Esercizi svolti – Seconda Prova Intermedia di Fondamenti di automatica

[T]

AB A B = :

= . ]

I

R IBIABT

= =

(R)

det 23

x2 1

1

x 1

- =

= -

. .

Il 23

è

sistema det(r)

completamente **

)

raggiungibile +

>

+ 1( 1

< =

0 =

se

X F1 completamente qualunque raggiungibile

sistema i

raggiungibile stato

>

se =

:

· [s / BI)

R del tipo

solo stati

1

se raggiungibili

a 1

rango

= : =

= sono

· 2) [2]

[

Ma = 2 => raggiungibile

=

x = -

:

Quindi anche scomunque

lo

il è richiesto

sistema

, completamente stato

raggiungibile

se =1 ragg.

per

non ,

[2]

stato è

lo valore di

raggiungibile reale x

ogni

per

RETROAZIONE STATO

SULLO X

[2]

[22]

A 10

C (perde

B 17 X2)

= = y

= =

, . H

11 0)

Hy F

Fx 2

u =

+ =

= con

- ,

, -2)

[ -2)

22] [1] 18

* [3 :

tr 0

BF

A A- = =

=

= -

_

* [1]

(s) )

(sl-A

y * (sta) (st

det det

= = =

(s) )

(Adj(sl B

*

A

=

~ - .

SIETE si]

[t [S

Adj(sl-A )

sl-A * *

= =

1][sizT

10

CAdj )

(s) - A sta]

to

* =

=

ste][2]

r(s) [0 Ste

=

=

GYoy(s) r(s) H 22

St -2

=

= = 2

St

+

yx(s)

X [5]

[28]

A B =

= , fz)

[f1

Hy F

Fx +

u =

= - , E fit

[0its

[5] 1f]

[5]

AY Ift f2]

BF

A = - = =

= - f21]

If

(s) (f2

13

* (safels

det -1) f2S

) det

(sl-A

e ( Su (fz

* 1) 1)

= = + +

=

-

= - -

Il polinomio radici

caratteristico quindi

ReCO

deve ,

avere e

con :

(condizione

f130 negatival

autovalori

lineare

termine degli

la

che sia

1 garantisce

su somma

:

. fl-1 f21 (condizione degli

termine autovalori

noto garantisce il positivo

che prodotto

2 sia

>0 = su :

.

RETROAZIONE SULL'USCITA

ALGEBRICA

X Hy

legge -ky

controllo

di +

u

: =

Possiamo ky(t)

(t) cioè -ky(t) u(t)

studiamo u(t)

la ciclo

dinamica clico

yo a

o

= = =

: -

=

, y(

y ky

Sostituiamo zij ky ky

ky

zij = + 0

: = + =

- - - -

(s)

* ks

252 K

53

& +

= - -

Il tutte

stabile

è asintaticamente caratteristico

del

radici hanno

le

sistema reale

polinomio parte

se

strettamente negativa

. ks-k

s

*

polinomio (s)

Studiamo stabilità del 25

e

la +

=

: -

Usiamo il Routh-Huwirtz

criterio di . I a

ass

il desaestao

Per polinomio + &2

COM -2

o

: = = -K

ao =

Costruiamo tabella Routh

la di :

53 K

I K

S2 2

- -

2kk3

I

S - O

K

so -

Condizioni stabilità tutti colonna

che gli elementi della positivi

siamo

prima :

serve

per : 130

- NO

230

-

· 3ko Ko

· Z Ko

Ko )

=

· -

contraddizione, quindi la è

seconda

> negativa

- riga

il K

stabile qualunque

è

sistema

=> mai sia

non ,

X

0

ky) ky

i

y

poiché

Hy ki

ky i

u +

= = >

= = =

= ,

y() (2

kij 2ky k)y

3ky 2k)y

j y3 (1 3ky

2y =

+ + + 0

+

+

+ =

= - -

-

k)s2

(2

s3 3k

* (1 2k)s

(s)

e + +

+

= +

-

Usiamo Routh-Huwirtz 2-k

terro staztasstao

criterio di

il grado

polinomio di

per az

1

as =

un con ,

=

: , 3k

Condizioni 2k

stabilità =

1 ao

+

per a 1 = ,

tutti positivi

coefficienti

i

.

1 k2

k(o >

2

· =

- k1

2k = 5

0

1

+ 30

· - .

3kk > 0

· Hurwitz

determinante di

2

. :

2-Ko (gia imposta)

De =

az

= 3k2

3k 14k1

3k30

2k)

k)(e

A2z(z 2 3

1230 2

+ = =

= -

- -

-

- la solo

stabilità

la ock1

del chiuso

asimtatica si

ciclo e

se se :