Fisica 2 - Esercitazioni prove d' esame

Es. 1

Due cariche puntiformi di pari modulo Q ma segno opposto sono poste lungo l'asse z simmetricamente rispetto all'origine a distanza d₂ dall'origine stessa.

Calcolare il campo elettrico da esse generato nel punto P dell'asse delle y posto a distanza D dall'origine.

Soluzione:

• Q₁(0, 0, d₂)
• Q₂(0, 0, -d₂)
• P(0, D, 0)

|r-r₁| = √(D² + (d₂)²)

|r-r₂| = √(D² + (d₂)²)

E_0x = (1 / 4πε₀) (1 / (D² + (d₂)²)³) (0 - 0) = 0

E_0y = (1 / 4πε₀) (1 / (D² + (d₂)²)³) (Q₁ - Q₂) = 0

E_0z = (1 / 4πε₀) (1 / (D² + (d₂)²)³) (Q (d₂ / 2) + (-Q) (d₂ / 2))

= (1 / 4πε₀) (1 / (D² + (d₂)²)³) ((-Qd) + (-Qd) / 2) =

= -1 / 4πε₀ (Qd / (D² + (d₂)²)³)

Soluzione

Il campo elettrico può essere calcolato come somma (integrale) dei campi elettrici elementari (dE₁) generati in P da tratti/mini elementari dz della distribuzione lineare z.

NOTA: Per ogni elemento dz esiste un secondo dz simmetrico ad esso rispetto a O’; questi due elementi generano dE₁ e dE₂, per cui la loro somma dEʹ è ortogonale a z.

dEʹ = dE₁ + dE₂ = 2 λ dz / (4πε₀ R²)

Per eseguire l’integrale E = ∫ dEʹ esprimiamo dz ed r in funzione di θ:

r = R / cosθ

l = Rtgθ → dl = R dθ / cos²θ

Quindi

E = ∫ dEʹ = λ / (4πε₀) ∫₀^π/2 λcosθ Rθ₀ cos²θ / (cos²θ R²)

= λ / (2πε₀) ∫₀^π/2 λ cosθ dθ = λ / (2πε₀ R)

6

Un anello di raggio a ha una densità lineare di carica positiva uniforme, con carica totale Q.

Calcolare il campo elettrico lungo l’asse dell’anello in un punto P posto a distanza x dal centro dell’anello stesso.

Svolgimento

Supponiamo di avere solo una carica puntiforme dq.

Calcoliamo il suo campo elettrico.

r = sqrt(a^2 + x^2) = (a^2 + x^2)^1/2

dE_x = 1/(4πε₀) * (x/r²) * λdq = 1/(4πε₀r³) * x * dq/(a² + x²)^3/2

dq = λcosθ

dE_x = dEsinθ - θ

Esercizio 1

(10 punti) Un sistema discreto di cariche elettriche puntiformi è inizialmente costituito da due cariche q₁ = 4.0 nC (cioè 4 x 10^-9 C) e q₂ = -2q₁ poste a 1 metro di distanza.

1. (4 punti) Trovare il punto x₀ dello spazio in cui è nullo il campo elettrico generato dalle due cariche.
2. (3 punti) Dove si troverebbe il punto x₀ se le cariche fossero 100 volte più piccole?
3. (3 punti) Se sulla congiungente tra le posizioni delle due cariche viene inserita una terza carica q₃ = 2 nC a 2 cm da q₂, quale sarebbe il lavoro da compiere per spostare questa carica fino al punto x₀?

Soluzione:

Esercizio 1

(8 punti) Quattro cariche puntiformi q_A = Q, q_B = -Q, q_C = Q e q_D = -Q dove Q = 10 µC, sono poste nei punti A(-3x/2, 0, 0), B(-x/2, 0, 0), C(x/2, 0, 0), D(3x/2, 0, 0) con x = 2 cm. Determinare (in forma letterale e numerica):

1. (a) (5 punti) il vettore campo elettrico E;
2. (b) (3 punti) il potenziale;

nel punto P(0, y, 0) dove y = 3 cm.

1) -E_A + -E_B → si sviluppano lungo x

E_Ax = ¹⁄_4πε0(^9Q⁄_(-³⁄2x²))ⁱ^

θ_B^ = orctg(⁴⁄₃) = 1,5⁰

→ cotg(³⁄_-1) = φ₂,5⁰

Esercizio 2

(14 punti) All'interno di una sfera isolante di costante dielettrica relativa ε_r = 3.0 e raggio R_a è presente una cavità sferica concentrica il cui raggio è R_b. Al centro della cavità sferica viene posta una carica elettrica di Q = 17.5μC.

(a) (6 punti) Determinare l'espressione vettoriale di E_v e D_v;

(b) (3 punti) Riportare l'andamento grafico in funzione della distanza dal centro del sistema e ordinata il modulo di E_v, D_v;

(c) (5 punti) Determinare il valore numerico delle densità di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.

a) Per il calcolo dell'energia elettrostatica usiamo la seguente formula

W_e = _ε0/² ∫ E² d▪

=_ε0/^{2 (4π ε₀)2} ∫_R2^{R1 1}/_r⁴ Q₀² d_r

+ ∫_R3^{R1 1}/_r⁶ Q₀² d_r

. . .

W_e = ₅/^{12 Q₀2}/_{4πε0 RA} = 1.9 × 10⁸ J

b) Non vi è nessuna variazione tra le grandezze calcolate

c) Le distribuzioni di carica e i campi elettrici si ormezzano quindi

W_e'=_We/⁴

Esercizio 3

(12 punti) Un condensatore piano di capacità C = 30 pF è composto da due armature circolari ciascuna di area A = 100 cm². Il condensatore viene caricato con una batteria di V_B = 70 Volt attraverso una resistenza di R = 2 Ω. Sapendo che in fase di carica l'andamento della carica elettrica in funzione del tempo per il condensatore vale Q = CV_B(1 - e^-t/RC), dove t = 0 rappresenta il momento in cui il condensatore viene collegato alla batteria, calcolare:

• (a) (3 punti) il valore della corrente che carica le armature al tempo t = 0 e a t = 2 s;
• (b) (3 punti) l'espressione letterale del campo elettrico nel condensatore (assumere che il campo elettrico fra le armature sia uniforme in ogni istante e che il condensatore sia ideale, cioè che E = 0 al di fuori delle armature);
• (c) (2 punti) l'intensità del campo magnetico indotto;
• (d) (2 punti) il valore numerico del campo magnetico massimo.

Svolgiamo:

• a) i(t) = dq/dt = d[CV_B(1 - e^-t/RC)]/dt = V_B/R e^-t/RC

t = 0 s → V_B/R = 35 A

t = 2 s → V_B/Re^-t/RC

La calcolatrice dà un errore

Quindi ... non scorre corrente

• b) E_C = q / (ε₀ A)

c) Siccome non conosciamo il campo magnet. Da un condensatore utilizziamo legge di Ampere:

∫B · dℓ = μ₀ε₀ dE(t)/dt · Σ = ε(t)

• d) V   Σ

B 2πrV

∫B · dℓ = B 2πrV

μ₀ε₀ d(E(t)∫ Σ / dt) = μ₀ε₀ dQ(t)/dt

= μ₀V² / ε₀A

dQ(t)/dt = V_B/R e^-t/RC

in particolare :

• per r < Rₑ si ha

E = Q

4πε₀ r²

• per Rₑ < r < Rₑ si ha

E = Q

4πε₀ r²

• per r > Rₑ si ha

E = Q

4πε₀ r²

Il vettore polarizzazione è 0 solo all’interno del dielettrico e vale

P = ε₀ (ε_r−1) E = ε_r−1 Q

ε_r 4π r²

a) La densità di carica di polarizzazione è pari alla componente normale alla superficie

dp = P ⋅ n̂ = − ε_r−1 Q

ε_r 4π R₂²