Funzioni di densità e distribuzioni
ρ(x) = {3/8 -3 ≤ x ≤ -11/8 1 ≤ x ≤ 30 x > 3 Fx = {3/4 -3 ≤ x ≤ -11/4 1 ≤ x ≤ 31 x > 3
Calcolo dell'attesa e della varianza
E[x|J] =(∫-3-1 x 3/8 dx + ∫13 x 1/8 dx) / (Fx(3) - Fx(-3))= ( [3/8 (x2/2)]-3-1 + [1/8 (x2/2)]13) / (3/4 - 0)= [-3/8 (4) + 1/8 (8)] / 1 = (-3 + 1) / 2 = -1
E[x2|J] =(∫-3-1 x2 3/8 dx + ∫13 x2 1/8 dx) / (Fx(3) - Fx(-3))= ( [3/8 (x3/3)]-3-1 + [1/8 (x3/3)]13)= [-3/8 (26/3) + 1/8 (26/3) = 13/3 + 13/12 = 39/12 + 13/12 = 52/12 = 13/3
σ2x = E[x2|J] - (E[x|J])2 = 13/3 - (-1)2 = 13/3 - 1 = 10/3
Valutazione della funzione di distribuzione e della densità
p(x) =3/8 -3 ≤ x ≤ -11/8 1 ≤ x ≤ 30 x > 3 Fx =3/4 -3 ≤ x ≤ -11/4 1 ≤ x ≤ 31 x > 3
Calcolo dell'attesa e della varianza (seconda parte)
E [ x J ] =∫-3-1 x • 3/8 dx + ∫13 x • 1/8 dx= [ 3/64 x2 ]-3-1 + [ 3/64 x2 ]13= [ 3/64 • 1 - 3/64 • 9 ] + [ 1/16 • 9 - 1/8 ]3= -2/8= [ 3/8 dx + ∫13 x • dx= [ 3/8 dx + ∫13 x • dx= ∫13 x • dx + ∫13 x • dx
E [ x J ] =∫-3-1 x • 3/8 dx + ∫13 x • 1/8 dx= - 3/8 [ 4/8 + 1/8 ] + = 3/2 + 1/2 = - 7
E [ x2 J ] =∫-33 x2 • 3/8 dx + ∫13 x2 • 1/8 dx =∫-3-1 x3/3 + ∫-33 x3/3 +∫-3-1 x3 dx + ∫-33 x3/8 += 3/8 [ 26/3 ] + 1/8 [ 26/8 ] = 13/4 + 26/17 =13/17 + 39/12 + 13/17 +=52/3 + 13/3
σ2x = E [ x2 J ] − E [ x J ]2 = 13/3 − (− 1/8 )2 + 13/3 − 7 = 10/3
Distribuzione normale e covarianza
X1 ∼ N(0,1) X2 ∼ N(0,1) cov(x1, x2) = 0
Y1 = X2 - 3X1 Y2 = 2X2 + X1
E[Y1] = 0 - 0 = -2 = -2
E[Y2] = 0 + 0 = 0 = 0
σ²(Y1) = 9 + 1 - 18 cov(x1, x2) = 9 + 1 - 0 = 9 + 1 - 0 = 10
σ²(Y2) = 1 + 4 + 4 cov(x1, x2) = 1 + 4 - 0 = 1 + 4 - 0 = 5
P{Y1 > 6} = Q( (6 + 2) / sqrt(10) ) = Q( 8 / 3.16 ) = Q(2.53) = 6.6057 = 0.57%
ρ(Y1, Y2) = cov(Y1, Y2) / sqrt(σ²(Y1) σ²(Y2) ) = -1 / sqrt(10 ⋅ 5) = -1 / sqrt(50)= -1 / (5 sqrt(2)) = -sqrt(2) / 10 ≈ -0.14
cov(x1, Y2, Y1) = E[Y1 Y2] - E[Y1]E[Y2] = E[Y1 Y2] - 0 =-E[X2² X1² + X2 1 - 6X1 X2 - 3X1² + 4X2 + 2X1] - 0 =-E[X2² X1² - 3X1² ] - 0 = -E[X2 X1² - 3 E[X1² ] - 0 = 2 - 3 = -1
E[X2 X1² ] = 2E[X1² ] => var(X2) = E[X2 ²] - E[X2]²
X1 ~ N(0,1), X2 ~ N(0,1), X3 ~ N(0,1) Y = 2X1 + 3X2 + X3 + 4
E[Y] = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 + 4 = 4
σY2 = 4 + 9 + 1 = 29
P(5Y ≥ 20 :Y ~ N (4,29) P(5Y ≥ 28) = 1 - Q( 8 - 4 √29 ) = 1 - Q ( 4 5,38 ) = 1 - Q(0,74) = = 0,2268
Q(x) = ∫ +∞ x e-t2 √2π = ∫+∞ 0,74 e-t2 √ 2 π ≤ cov(xi, y) = E[xi,y] - E[xi]E[y] = E[xi,y] - 0 = E[2Xi2 +
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