Esercizi svolti (di Teoria)

RIPASSO

ES 1.2.1

x² + x = 0 in ℤ/2ℤ

• f(0) = 0 + 0 = 0
• f(1) = 1 + 1 = 0

S = {0, 1}

ES 1.2.2

x² + x + 1 = 0 in ℤ/2ℤ

• f(0) = 0 + 0 + 1 = 1
• f(1) = 1 + 1 + 1 = 1

S = ∅

ES 24.2.3

f(x, y, z) = (x - y + z, y - x - z, 2z)

A = (1 -1 1)(0 1 -1)(0 0 2)

pol. car. = det (A - x Id)

det (A - x Id) = |1-x -1 1||-1 1-x -1||0 0 2-x| =

= (2-x) |1-x -1||-1 1-x| = (2-x) ((1-x)² - 1) =

= (2-x) (x² + x² - 2x - 1) =

= 2x² - 4x - x³ + 2x² = -x³ + 4x² - 4x

- x³ + 4x² - 4x = 0

-x(x² - 4x + 4) = -x(x - 2)² = -x(x - 2)(x - 2)

S = {0, 2}

m₂(0) = 1

m₂(2) = 2

∑ mₐ(λᵢ) ≤ dim (V)

ES 24-2.4

f(x, y, z) = (x - y + z, y - x - z, 2z)

A =

• [-1 1 1]
• [-1 1 -1]
• [0 0 2]

autovettori relativi all'autovalore 2

Ker (A - 2Id) ≠ {0}

(A - 2Id)X = 0

A =

• [ -1 -1 1 ]
• [ -1 -1 -1 ]
• [ 0 0 0 ]

X = 0

• -x - y + z = 0
• -x - y - z = 0

• z = x + y
• x + y = 0

• z = 0
• x = - y
• y = - x

( X ) = ( - X ) = ( -1 1 ) x

( y ) ( - y ) ( -1 1 )

( z ) ( 0 ) ( 0 )

gli autovalori associati a 2 sono (1, -1, 0)

Es. 6.28

( 1 1 ) ( 1 -1 ) inverse in M_2x2(ℝ)

( 1 1 ) ( x y ) = ( 1 0 ) ( 1 -1 ) ( z t ) = ( 0 1 )

{ x + z = 1   x = 1 - z = -¹/₂ y + t = 0   y = -t = -¹/₂    -x + z = 0   -1 + 2z + z = 0         z = ¹/₂ -y + t = 1   t + t = 1         t = ¹/₂ }

inversa = ( -¹/₂ -¹/₂ )          ( ¹/₂ ¹/₂ )

oppure : ¹/₂ ( -1 -1 )         ( 1 1 )

BMO

V₁ e V₂ generano => dim W ≤ 2

ES

in ℝ³ V₁ = ⁽⁰⁾ _{(1) (2)} V₂ = ⁽³⁾ _{(4) (5)} V₃ = ⁽⁶⁾ _{(7) (8)}

generano?

A = ^{(0 3 6)} _{(1 4 7) (2 5 8)}

• 3d₂+6λ₃ = b₁
• λ₁ + 4λ₂ + 7λ₃ = b₂
• 2λ₁ + 5λ₂ + 8λ₃ = b₃

λ2 = b1 3 - 2λ3

λ₁ + ⁴ ₃ b₁ - 8λ₃ + 7λ₃ = b₂

2λ₁ + ⁵ ₃ b₁ - 10λ₃ + 8λ₃ = b₃

λ2 = b1 3 - 2λ3

λ₁ = b₂ + λ₃ - ⁴ ₃ b₁

2b₂ + 2λ₃ - ⁸ ₃ b₁ + ⁵ ₃ b₁ - 2λ₃ = b₃

TROVA LE COORDINATE

(2 + 5x) _(x²) (2x)

√2 √2 √3

[v]_B = ?

n=1

λ₁(2 + 5x) + λ₂(x²) + λ₃(2x) = 1

2λ₁ + 5xλ₁ + λ₂x² + 2λ₃x = 1

{ 2λ₁ = 1 5λ₁ + 2λ₃ = 0 λ₂ = 0 }

{ λ₁ = 1/2 5/2 + 2λ₃ = 0 λ₂ = 0 }

{ λ₁ = 1/2 λ₃ = -5/4 λ₂ = 0 }

( λ₁ λ₂ λ₃ ) = ( 1/2 0 -5/4 )

[v]_B = ( 1/2 0 -5/4 )

calcolare la matrice di

Determinare il Rango della seguente matrice

è una non è nulla

1 ≤ Rango ≤ 4

minore di ordine 2,

370

Rango ≥ 2

Se anche gli altri minori di ordine 3 ottenuti da aggiungendo una qualunque altra riga o colonna sono nulli il rango è 2

(1∙3∙4) + (2∙1∙(-3)) - (1∙3∙2) = 12-6-6 = 0

Rango = 2

det R(A) = R(A|B) = 2

infinite soluzioni

ES

det. R(A) al variare di t

Se t ≠ 0 ⇒ R(A) = 3

Se t = 0 ⇒ R(A) = 0

Determinare l'inverso della matrice

A = ^{(1 2 0)        (1 0 1)        (0 1 1)}

uso la matrice dei cofattori

(_cof(A))_ij = (-1)^i+j . A^ij

(_cof(A))₁₁ = ^{|0 -1|} = 1           ^{|1 1|}

(_cof(A))₁₂ = (-1)^{1+2 |1 -1|} = -(1-0) = -1                                 ^{|0 1|}

(_cof(A))₁₃ = (-1)^{1+3 |1 0|} = 1                       ^{|0 1|}

(_cof(A))₂₁ = (-1)^{2+1 |2 0|} = (2-0) = -2                               ^{|1 1|}

(_cof(A))₂₂ = ^{|1 0|} = 1           ^{|0 1|}

(_cof(A))₂₃ = (-1)^{2+3 |1 2|} = -(1-0) = -1                               ^{|0 1|}

(_cof(A))₃₁ = (-1)^{3+1 |2 0|} = -2                           ^{|0 -1|}

(_cof(A))₃₂ = (-1)^{3+2 |1 0|} = -(1-0) = 1                           ^{|1 -1|}

(_cof(A))₃₃ = (-1)^{3+3 |1 2|} = 0-2 = -2                             ^{|1 0|}

(_cof(A))_ij = ^{(1 -1 1)                      (-2 1 -1)                      (-2 1 -2)}

(_cof(A))^t =^{(1 -2 -2)                 (-1 1 1)                 (1 -1 -2)}

A^-1 = ^(_cof(A))t / _det(A)