Esercizi svolti – Preparazione alla Prova intermedia di Fondamenti di automatica

A

reali

Modi e (A

naturali tet

Bt)

radici y(t

coincidenti naturali

s

per modi

-2 =

+

+

= i

: sono =

: =

, ,

STABILITÀ INTERNA ESTERNA

E X

Xi

! 2x1 U

+

= -

X2 + Xz U

X1

= - -

Xz

y U

+

= =

I

Stabilità sistema

il

asintotica forma matriciale A

Ax

scriviamo Bu

in X

: +

= ,

).)

Troviamo det

autovalori

gli (S 2) (s - 1)

(sl-A) det

A risolvendo

di +

=

: =

Quindi Js

autovalori Xz

gli -2 1

=

sono =

: ,

Uno degli autovalori ha positiva

reale È

il

parte sistema STABILE

ASINTOTICAMENTE

Non

= funzione Y(s)

Stabilità BIBO trasferimento

verificare dobbiamo della di

la stabilità poli G(s)

BIBO , i

esaminare

: per = U(s)

2]

I IT C

forma A [10]

Dalla B

del sistema D

= = 1

=

=

: . ,

,

la funzione 1

C(sl-A)

di trasferimento D

G(s) B

i - +

=

=

[5] 2) (s-1)

(s

determinante

Calcoliamo sl-A +

: = , 1)

G(s) 2)(s polo

ha

(s+

+ in

st2

+

2

S 1 1

S

-

= =

un

= =

+ 1)

(s

2) (s 1) 2)

(S (s

+

+ -

- NONE

Il sistema positiva

parte reale >il sistema BIBO STABILE

a X

I

II

la Adel A=

matrice è

sistema : [3]

Troviamo j

det

(sl-A)

+(s)

gli det

autovalori 2 =

=Je

= +

= =

: z

,

autovalori E

Gli ha

il sistema stabilità

NON

quindi

immaginari , ASINTOTICAMENTE marginale

Stabile ma

sono puri ,

Ora calcoliamo funzione 1 B

la ((sl-A)

G(s) D

trasferimento

di - +

: =

0]

2]

[ Calz

Dove D

B 1

=

= - , , 5]

I

Già (sl-A)-2

che 1

sappiamo = 92 + 2 5]12]

Quindi E10JIs

1

G(s) Si

C(sl-A) B D 1 s 1

2 s

+

1

+ =

=

: + - =

= + St 2

52 52

2 2

+ +

Il È

denominatore nulla quindi

è sistema NON

reale il

i poli parte BIBO STABILE

s 2 sono

+ a

STABILITÀ ESTERNA

X

il da-ij

Per (il forzata

risposta

descritto

sistema -su ha i ay-i

ay =

+ bu

: = +

BzshBB

G(s) =- sa

= = -

) limitata

Poloim ult) i

stabile ha uscita limitata

quindi

,

sistema se

BIBO sempre

-3

s = X

Dato : forma i i

portiamola -10y

normale

i zu

zu

+ in

+ +

soy = +

:

= (con

trasformata sy(s) Y(s)

La place sV(s) 2V(s)

Applichiamo condizioni

la di 10)y(s)

nulle)

iniziali (s

10 =

+ + +

=

: =

-

( 2)U(s)

= +

Y (s)

G(s)

di

Funzione trasferimento 2

S+

: = = Si

U(s) 10

+

Il stabile hanno

setutti poli parte

è del strettamente

sistema negativa

sistema reale

BIBO i .

Qui poli Ijtso sistema

parte stabile

i reale BIBO

zero

s =

sono non

=

:

Ora sinusoidali

limitata frequenze

quando

risposta componenti

forzata è che

contiene coincidono

l'ingresso

, non

una a (vot)

poli Ijuto

del poli quindi ult

questo

sistema

i immaginari i

puri In cos

, ingresso

caso un genera

con sono =

.

mon limitata

.

risposta

una

SISTEMI NON LINFARI X

I equilibrio attengono (1-x)

(X-2)

di X

punti panendo >

si 0 0

=> 2

X 1

= X

oppure

= =

= =

Osserviouo (x-2) 1)

2)(x

(1 1)

(X

-x)

che (x

X 2)(X

>

= =

-

= -

: =

-

= - 2)]

1)

[(x

2))(x 1)'j

[(x 2)(x

(x (x

1)

1) (2x

f(x) f'(x) 3)

Deriviamo 2) (x

(x

rispetto + =

+

=

a x =

: -

= -

=

- -

- -

- - -

-

-

Calcolo equilibrio

in ciascun :

f'(s) (2 instabile

3) )

1)

( - 10

1

per 1 =

X

· : =

= =

-

= . - -

f(2) stabile

3) asint

(2 10 =>

2

x 2

per = : =

=

· -

.

- - -

X

Un ha quando

di X

equilibrio

punto =

si X

2-ux

0 2

= =

ux

= : 0 =

=

d

X (2-ux)

rispetto

Deriviamo ux

2 a X

= u

: =

- dX stabile

allora dx asintoticamente

equilibrio

se uso -uo

· >

= -

, dX equilibrio

allora dx instabile

se uso -uso

· >

=

, dX

(x (2 infatti

u) 1) equilibrio stabile

10

U

2

e

2 ux

u > =

X 1

= =

= =

=

: -

, , ,

,

RISPOSTA LIBERA X

22(((sl-A) 2x(d)

Per studio

calcolo -

risolverlo ye(t) i vari

e casi

=

152] 2]

11

A c =

= , det

(s) (sl-A)

↑ det ( -1)(

= = =

-

Autovalori X1 12 -2

=

1

=

: , +

Modi e

+

etz(t)

+ et s(t)

1(t)

ex s(t)

naturali =

: =

, St2

in

Adj

(st-A)- 2)

Adj(sl-A =

1 1

= = 1) (s

(s +

- -

=22]SOX

Ye(s) 2 %

x(0) -2))

C (sl A) - =

2 Costu 82(s

=

= S +

- (s

(s 2

+

-

(Ye(s))

2.2

Ye(t) X1(0)

limitato

sarà < < 0

= = =

(si2 X2(d)} +

22

Ye(t) 2e xz(d)1(t)

infatti x2(d) =

per 0 =

=