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Teorema di integrazione per serie

567891011121314151617Quando abbiamo dimostrato il teorema di integrazione per serie, abbiamo detto che la serie delle funzioni integrante (cioè la serie che si ottiene una volta integrata la funzione) è convergente. Quindi avevamo dimostrato che non solo si poteva cambiare il simbolo di serie con il simbolo di integrale, ma avevamo anche dimostrato che la serie che otteniamo con l'integrazione è ancora uniformemente convergente. Osservazione In x=0, cioè se t=0, che tipo di integrazione avremmo? Quello diventa un integrale improprio. Per t=0, che tipo di funzione integrante si ha? Si ha una funzione che tende a infinito, a infinito del secondo ordine, quindi l'integrale diverge perché è un infinito di ordine maggiore di 1. Se ho delle serie a segno alterno è facile rispondere, perché in questo caso se riesco a dimostrare che la serie data soddisfa il criterio di Leibniz, allora l'errore non supera in modulo.

Il primo termine trascurato. In questo caso noi abbiamo una serie con una X all'interno, e sappiamo che X varia tra 0 e 1, allora posso maggiorarla sostituendo al posto di X un estremo che mi genera una serie più grande, in questo caso x=0.19.

Tutte le derivate di tutti gli ordini sono sempre uguali e^x, quindi sono tutte limitate, quindi per quel criterio, dato che tutte le derivate sono limitate e la funzione è posso dire che e^x è sviluppabile in serie di Taylor.

Poi per l'arbitrarietà di R, il raggio di convergenza di questa serie è +infinito.

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Publisher
Landreigno
A.A. 2020-2021
28 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Landreigno di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Equazioni differenziali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Collini Tiziana.