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Linea Elastica Assiale

Strutture isostatiche

  • W'(z) = N(z) / EA

EA = cost.

Condizioni al contorno cinematiche:

  • W'(z=0) = 0

Strutture iperstatiche

  • W'(z) = -q(z) / EA

Condizioni al contorno cinematiche e statiche (2 costanti d'integrazione):

  • W'(z=0) = 0
  • Non posso avere condizioni statiche nell'incastro in quanto non è noto lo sforzo normale.
  • N(z=L) = NL
  • EA W'(z=L) = NL

Esercizio

  • Determinare W(C): ? (l'allungamento della trave) utilizzando la linea elastica del secondo ordine.
  1. W' = -q / EA = 0

Ogni volta che abbiamo una forza concentrata sulla trave dobbiamo scrivere 2 linee elastiche (la linea elastica va spezzata in due parti in quanto una forza concentrata determina un salto nel diagramma dello sforzo normale).

AB: 0 ≤ z < L

  • W'' = 0 (integro)
  • W' = C1 (integro)
  • Wz = C1z + C2

BC: 0 ≤ z < L

  • W''z = 0
  • W'z = C3
  • Wz = C3z + C4

Abbiamo 4 costanti, quindi imponiamo 4 condizioni al contorno.

in B determiniano CONDIZIONI di RACCORDO, mentre in A e C abbiamo CONDIZIONI al CONTORNO

Entrambe possono essere sia statiche (N) che cinematiche (w)

Cond. al contorno:

  • A) w1(z1-0) = 0       cond. cinematica
  • C) N2(z2-1) = Q
  • EA w2(z2-1) = Q/EA       cond. statica

Cond. di raccordo:

NxA  ←   |   B   |   ↓2Q ↓N2B       ↑x raccordo

in B c'è un vincolo di CONTINUITÀ (incastro interno), quindi lo spostamento a destra e sinistra è uguale:

w2(z2,L) = w2(z2,0)

Sappiamo che avendo una forza concentrata abbiamo un salto nel diagramma degli sforzi normali:

  • N2(B-) - N1(B+) + 2Q = 0
  •           N2(B) - N1(B) - 2Q    Equazione del salto.

EA w2(z2,0) - EA w1(z2,L) = -2Q/EA

A: w2(z2,0) = 0 ⟹   C2 = 0

C: w2(z2-1) = Q/EA ⟹ C2 = Q/EA

  • B: w2(z1,L) = w2(z2,0) ⟹ C1 + C2 = C4 ⟹ C4 = 3Q/EA
  •             ⟹ C3 - C1 = -2Q/EA ⟹ C1 = 3Q/EA

w2(z1) = 3Q 31

w2(z2) = Q/EA z2 + 3QL/EA

w(C) = w2(z2-1) = 4QL/EA SPOSTAMENTO MASSIMO

N1(z1) - EA w1(z1) = 3Q

N2(z1) = EA w2(z2) = Q

Condizioni di raccordo

Raccordo cinematico e paretto statico

Tra travi e continuo in C → spostamento a destra è uguale allo spostamento a sinistra

μC (raccordo) V4(L) = V2(0)

continuità degli spostamenti

V4'(L) = V2'(0) → continuità delle rotazioni

T2(L) - T2(0) → non c’è una forza concentrata e quindi non c’è un salto nel diagramma.

EI V4'''(L) - EI V2'''(0)

M2 - M4 = μL

→ nel diagramma del momento ho un salto

-EI V2'(0) + EI V4'(L) = μL / EI

→ ho una rotazione per ottenere l’espressione del salto

v2'(0) + v2(L) = μL / EI

-: M2 - μL - M4 = 0

Applichiamo tutte queste condizioni:

  • C4 = 0
  • C2 = 0
  • C5 L3 / 6 + C2 L / 2 + C1 + C3 = 0 → C4 + C3 = μL2 / 6EI
  • C5 L + C6 = 0 → C6 = C5 L → C6 - μL / 2EI
  • C1 L3 / 6 + C2 L = C8 → C1 - C8 = μL2 / 2EI
  • C2 L / 2 + C3 = C3 - C9 = 0
  • C5 = μL / 2EI

C6 continuità dei tagli → C8 = μL / 2EI

C1 L + C6 = μL / EI → C6 = μL / 2EI => C6 = μL / 2EI

PRESOFLESSIONE → FORZA NORMALE ECCENTRICA

forza non applicata nel baricentro,

genera quindi anche un momento flettente

N = F ≥ 0 in C · CENTRO DI PRESSIONE

?

Coordinate del centro di pressione che definiscono la

due eccentricità.

C = (0 , - aey )

xc

yc

Una forza normale eccentrica genera anche momenti

di flessione.

-Mx - Nyc = - F ey

My - Nxc = 0

PRESOFLESSIONE

formule di Navier generalizzate

σz = N + Mx y → determino

A Ix

A = a²

Ix = a⁴

12

= F + (-F ey ) 12 y = - F -

a² 2 a³ y a²

Trovo l'asse neutro:

σz = 0 → y = - ey

12

in cui una fibra al trazione (FD)

Noto il centro di pressione su cui

l'asse neutro cade sempre nella

banda opposta

→ l'asse ultimo taglia la sezione

grafica C e barra

→ nucleo centrale d'inerzia

(nel disegno)

C = (0 , - aey ) A = (0 , aex )

12 2

σz(C) = F = C

ae

2

σz (A) = - F = C

I

BC: 0 <= z <= l

T(z) = -PzT(0) = 0T(l) = -PL

CF:

P
  1. B
  2. C
PL/2T(z)T(z) = -PL - PL/2 = -3/2 PL

DE: 0 <= z <= L/2

PL/2T(z)T(z) = PLz/4 - P/2 z = 0T(0) = PLz/4

II

BC:

M(z)M(z) = -Pz^2/2 - PL^2/2M(0) = -PL^2/2M(L) = -PL^2

CF: 0 <= z <= L

Pz^2/2M(z)M(z) = M([z/2])- Pz/2 ... = -3/2PL^2M(0) = -3/2PL^2M(L) = -3PL^2

RICHAMI DI STATICA:

TRATTO AB:

  • PL - HA - HB = 0
    • VA + VB = 0 → VA = -PL/4
  • -PL/2 + VBL + HBL = 0 → VB = PL/4
  • HB + HC - AD = 0 → HB + HC + PL/2 = 0 → HB = -PL/4
  • -VB + VC = 0 → VC = PL/4
  • -HBL + MB + HCL = 0 → HBL + PL^2/2 = 0 → HC = HBL + PL^2/2 = PL/4 + PL/2
  • HB = 0
  • VE - PL = 0 → VE = PL
  • PL/2 + MD = 0 → MD = -PL^2/2
Dettagli
Publisher
elena.depietri
A.A. 2020-2021
128 pagine
SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/08 Scienza delle costruzioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher elena.depietri di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università Politecnica delle Marche - Ancona o del prof Lenci Stefano.