Metodi matematici per l'ingegneria - parte laboratorio

ESSERC TERMINI

DOUREBBERO QUANTO

MON 0 n

IN =

GRAFICO

& FOURIER

DI TRONCATE

a(t)

GRAFICO :

FIGURE 1)

(6 1

Subprot ,

,

(t y)

pot , ('a(t)'

SUBTITE K

GRAFICO Sk(t) 7 9

UVEWI 11

Al = ,

,

k 7 ;

= k)]

[I 1) (1

(1

(1 K)

*

Y

Y7 N-2xk

ONES onEs

ZEROS -

= ,

, ,

. , ,

,

(Y7 N)

IFFT *

y7 = 2)

14

SUBPrT 1 ,

,

y7)

( +,

PrT 7)

('SERIE FOURIER AL

TRONCATA LIVERO

DI

SUBTITIE =

k 9;

= [1 -1)

(1 k)]

(1

* K) (1

Y

Y9 %

N-2

ONES ONEs

ZEROS

= , ,

,

. ,

, ,

IFFT(yg9N)

y9 = (G 3)

1

SUBprot ,

,

(t

a y9)

+ , 9)

I

( FOURIER K

SUBTITUE SERIE DI AL UVENO

TRONATA =

K 11 ;

= (1

(1

[1 11]

* N-29-1)

1) (1

Y

Y11 ONEs zEros Ones

= . ,

,

, ,

,

1FFT(Yl1 N)

*

yx =

subprot/i 4)

1

, ,

y11]

(t

Pur , 11 ')

K

L'Serie FOURIER Al

SUBTITLE TRONCATA

DI UENO =

OSSERVIATO COINADONO

CONFRONTIAMO GRAFICI MON

CHE

E

I

DUNQUE FALSO

L - 2

S(G(t)-112 dt

3 INTEGRALE DEFINITO S Dell'operatore

UNEARITà INTEGRALE

SFRUTTIAMO

l 2

2

factd -a) alt)dt

Sedt

+ + (Y)12 % PARSEVAL

INT1 21 pix NORM

= pi

2 %

INT3 Costante

= (Y (1))

2 pix

*

-2 220)

%

INT2 REAL

= VERO

S

INT3

INTR 17813/

+

INT INTI 1

+ =

= .

X

X SI

No

GRADIENTE

IL J

- ab cos(bx cy)

+

y)

Df(x = cos(bx

ch

, cy)

+

[ab [8]

%

48(x = =

Jabcos

* )

ne(x = HESSIANA

MATRICE

Calcolaro la I

i ab2 abc

sim(bx cy)

sim(bx

H cy)

+ +

-

= - acsim(bx cy)

cy)

abcsim(bx +

+

- -

determinante

calcoliamo il cyll"

det *

albach(sim(bx

(D abc (sim(bx

y1) cy)1

f(x + + 0

= =

-

, cy))"

cyl)

(sim(bx a b c (sim(bx

<

alb +

+ 0

=

- 1)

cy)) (1

alb"c(sim(bx + 0

=

- super-uneare

vineare e

anche

Quadratica

se

* >

-

X y3 1) 01

f(x da

x* 12 12

y) x

xy +

+ xk

= + 1

=

= , ,

, dk

*

Ixk)

↑ f

definizione Direzionale

derivata

di Di

da

X RISPETTO

PUNTO

NEL

CALCOLIAMO GRADIENTE

IL : PUNTO

NEL

ALCOLATO

CHE

2x +

Df(x X

y) =

, 1)

12

XK VALE

= :

3y2 ,

y

+ [3]

4 + 1)

(2 =

,

A PUNTO

QUESTO POSSIAMO CALCOLRE

ANDARE VALORE

IL

A RISPETTO

DELLA DERIVATA DIREZIONALE RICHIESTO A

NEL PUNTO

dk 0)T

(2

= , 5][8]

Is 10

=

VERO

1 derivata

diressone discesa la

di

FALSA

2 per avere una

dicessionale deve negativa

essere

ARMIJO

CONDIZIONE Per SCELTA PASSO

L SPOSTAMENTO

DI DEL DI

X O Ovvero

> fakYf(x)Tdk

f xdk) 1)

f(xk) g - (0

(Xk =

+ + CON ,

dk

Possiato Del PUNTO DIREZIONE

COORDINATE XK

Sostituire DELLA

E

Le È

PER ABBIAMO

QUANDO

VERIFICARE CONDIZIONE

L SODDISFATTA

.

& f(2 1)

dal

12 2xk

+ +X

<

+

1 0 10

+

. ,

. 1)

f(2

& 24k10

0)

2xk

(2 + +

+ ,

, "

4x E

a 2xk10

+

+ axk

+

uxk" =

5

exk10 -

uxk

+ 4

+ -

-

4xk 109)

xk(u 1

1 0

+ -

- FALSO

X

X DI CONSEGUENZA

FALSA

ax3 cyz R

bxy b

f(x y) c -

+ a

con

+

=

, , ,

GRADIENTE

CALCOCARO IL Tax-by

I

Df(x y) =

, L'HESSIANA * ,

CALCOLAGO 10

ANCHE 0 sostituisco

,

↓

b

Jax

Daf(x 1

H I

y) =

, 22

b 2G

TR = b2

DET -

=

PER STAZIONARI

TROVARE I PUNTI VERO

b

3ax

by

3ax2 +

+ 0 p =

= -

bx b

2yc 0 - y

+ = = X 0 0

y

= =

b)

X(3ax b

+ 0

= - -

X y

= = ba

y -

=

1

ESERCIZIO :

# SCRIVERE

HJ

[z LA

Per

CODICE FUNZIONE

a FIX)

:

M FUNCTION =

,

,

X(1)

X ;

= X(2)

y ;

= TRACCIA

FUNZIONE

Z = 2

NARGOUT

IF =

3

f'(x)

G (1) ;

= f'

(2) (y)

G = ;

IF 3

NARGOUT =

=

f"(x)

1)

H(1 "

=

, f'(xy)

2)

H( =

, H 2)

(1

1)

H ( =

, ,

f"(y)

H (2 2) ;

=

,

END

END

END

PUNTO

I . 1]

[1

XO

HESSIANA

DOMANDA MATRICE IN PUNTO

SU ;

· UN =

1]

[1 %

XO ; Inizializzo vettore

corce

punto Colonna

un

il

;

= HOj f(XO)

[v %

~, Estraggo Valore Della QUEL

FUNZIONE PUNTO

= In

Il

;

, (HO) %

AUTOVALORI ELG CATEGORIZZARA

Per

MATRICE

ALCOLO AUTOVALORI

aU Della

;

= [1 1]

XO

GRADIENTE

DOMANDA

· UN PUNTO

SU IN ;

=

[1 1

X0 ; ;

= G0j F(XO)

[v = ;

, (GO)

NORMA-C NORM ;

= SelA

LIVECO

CURNE MIN

#. SU MAX

DOMANDE DI

PUNTO : , ,

,

25 [3

[1 4]

TRACCIA DOMINIO x

UN

DA

LA CI ,

,

%

2 NELLA

1 Discretizziamo DOMINIO

Il TRACCIA

X INDICATO

= 01 ;

:. : 4

3 01

y ;

:

:.

= GRIGLIA RAPPRESENTA

CHE

UNA CARTESIANO

CREIAMO PRODOTTO INTERNAUL

DUE

DEL

IL

YJ

[X y)

(x

RESHGRID

: ;

,

, F

ANDIAMO COORDINATA VALORE

CALCOLARE IL

A MEMORIZZATO

OGNI

In Li

E

M

DI .

Z

IN (size(X)) Matrice

z della X

Zeros Stessa DIMENSIONE Di

;

= (X 1/

FOR i 1 SIZE

= : , (X 2)

FOR 1

5 SIZE

= : , 5) ])

([X (i

5)

5) Y

(i

(i F

z ;

;

= , ,

,

END

END

PER VISUALIZZARE

ANDARE A GRAFICI

I :

SURF

UTIUzzIaro

· FIGURE 1)

(1 2

SUBPUT ,

, z)

(X Y

SURF ,

,

('x')

XLABEL L'Y

YLABEL y))

('f(x ,

SHADING %

INTERP CORRISPONDENTI

LE

SUPERFICIE GRIGUA

UNEE ALA

TOGUE DALLA

UTILIZZIAMO CONTOUR

· 2)

(1

SUBPLOT 2 ,

, 300)

Z

Y

(X

CONTOUR ;

,

, ,

COLORBAR

(1X'(

LABEL

X (1Y')

LABEL

Y DOMANDE

#I EMINUNC

PUNTO SU

:

. 1]

[1

*=

BFGS X

CASO ;

con

>

- 1]

[1

x1 ; ;

= 'ITER-DETAILED'

DISPLAY'

('FMINUNC'

OPTIMIOPTIONS

OPT = ,

,

MAXITERATIONS' N TRACCIA

DA ,

,

MAXFUNCTIONEVACATION' TRACCIA

I DA

, ,

'OPTIMALITYTOUERANCE X

e TRACCIA

Da

I ,

,

I STEPTOVERANCE' X TRACCIA)

le DA ;

,

(OPT -NEWTON'

ALGORITHM'

OPT QUASI

OPTIMIOPTIONS

= ,

, ,

' GRADIENT'

OBJECTIVE

SPECIFY TRUE ,

,

' BFGS')

'HESSIAN APPROXIMATION' ;

,

FMINUNC

CHIAMIAMO FUNZIONE

A

· OUTPUTI]

[xMINI opT)

/OF XI

FMINI EFI FMINUNC

=

, ,

, , ,

1]

[1

*=

REGION

TRUST

CASO X ;

CON

>

- [ 1]

X2 1 ; ;

= 'TRUST-REGION

(OPT 'ALGORITHM'

OPTIMIOPTIONS

OPT = ,

,

,

' GRADIENT'

SPECIFYOBJECTIVE TRUE ,

,

HESSIANFCN' 'OBJECTIVE') ;

,

FRINUNC

CHIAMIAMO

· OPT

OUTPUTI] (OF

[XMIN2 X2

EF2

FRINC FMINUNC

=

,

, , , ,

2

ESERCIZIO

G

. M G(t)

FUNCTION y = CODICE PER

LENGTH(t)

FOR i 1 :

= A

AVERE

t(i) #

WHIL pi

2 FUNZIONE

> =

t (i) t(i) *

2 pi ;

-

=

END t(i) 0

WHIL <

t(i) t(i) pi

2 *

+ ;

=

END "E

* t))

(sim

***

/S (n

RICORDA

MA

Y *

DATA

FUNZIONE ES 1- COS

= : .

END

TRACCIA W

N %

2 CAMPONI

NUMERO DI

= INTERVALO

25 pi/N OGNI

Amplezza DI

%

DECAT =

t 10 1) DELAT

*

N-

= :

G(t)

y =

Y ffT(y)/N

=

THRESHOLD n

-

12

: THRESHOLD)

(ABS(Y)

FIND

INDICES <

= (INDICES)

Y

COEFE NON-NULLI =

- COMPLESSO

Ha CONUGATO

NON Stesso

CO CONCIDO Se

CON

>

- -

Y(1) C(x 1)

= -

(256)

Y C( 1)

-

=

-

FIGURE 17

suBprot/4 1

, ,

(t

PLOT 9)

,

('G(t)')

SUBTITLE

k 2i

= [1

Y * KI

1) (1

(1 /1

Y N-2 *

ZEROS -11

ONES ONES

, ,

= ,

. , , ,

,

N)

*

FFT(y2

y2 1

= (M 2)

SUBPLOT 1 ,

,

(

Prot y2)

+, 21/

FOURIER 1

L'SERIE TRONCATA IN

DI

SUBTITLE =

INTEGRALE

2π g()" PARSEVAL

S d D vauguenza Di

- NORM(Y/12

6 INT = *

NORM(y1

20 pi 2

·

2 IT

i) (0)

DEFINIZIONE

g(t) at a

-D (1) (

(Y

INT REAL

= REA)(y(1))

pi

*

2

b)

y)a

10(x (y

y +

= - -

10(x* yz y)

2xy) -

(yz

+ + + -

-

10y2

10x2 y 4

axy y

+ + +

- -

I

Mf 20x- 2oy

all)

>

- =

G(2) 20y 20x 2y

+ 1

= -

-

Df" 1)

H(1 20

>

- =

, 2)

H(1 20

-

=

,

H 1) 20

(2 = -

,

H (2 2) 22

2

20 +

= =

,

xy) (axxy "

Hey)

(32 x

f(x +

y) + +

-

=

, -

a C y3)

y4)

1)

ca) 2)

G(1) ab(

+

1 +

1 + 1