cosa

5 ampiezza

per

e per

lo di

spettro fase

.

Le trasformate di Fourier rettangolo

seguali

dei due sono :

(t/T))

F & T

rect (fT)

simc

· .

=

F(rect +5

e-zot

(t[5)) -

(fT)

T Sinc

· . .

=

Lo (X(f)l

dal

spettro di modulo (fill

Tsime

della

è trasformata seguali

dato entrambi

per

: i

ampiezza : =

di

Lo la modulo

è temporale

traslazione modifica trasformata

della

spettro il

identico

ampiezza non

:

Lo (X(f)2-2nf

fase

di

spettro il segnale

esponenziale

del fattore secondo

cambia 5

per

a causa : .

:

Lo di

di ritardo

spettro fase retta unità

rappresenta

è temporale

inclinata s

una e un

,

definisce

Un tempo continuo Fare

causale sistema causale

sistema di

di sistema

si causale

se poi

6 esempio

un non

a uno

e .

. ...

tempo del

la

Un solo valori

definisce to

sistema istante dipende dai

causale uscita

a certo

si in

continuo se sua un

segnale X(t) teto

di ingresso per

=

y(t) )d

gx(

+

s Causale +

Esempio :

. / 1 x (T)d

+

y(t)

NON

ESEmplo Causale

S +

: =

.

Definire densità di potenza

spettrale

la di finita

seguale x(t) potenza

7 un a .

. Per Sx(f)

(cioè densità

la

finita finital

segnale definita lim (f)12

Sx(f) (x

potenza potenza è

di

spettrale

energia

un come

non

a a =

: +

,

è

(f)

X+ rect(t)

trasformata

la della x(t)

temporale (t)

di cioe

durata

di Fourier finestra applicato

dove X (t)

T a +

: x

= .

,

DIMOSTRAZIONI

Enunciare dimostrare della continua

il Fourier

teorema dualità

1 di

trasformata

di .

e

. <E <

X(f) dualità

allora anche

vale

X(t) X(t) X(-f)

di

il

ENUNCIATO teorema

: se :

per

, X(e-oftet

della trasformata X(f)

di

definizione

partiamo Forrier

dalla diretta

Dimostrazione : =

: /X(te-in

FIX())

trasformata

X(f) di di XCH

Consideriamo

nota la Forrier

che sia

supponiamo =

ora . : (X(t) e-and

sostituiamo X(t)

definizione

X(T)

XCH)

l'espressione di

di dalla

attenuta

termini inversa

in = +

:

,

(((X(T)edt)

Fhx(H3 vinte

quindi e

= _

(

degli (/e-ott)

integrali

l'ordine

invertiamo (4) di

: Sett )

(

l'integrale delta

è la

interno del Dirac

di

trasformata +

: =

F\x(t)) 1 (t) (( 4)

f)d+

allora f)

x + +

= = -

<Ex (-f)

X(t)

conclusione

in

dimostrare

Enunciare cambiamento

il di

trasformata

Teorema del della

di scala Fourier

continua

2 e

. valexat)

X(t) R

X(f) allora ogni +

se e

per 0

a

Enunciato : ,

, , (latt

la erändt

F(xat))

della

definizione

Applichiamo trasformata al

di seguale

Fourier scalato

Dimostrazione : : =

facciamo (Xuledu

il =

d

=.

at

divariabile

cambio + ed

Sostituendo

dt

= (4)

u = :

= .

Fax (*)

F(x(at))

quindi =

X(at) s

conclusione

in

Enunciare completo della trasformata

il di

teorema

dimostrare continua di

3

. integrazione Fourier

e .

(E) (_x(Hat

finita

seguale X(f) X(d

Sia energia trasformato Allora

X di

Enunciato Fourier

un

: a con =

:

.

/X(t)e-Ecratdt

ER (a)

più X

generale

in ogui a

per

e , =

: