Esercizi svolti di Informatica teorica

(Q

Una 6)

Macchina di 5-uplaM

Turing (TM) è

· =

una po

, ,

,

1 , .

Vei finito

Q è stati h

,

di contenga

che

assunto

insieme , non

un

stato

lo di

(questo

di di TM)

.

stato arresto

arresto lo

è ogni

di

finito

l'input di simboli

alfabeto è insieme

un , un .

, l'alfabeto finito

del nastro è si

insieme E i

con

un

,

, contenga il nastro

del

simbolo

che vuoto

assume non .

,

lo .

iniziale

stato

Q

90 E , (cioè

la funzione forse

parziale

è puntil

indefinita alcuni

· in

(QuEh3)x(TuS3) 53

x32

Qx)vE3)

G 4

.

: ,

,

b formale LIMI

la definizione ,

di linguaggio

Enunciare il accetta

. to dalla TM M . *

La di di

Macchina Turing l'avvio

accetta l'in

M M

xe

· se con

altre parole

put In

di arresto

configurazione

porta x

x una

a ,

. *

3)

alcune stringhe

accettato (vE

è alcune

in a

se yez

per e

v33 : (90 x) yaz)

* (h

, ,

diciamo che linguaggio

forma Il da

accettato

sull'input L(M)

,

M M

si

· x . ,

l'insieme accettate cioè

stringhe

delle di input da

è M :

,

* yaz)3

Eve (h

(x) *

190

(M)

L = ,

,

Domanda

formula

Per soddisfacibile

è

sotto specificare insoddi

in INF

ogni oppure

se -

soddisfacibile

sfacibile alle

nel indicare

, assignment variabi

sia

caso

e un

che soddisfa

li soddisfacibile

(x z)

Vay)1(yVxVz)1(xVyV e

+

a . TRUE TRUE

TRUE z

X y =

= :

, ,

xVwVy)1(yVxVw)1az1(zVyVw(1kV

b z1(

. soddisfacibile

y) : non

.

(xViz)1(zVy)1 soddisfacibile

17z1 s

c y

x non

. (xVix)1(zyVy)1z soddisfacibile

d . TRUE

TRUE

Y Z

TRUE

X : =

= 5

Domanda Sail 50}

che linguaggio

il

Disegnare accetta

PDA L iso

=

un ,

zo Zo

ba

to Zo C

e a

a aa ,

, S I

S Zo

b Zo 70

ac E

c

, 70

, .

s

90 a s as

ataaa 9

Zo Zo

C

a ,

, 6

Domanda linguaggi

Dimostrare che enumerabili chia

ricorsivamente

i sono

sotto unione

si .

Prendiamo linguaggi che

Visto

due L che

La sappiamo

· ci

sono e

e

e r r

, .. .,

. .

(Q1 (Qa ((Ma) Le L(Ma)

52) 69) t

Ma

TMMc

sono = c =

92

e

= =

192 .

.

1

1 1

,

, ,

, ,

Senza perdita hanno

generalità stesso

lo

che

di My

La Ma in

assumiamo e

del

alfaleto stati

put nastro rispettiva

che degli

gli insiemi sono

e

e , , .

mente dove Q11 Q2 0

Q

Q1 .

=

e

,

Inoltre che gli

tutti imput

definiti ,

d cioé

da

· supponiamo sono now

per

e

, imput

blocchi accettare sta

entrano

Mi Ma

ci in

sono per

: non e

un uno

to morto

.

Infine ha di Costruiamo

ha d'arresto

stati rispettivamente

siano Ma

M1

· , e e .

((QUEh13)x(QUEha3)

macchina nastri 192

due

di Turing M ,

92)

=

una a ,

, 1 ,

denotiamo

3) di

transizioni

le

Per (p B)

9) (A Mze

QzXQ2 X

ogni e

e

. , ,

Ma come : de

(p' A'

A)

ore(p ,

= ,

, dal

(q

Gq(q B) B'

',

=

, ,

funzione transizione

di

La termini di

di definita

è d

M dai

in e

E hz0q ha

h se p

B)

5((p q) = =

A = ,

,

, , A B' da) altrimenti

de

((p' q) ,

, ,

, ,

, che

dobbiamo

l'unica di è abbia

Ora M input

assicurarci

· ci

casa un

, Per

entrambi accettare quindi

Ly

nastri La

.

i V avremo

su :

dal passando stato

nastro

l'input nastro allo

al

Copiare

1

. inizia

1 2 ,

le (91 99)

, definizione

la

accordo

Esegui di

2 o

M in con sopra

.

Dovreble evidente che macchina

questa Msi ferma

(sVla

accetta

· essere se

: ,

delle macchine allora

stato accettante

due è in weLjula

una se

uno ; ,

w) In

(he 2)

(92 alha

La

xay) xay) entrambi Mlo

i casi

o , . ,

, ,

, ferma

rileva si

e .

7

Domanda

Dimostrare che determinare

problema di E ((Ma)

((M1)

il se ,

indecidibile

è

TM Ma

Mz

per e .

, 3 decidibile

Assumiamo L(M1)

E( &L( Mal

che Lg (Mq)

(M1)

, è

· = e e ,

un'istanza

Quindi L(Ms)

che Mal

Prendiamo

FMstale (Ms

Ls

, un

= . , ,

Costruisci Equivalence

che decide

Equivalence

di TM :

una segue

come

. (Mc)) LIM)

Valuta L(MI)

Ms(e(Mi) decidere di

.

1 garanzia

E

se

e per

,

.

arresto) (Mi)) LIMIL

Valuta (Mal

,

Ms) decidere L(Ma)

2 garanzia

-

se

e per

e

. arresto)

di . e(Mal)

Ms(e(M1) e (Mi))

Se Ms(r(Ma) nostro

sul

.

3 scrive 1 I

r e

,

, , forma

altrimenti

ferma sul nastro

scrive

, si

si I

o e

, .

Visto che decide che

Equivalence indecidibile

TM sappiamo essere

, ,

questa decidere

contraddizione anch'esso

La è

è quindi

una e

indecidibile .

o

Domanda di

definizione delle

la classi problemi Pe

Enunciare NP

a . (Q che

Sia 6) blocca

ferma tut

M TM si

· su

= 90 o

una

, ,, , di

temporale

gli è

ti complessità

La I

la

M

imput dove

TM per

. ,

di che

Le fare

il

è più

[p(n) può

M

mosse co

grano numero

n20 ,

minciando input dove

Xe x

con n

= .

La linguaggi

classe di tutti che

è l'insieme

P i

· posson

e

accettati te

polinomiale

tempo Questo

. e

in

sere accetta .

0(n")

che t

KEN

Le [p(n)

TMM

una c

un =

.

. *

Se deterministica

M la

Ti

è TM sia

· xe

sopra non per

una , ,

lunga complessità

di La

che fare

più M può su

sequenza x

mosse .

deterministica

temporale di è

M :

non n3

max([yx

Tp(n) =

= bloccarsi

In parale fermarsi

deve

M

qualche

altre

· x

per o

: ,

Tp(x)

entro

su x mosse

. linguaggi

La è tutti

classe di

l'insieme che

L

NP i

· possono esse

tempo

accettati deterministico

polinomiale Cioè

in , cui

per

r .

non

accetta

existe .

0(nY)

Le

che KENt [p(n)

NTMM un c

una =

. .

finiti

Siamo

.

b linguaggi

alfabeti

due La La

, es

su

e

e

e a ,

intempo

che riducibile

è

Si polinomiale

dice essere

La

si se

. funzione fis

totale

una f(x)

la solo La

xE e

se

se e

f tempo

calcolata polinomiale la

Usiamo

può in

essere

e :

notazione : pla

↳

che

perdire in

riducibile tempo polimoniale Un

é L

L in a

linguaggio

* NP-hard

è L'ENP L'SpL

ogni

se per .

,

dice

Se che

LENP-hord è

allora L

LENP comple

NP-

si

c e

. ,

te Cioè :

. hard

complete

NP- NP

NP

= .

Domanda

la formale linguaggi

dei

def

Enunciare ricorsivi

a .

. linguaggio

Un di

è Macchina

esiste Turing che

ricassivo M

· se una

funzione

che la

calcola caratteristica di

decide M

L Cioè Li

. Scew

M(r) : formale

la E

.

b definizione Ricorsivamente

Linguaggi

Enunciare dei .

numerabili

linguaggio enumerabile

Un ricorsivamente

è esiste

L

· se una

che

t

Macchina .

L

((M)

di Maccetta

Cioè

L

Turing c =

.

. .

so

Domanda (M))

M(e I

Dimostrare termina

Se (M)

che è

La ricorsivamen

= non

non

te .

enumerabile

Assumiamo .

(e)

che (cioè

t ((Ma)

accetta

FMs TM La

· c =

una

.

. forma ((Ms)

Ms(e(Ms) e(Ms)

Allora quindi

1 Lo

si

caso : e =

. ,

,

che

dalla def La ció

di implica (MI) ferma

Mse si

non

. ,

e(Ms)

ferma L(Ms)

Allora

Ms(e(Mo)) Le

si quin

2 :

caso =

non . , ,

di dalla def La implica che e

di ferma

Moll

Mol

ciò si

.

3

Domanda funzione

di

Disegnare che la

(TM) calcola

Macchina Turing

una

di sottrazione calcola

che

Cioè

numeri unari :

per , 15)

, 25)m(h

(90 12 is

1/1 per

R , ,

,

S # # R

S ,

S/#

11 R Rsa p

5/1 4 s

,

, 92

90 s .

Re 1/1 S

,

L

h

# # L

,

s

Domanda

Indicare la falsità

verità seguenti

delle

Vo F asserzioni

con o

linguaggio enumerabile anche

Qualsiasi ricorsivamente è ricassi

a . .

F

Vo : di

hard

di

b comple

L'insieme sottoinsieme

problemi NP è NP

un

. te F

:

Se La

Lasphy v

LeeP EP

allora

c :

e

. ,

Il di Halting Problem

d problema Terminazione ( è ricorsivaneu

. te enumerabile V

: V

Se allora

SATEP P Np .:

e =

. ,

~

Domanda 2 la formale

definizione

Enunciare di M