Meccanica dei fluidi - esercitazioni

ESERCIZIO 1: SERBATOIO STRATIFICATO

Nello schema considerato si ha un serbatoio che con ene tre fluidi cara erizza da tre pesi

specifici diversi. Nel serbatoio sono presen un gas nella parte superiore, un fluido con peso

specifico γ₁ nella parte intermedia, e un fluido con peso specifico γ₂ nella parte inferiore, sul

fondo del serbatoio.

ℎ

ℎ

ℎ

Nel sistema si conoscono le cara eris che dei fluidi, ovvero i loro pesi specifici, e si

conoscono le cara eris che geometriche. In par colare, si conoscono le altezze h₀, h₁ e h₂,

che rappresentano rispe vamente le altezze dei vari stra di fluido all'interno del

serbatoio. Inoltre, si trova un manometro metallico connesso allo strato di gas nella parte

superiore del serbatoio.

Questo esercizio chiede di calcolare la pressione in corrispondenza delle due interfacce tra i

diversi fluidi. Si prendono quindi tre pun significa vi: il punto A posizionato sull'interfaccia

tra il gas e il fluido γ₁, il punto B posizionato sull'interfaccia tra il fluido γ₁ e il fluido γ₂, e il

punto C posizionato sul fondo del serbatoio. L'obie vo è calcolare la pressione nei pun A,

B e C, e successivamente ricostruire il diagramma completo delle pressioni. Individuare poi il

piano dei carichi idrosta ci.

SVOLGIMENTO

Una prima osservazione fondamentale riguarda la stra ficazione dei fluidi. I fluidi si

stra ficano naturalmente con quelli a peso specifico maggiore che si posizionano sul fondo.

Quindi si ha necessariamente che γ₂ è maggiore di γ₁, che a sua volta è maggiore del peso

specifico del gas. Quest'ul mo è molto piccolo, tanto da poter essere trascurato nei calcoli

delle variazioni di pressione su altezze rido e.

È importante comprendere cosa sia un manometro metallico e come funzioni. Un

manometro metallico è uno strumento di misura che misura la pressione, quindi fornisce

una le ura n che rappresenta una pressione misurata in corrispondenza del baricentro dello

strumento stesso. Quando un esercizio fornisce un manometro metallico con una le ura ,

bisogna sapere che la pressione fornita è quella rela va al baricentro del manometro.

Il manometro metallico è uno strumento di dimensioni molto piccole, di forma circolare,

dove è presente un piccolo foro e un tubicino che lo collega allo strato di fluido che si deve

misurare. Il fluido entra nel tubicino ed entra all'interno dello strumento. All'interno del

manometro, per completare la descrizione anche se questo de aglio non è stre amente

necessario per la risoluzione degli esercizi, è presente una molla cava che ha una forma

par colare, approssima vamente a spirale.

Il fluido entra a raverso il foro e va a riempire questa molla cava. La molla, essendo

riempita dal fluido, subisce delle pressioni sulla sua superficie interna. Secondo la legge di

Stevino, la pressione in un punto inferiore della molla sarà leggermente maggiore della

pressione in un punto superiore. Tu avia, poiché lo strumento è molto piccolo, si può

considerare che la pressione vari in modo trascurabile all'interno dello strumento stesso.

Quindi si può considerare una pressione P costante applicata alle superfici della molla.

La forma par colare della molla, con la superficie inferiore che è minore della superficie

superiore, determina una risultante delle spinte che va a srotolare o arrotolare la molla. Lo

strumento è opportunamente calibrato e a raverso questo meccanismo fornisce la misura

della pressione. La pressione misurata è quella nel baricentro dello strumento, proprio

perché si è fa a questa approssimazione sulla costanza delle pressioni all'interno del

manometro, compensando gli effe dell'altezza considerando il valore nel punto centrale.

Quindi questo manometro metallico fornisce la misura della pressione n nel baricentro dello

strumento, e questa pressione n è maggiore di zero. Si vedranno successivamente anche

esercizi con pressioni nega ve, ovvero pressioni inferiori alla pressione atmosferica.

Molla cava

Prima di iniziare la risoluzione, è consigliabile lasciare sempre a destra dello schema del

sistema uno spazio dedicato dove si andrà a costruire il diagramma delle pressioni. Si

imposta quindi un sistema di riferimento bidimensionale dove sull'asse ver cale si riportano

le quote, ovvero le altezze nel sistema, e sull'asse orizzontale si riportano i valori delle

pressioni. ̃

ℎ

ℎ

ℎ

Per iniziare la risoluzione, si deve par re da qualcosa che si conosce. In questo caso,

l'esercizio fornisce la misura della pressione in corrispondenza del manometro. Il

manometro è collegato allo strato di gas nella parte superiore del serbatoio. Una proprietà

fondamentale dei gas è che, per volumi di gas rela vamente contenu e su altezze limitate

come quelle piche dei nostri sistemi, si può considerare che la pressione abbia una

distribuzione costante.Questo perché il peso specifico del gas è molto piccolo, e quindi la

variazione di pressione dovuta al peso del gas stesso risulta trascurabile nell'ordine di una

decina di metri di altezza.

Di conseguenza, la pressione n che si misura nel baricentro del manometro è anche uguale

alla pressione in qualsiasi altro punto dello strato di gas, e quindi in par colare è uguale alla

pressione nel punto A. Quindi la prima informazione cercata è già stata calcolata

immediatamente: la pressione del gas nel punto A, che è anche uguale alla pressione del

gas in generale in qualsiasi punto dello strato gassoso, è uguale a n:

= =

A questo punto si è arriva all'interfaccia tra il gas e il fluido γ₁. Il punto A si trova

esa amente su questa interfaccia, e può essere visto come appartenente sia al gas sia al

fluido γ₁. Per il principio di con nuità, in questo punto deve esserci la stessa pressione sia

considerando il gas sia considerando il fluido so ostante. Questo perché ci si trova in un

sistema in quiete e deve essere garan to l'equilibrio sta co. Non possono esserci

discon nuità di pressione all'interfaccia in condizioni di equilibrio. Quindi questa pressione

n, che è uguale alla pressione nel punto A considerando il gas, è anche uguale alla pressione

nel punto A considerando il fluido γ₁.

= ==

Questo passaggio è fondamentale perché ora si conosce la prima informazione di pressione

necessaria sul fluido γ₁. È importante ricordare sempre che, per applicare la legge di Stevino

a un fluido, si deve conoscere la pressione in almeno un punto del fluido che si sta

considerando. In questo caso, a raverso il passaggio di con nuità all'interfaccia, si è

o enuta l'informazione necessaria: si conosce la pressione nel punto A rela va al fluido γ₁.

̃

ℎ

ℎ

ℎ

A questo punto ci si trova sullo strato del fluido γ₁ e si può calcolare la pressione nel punto

B, che si trova all'interfaccia inferiore di questo strato, applicando la legge di Stevino. Si

applica quindi Stevino tra i pun A e B per il fluido γ₁:

̃ + = ̃ +

(̃ )

= + − ̃ = + ℎ

Questo risultato si riporta sul diagramma delle pressioni. Ovviamente ci si aspe a che

questo contributo sia posi vo, perché abbassando la quota geode ca ci si aspe a una

pressione maggiore secondo la legge di Stevino. Sul grafico, la distanza dal punto A al punto

B in direzione orizzontale rappresenta il contributo γ₁h₁. La distribuzione della pressione

nello strato γ₁ si o ene unendo il punto in A e il punto in B con un andamento lineare, come

è cara eris co della distribuzione idrosta ca nei fluidi incomprimibili.

Un aspe o importante da notare riguarda la pendenza della re a che rappresenta la

distribuzione delle pressioni. Questa re a forma un angolo α con l'asse ver cale delle

quote. La pendenza dipende solamente dal peso specifico del fluido. Come si può vedere

questo? Considerando il triangolo formato dalla proiezione ver cale h₁ e dalla proiezione

orizzontale γ₁h ̃

ℎ

ℎ

ℎ

ℎ

ℎ

ℎ () = ℎ

= ( )

ℎ

Questo vale per qualsiasi fluido e per qualsiasi distribuzione di pressioni: la pendenza della

re a nel diagramma è determinata esclusivamente dal peso specifico del fluido. Si può

quindi già an cipare come ci si aspe a che sia la pendenza della seconda distribuzione,

quella rela va al fluido γ₂. Poiché γ₂ è maggiore di γ₁, come deve essere affinché si abbia la

stra ficazione corre a con il fluido più pesante sul fondo, la pendenza della distribuzione di

pressioni nello strato γ₂ sarà maggiore rispe o a quella dello strato γ₁.

Si è arriva al punto B, e si può fare lo stesso ragionamento di con nuità che è stato fa o

precedentemente all'interfaccia superiore. Il punto B si trova sull'interfaccia tra il fluido γ₁ e

il fluido γ₂. Per con nuità, deve esserci la stessa pressione considerando il punto B come

appartenente al fluido γ₁ o al fluido γ₂. Quindi la pressione in B per il fluido γ₁ è uguale alla

pressione in B per il fluido γ₂: =

Si ha di nuovo la prima informazione necessaria per ricostruire la distribuzione delle

pressioni nell'ul mo strato. Si vuole ora calcolare la pressione nel punto C, che si trova sul

fondo del serbatoio, e lo si fa esa amente come è stato fa o in precedenza per il calcolo

della pressione in B.

Si applica la legge di Stevino tra B e C per il fluido γ₂:

(̃ )

̃ + = ̃ + → = + − ̃ = + ℎ

Questo risultato si riporta sul diagramma delle pressioni. Si avrà che la pressione in C è pari

alla pressione in B più un altro contributo γ₂h₂. Ancora una volta, scendendo di quota ci si

aspe a che la pressione con nui ad aumentare, quindi questo contributo deve essere

posi vo. Sul grafico si segna il punto corrispondente alla pressione in C e si unisce con il

punto in B mediante una re a. Questa re a deve avere una pendenza maggiore rispe o alla

precedente, come ci si aspe ava, perché γ₂ è maggiore di γ₁. L'angolo formato da questa

re a con l'asse ver cale è uguale all'arcotangente di γ₂.

̃

ℎ

ℎ = ( )

ℎ

ℎ

ℎ

È importante far notare che in entrambi i casi, sia nel calcolo della pressione in B sia nel

calcolo della pressione in C, non è stato necessario conoscere le quote geode che in modo

assoluto. Quello che interessava erano le differenze tra le quote, che corrispondono alle

altezze degli stra h₁ e h₂. Non è necessario conoscere l'origine dell'asse delle quote z, che

può essere collocata dove risulta più comodo. In generale, quello che serve per applicare la

legge di Stevino sono le differenze di quota, che sono fornite come da del problema o

possono essere ricavate dalla geometria del sistema. Non interessa sapere dove si trova lo

zero assoluto delle altezze.

L'esercizio chiede ora di individuare il piano dei carichi idrosta ci. Il piano dei carichi

idrosta ci è definito come il luogo geometrico dei pun dove la pressione vale zero. Per ogni

fluido esiste un piano dei carichi idrosta ci specifico, che può essere individuato

graficamente dal diagramma delle pressioni.

Se si considera lo strato γ₁ e la sua distribuzione di pressioni il piano dei carichi idrosta ci si

trova dove la pressione si annulla. Graficamente, lo si può individuare immediatamente

andando a prolungare la re a che rappresenta la distribuzione delle pressioni fino a

incontrare l'asse delle quote, dove la pressione è zero. Il punto di intersezione iden fica la

quota del piano dei carichi idrosta ci rela vo al fluido γ₁.

Per il fluido γ₂ si può fare lo stesso ragionamento. Si ha la distribuzione delle pressioni

rappresentata da una re a con pendenza maggiore. Prolungando questa re a fino a

incontrare l'asse delle quote, si individua il punto dove la pressione è nulla. Lì si avrà la

quota del piano dei carichi idrosta ci per il fluido γ₂.

̃

̃

ℎ ̃

ℎ = ( )

ℎ

ℎ

ℎ

Quindi si sono individua graficamente, solamente a raverso l'analisi del diagramma, i piani

dei carichi idrosta ci per i due fluidi. Si osserva un fa o importante: il piano dei carichi

idrosta ci per il fluido più pesante, quindi per γ₂, si trova più in basso rispe o al piano dei

carichi idrosta ci del fluido più leggero γ₁.

Questa è una proprietà generale: i piani dei carichi idrosta ci per sistemi in pressione si

stra ficano nello stesso ordine dei pesi specifici. Ci si aspe a quindi di trovare più in basso i

piani dei carichi idrosta ci dei fluidi più pesan . Questo ha senso fisicamente, perché un

fluido più pesante genera gradien di pressione maggiori, e quindi per annullare la

pressione presente a una certa quota bisogna risalire di meno rispe o a quanto accadrebbe

con un fluido più leggero.

ESERCIZIO 2: MANOMETRO DIFFERENZIALE NORMALE

Il sistema considerato in questo esercizio è composto da due serbatoi dis n . Il serbatoio di

sinistra e il serbatoio di destra contengono lo stesso fluido, cara erizzato da un peso

specifico γ. Quindi entrambi i serbatoi sono riempi con lo stesso fluido. Una differenza

importante tra i due serbatoi riguarda le loro condizioni al contorno: il serbatoio di sinistra è

chiuso, mentre il serbatoio di destra è un serbatoio aperto all'atmosfera.

I due serbatoi sono collega tra loro a raverso un piccolo tubicino. All'interno di questo

tubicino è presente un fluido diverso da quello contenuto nei serbatoi, cara erizzato da un

peso specifico noto che viene indicato con , dove il pedice m sta per "manometrico".

Questo fluido si stra fica naturalmente più in basso rispe o al fluido dei serbatoi, quindi

necessariamente è maggiore di γ. Questo disposi vo cos tuisce uno strumento di

misura, ma a differenza del manometro metallico visto nell'esercizio precedente, non

fornisce dire amente il valore di una pressione. Nel caso del manometro differenziale,

l'informazione fornita dallo strumento è la differenza di livello tra le due interfacce

all'interno del tubicino di collegamento.

ℎ

∆

Si individuano due pun significa vi: il punto A, che rappresenta il menisco tra il fluido e

il fluido γ nel ramo di sinistra del tubicino, e il punto B, che rappresenta il menisco tra il

fluido γ_m e il fluido γ nel ramo di destra. Il termine menisco indica proprio la superficie di

interfaccia tra due fluidi immiscibili. L'informazione che il manometro differenziale fornisce

dire amente è Δ , che rappresenta la differenza di quota tra i due menischi A e B. Inoltre,

come dato geometrico del problema, si conosce anche , che è la distanza ver cale tra il

ℎ

punto B e il punto C, ovvero tra il menisco nel ramo destro e il pelo libero del serbatoio

aperto.

Questo esercizio chiede di calcolare δ, che rappresenta la differenza tra i due piani dei

carichi idrosta ci dei due serbatoi: = | − |

Si deve sempre par re da un'informazione nota per poter poi applicare progressivamente la

legge di Stevino e in questo caso è noto il pelo libero del serbatoio di destra. Sul pelo libero,

essendo la superficie a conta o con l'atmosfera, si ha una pressione atmosferica, che in

termini di pressione rela va corrisponde a zero. Si sa quindi già che nel punto C la pressione

vale zero, e di conseguenza da questa quota passerà il piano dei carichi idrosta ci per il

serbatoio di destra. ̃

ℎ

∆

Nota la pressione in un punto, in questo caso il pelo libero dove la pressione è zero, si può

ricostruire l'intera distribuzione delle pressioni nel fluido. Si può quindi calcolare la

pressione nel punto B applicando sempre la legge di Stevino tra B e C per il fluido nel

serbatoio di destra: )

̃ + = ̃ + → = (̃ − ̃ = ℎ

Si è quindi calcolata la pressione in B. Sul diagramma, partendo dalla pressione in C che è

zero, si aggiunge un contributo pari a γ·h_B. Questo contributo si rappresenta graficamente

come una distanza orizzontale dal punto C al punto B. La re a che unisce ques due pun

ha una pendenza pari all'arcotangente di γ, come visto nell'esercizio precedente:

̃

ℎ

∆

ℎ

Si è arriva in corrispondenza del punto B, che si trova sulla superficie di interfaccia tra il

fluido γ e il fluido . Come sempre, sulla superficie di interfaccia la pressione deve essere

con nua per garan re l'equilibrio. Quindi la pressione in B considerando il fluido γ è uguale

alla pressione in B considerando il fluido . Questo passaggio di con nuità perme e di

avere l'informazione necessaria per proseguire con il calcolo nel fluido manometrico.

Si può ora applicare nuovamente la legge di Stevino tra il punto B e il punto A per calcolare

la pressione in A. Entrambi ques pun si trovano nel fluido manometrico , quindi:

̃ + = ̃ + → = + ∆

Sul diagramma si riporta la pressione in A. Rispe o alla pressione in B si aggiunge un

contributo ·Δ. Ovviamente la re a che rappresenta questa distribuzione deve essere

disegnata con una pendenza maggiore, perché il peso specifico che si u lizza è maggiore

di γ. Questo è evidente anche dal fa o che il fluido si stra fica in basso. Per un

manometro differenziale normale, il peso specifico manometrico è scelto molto maggiore di

quello del fluido del sistema, quindi la pendenza sarà molto più marcata rispe o alle

distribuzioni nei serbatoi. ̃

ℎ

∆

∆

ℎ

Si è arriva in corrispondenza del punto A. Ci si aspe a che sia la distribuzione delle

pressioni nel serbatoio di sinistra sia parallela alla distribuzione nel serbatoio di destra.

Questo perché la pendenza dipende solamente dal peso specifico del fluido, e in questo

caso i due serbatoi contengono lo stesso fluido con peso specifico γ. Quindi la pendenza

sarà la stessa. Ovviamente le due re e non sono coinciden e questo perché i due serbatoi

sono pressurizza in maniera diversa. Il serbatoio di destra è aperto all'atmosfera, mentre il

serbatoio di sinistra è chiuso e può avere una pressione interna diversa. Però le pendenze

delle due distribuzioni saranno iden che, formando entrambe un angolo pari

all'arcotangente di γ con l'asse ver cale. ̃

ℎ

∆

∆

ℎ

Per iden ficare il piano dei carichi idrosta ci del serbatoio di sinistra si prolunga la re a che

rappresenta la distribuzione delle pressioni fino a incontrare l'asse delle quote dove la

pressione è zero. Da quel punto passa la quota del piano dei carichi idrosta ci del serbatoio

di sinistra. ̃

ℎ

ℎ

∆

∆

ℎ

Quello che il problema chiede di determinare è proprio δ, la differenza tra i due piani dei

carichi idrosta ci. Si può calcolare il piano dei carichi idrosta ci del serbatoio di sinistra

applicando la legge di Stevino tra il piano dei carichi idrosta ci e il punto A. In maniera

immediata, sapendo che si conosce la pressione in un punto, si può valutare la posizione del

piano dei carichi idrosta ci a raverso il conce o di affondamento. Si può quindi calcolare

l'affondamento del punto A, indicato con , che rappresenta la distanza ver cale tra il

ℎ

punto A e il piano dei carichi idrosta ci del serbatoio di sinistra. Da Stevino quindi:

+ ∆

ℎ = =

γ

A questo punto si può ricavare δ dal diagramma in modo geometrico. Osservando il

diagramma, si può notare che l'affondamento è composto da tre contribu :

ℎ

ℎ =+ℎ +∆

=ℎ −ℎ −∆

+ ∆ −

= − − ∆= ∆

Si è ricavata la differenza tra i due piani dei carichi idrosta ci. Questa differenza dipende

solamente dai pesi specifici dei fluidi coinvol e dalla differenza di livello Δ misurata dal

manometro differenziale.

Questa è una formula che può essere applicata dire amente quando si incontra un

manometro differenziale normale, senza dover necessariamente ricostruire tu o il percorso

con la legge di Stevino e il diagramma delle pressioni. Conoscendo Δ e i pesi specifici, si può

ricavare immediatamente la differenza tra i due piani dei carichi idrosta ci.

ESERCIZIO 3: MANOMETRO DIFFERENZIALE ROVESCIO

Anche in questo caso si hanno due serbatoi che contengono lo stesso fluido, cara erizzato

dal medesimo peso specifico γ. I due serbatoi sono collega a raverso un piccolo tubicino

che con ene al suo interno un fluido con peso specifico noto, indicato con .

La differenza fondamentale rispe o all'esercizio precedente sta nelle proprietà del fluido

manometrico. In questo ca